2021-2022学年华东师大版八年级数学下册16.3可化为一元一次方程的分式方程课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标

理解分式方程的概念，会判断一个方程是否为分式方程；

掌握解分式方程的方法；

理解分式方程的增根的含义.

分式方程的应用。
情景导入
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
顺水航行80千米的时间=逆水航行60千米的时间
(2)若设轮船在静水中的速度为x千米/小时，请你列出方程：
(3)这个方程有何特点？你会解吗？
问题:
(1)请你找出题中所蕴含的等量关系？
分式
分母中含有未知数
探索新知
方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
说明：
(1)分式方程的主要特征：
一是含有分式 ，二是分母中含有未知数.
(2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据.
例1 下列方程是分式方程的是（ ）.
判断是否是分式方程的标准必须满足两点：
一是方程；
二是方程分母中必须含有未知数，二者缺一不可.
不是方程
分母不含未知数
分母不含未知数
D
(含有未知数的等式叫方程)
例题讲解
判断下列方程，哪些方程是分式方程：
√
×
√
√
√
×
牛刀小试
怎样解分式方程呢？
有没有办法可以去掉分式方程中的分母，把它转化为整式方程呢？
试动手解一解分式方程：
思考：
(1)如何将分母去掉，转化为整式方程？
方程两边都乘以分母的最简公分母
(2)分母的最简公分母是什么？
(3)试动手解一解上面列出的方程。
思考
解分式方程的基本思路：
分式方程 整式方程
去分母
两边同乘以
最简公分母
解分式方程的关键：
分式方程两边同时乘以最简公分母，
约去分母后得到整式方程.
探究新知
解分式方程：
解：方程两边同乘以(x+3)(x－3),约去分母,得:
80(x－3)=60(x+3).
解这个整式方程得：
x=21
答：轮船在静水中的速度为21千米/时。
探究新知
例1 解方程：
解：方程两边同乘以(x2－1),约去分母,得:
x+1=2.
解得：
x=1
把x=1时代入x-1，x-1=0，
把x=1时代入x2－1，x2－1=0
∴ x=1不是原方程的解.
叫做分式方程的增根.
∴ x=1是原方程的增根，原方程无解。
为什么会产生增根呢？
例题讲解
分式方程增根产生的原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中
各分式的分母的值均不为零,但变形后得到的整式方程则没有这个要求。
如果所得整式方程的某个解(或根)，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说
使变形时所乘的整式(各分式的最简公分母)的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。
因此，在解分式方程时必须进行检验.
探究新知
例2 解方程：
解：方程两边同乘以x(x－7),约去分母,得:
100(x－7)=30x.
解得：
x=10
检验：当x=10时，
∴ x=10是原方程的解.
∵ 左边=右边
有没有其他检验方法呢？
例题讲解
例2 解方程：
解：方程两边同乘以x(x－7),约去分母,得:
100(x－7)=30x.
解得：
x=10 .
检验：把x=10代入x(x－7),得：
∴ x=10是原方程的解.
哪种检验方法比较方便呢？
代入最简公分母，
判断最简公分母
是否为0.
例题讲解
分式方程验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.
为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零.如果为零,即为增根.
验根方法一：代入原方程进行检验；
验根方法2：代入最简公分母进行检验.
把整式方程的根代入原分式方程,看它是否能使原分式方程中左右两边的值相等.若相等则是根,否则是增根,需舍去.
把整式方程的根代入最简公分母,若最简公分母的值为0，则产生了增根; 若最简公分母的值不等于0,则原方程没有产生增根.
探究新知
解分式方程的一般步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,转化成整式方程 ；
2.解这个整式方程 ；
3.把整式方程的根代入最简公分母,验结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,需舍去.
4.写出原分式方程的根.
简记
转
解
验
写
分式方程
等式性质
转化
整式方程
探究新知
解下列方程：
解:方程两边同乘以
x(x－1),约去分母,得:
4(x－1)=3x.
解得：x=4.
检验：把x=4代入x(x－1),
得:x(x－1)=4×(4－1)≠0,
∴ x=4是原方程的解.
解:方程两边同乘以
(x+3)(x－3),约去分母,得:
x+3=6.
解得：x=3.
检验:把x=3代入(x+3)(x－3),
得:(x+3)(x－3)=0,
∴ x=3是原方程的增根,原方程无解。
牛刀小试
解:方程两边同乘以
(2x+1)(x－1),约去分母,得:
2(2x+1)=3(x－1).
解得：x=－5.
检验：把x= － 5代入(2x+1)(x－1),
得:(－10+1)×(－ 5－1)≠0,
∴ x= －5是原方程的解.
解:方程两边同乘以(x－2),
约去分母,得:
1+3(x－2)=－(1－x).
解得：x=2.
检验:把x=2代入(x－2),
得:(x－2)=0,
∴ x=2是原方程的增根，原方程无解。
牛刀小试
用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两位程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致. 两人各输入2640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
你还记得列方程解应用题的
一般步骤吗？
情景导入
列方程解应用题的一般步骤：
(1)审清题意；
(2)设未知数(要有单位)；
(3)找出等量关系，列出方程；
(4)解方程；
(5)检验方程的解是否符合题意；
(6)作答.（要有单位）
这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。
这节课，我们将学习列分式方程解应用题。
复习回顾
用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两位程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致. 两人各输入2640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
分析：
(1)请你找出题中所蕴含的等量关系？
甲的输入速度=乙的输入速度×2
甲的输入时间=乙的输入时间－2 ×60
(2)若设乙每分钟能输入x个数据，请你列出方程：
探究新知
用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两位程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致. 两人各输入2640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
解：设乙每分钟能输入x个数据，
则甲每分钟能输入2x个数据。
根据题意，得：
解得：x＝11.
经检验，x＝11是原方程的解.
当x＝11时，2x＝2×11＝22，符合题意.
①既要检验所求的解是否是原分式方程的解，②还要检验是否符合题意.
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据.
你会总结列分式方程解应用题的一般步骤吗？
例题讲解
列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审清题意；
(2)设未知数(要有单位)；
(3)找出等量关系，列出分式方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根,先检验是否有增根,再检查是否合符题意；
(6)作答.（要有单位）
列分式方程解应用题主要涉及的类型有：
(1)行程问题：路程=速度×时间;
(2)工程问题：工作量=工作时间×工作效率.
←审
←设
←列
←解
←验
←答
探究新知
A市与甲、乙两地距离分别为400千米和350千米,从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时,结果从A市到甲、乙两地所需时间相同,求从A市开往甲、乙两地列车的速度.
解:设从A市开往甲地列车的速度是x千米/时,
则从A市开往乙地列车的速度是(x－15)千米/时,
依题意得:
解得:
x =120 .
经检验:x =120是原方程的解.
答:从A市开往甲地列车的速度是120千米/时,
从A市开往乙地列车的速度是105千米/时.
牛刀小试
同学们，下课啦！