2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　）
A．40° B．44° C．48° D．52°
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为（　　）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
3．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
4．如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且AB+BN＝BC，则∠B的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　）cm．
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，分别交BC，AC于D、E两点，∠B＝80°，∠C＝35°，则∠BAD的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．65°
7．如图，△ABC中，BC＝14，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则△AED的周长（　　）
A．14 B．10 C．18 D．不能确定
8．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点E．若BD＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（　　）
A．14cm B．12cm C．10cm D．9cm
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AC上一点，PA＝2，点D在AB上，且∠A＝∠PDA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE，则线段DE的长为（　　）
A．4.75 B．5.25 C．6.5 D．7.75
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，若AD＝10，则AE的长为（　　）
A．5+5 B．5 C．5+6 D．6
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，连接AM、AN，若∠MAN＝10°，则∠BAC＝　 　°．
13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．∠BAC＝75°，则∠B的度数为 　 　．
14．如图，△ABC中，OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，OD、OE交于点O，连接OA、OC，已知∠B＝40°，则∠OAC＝　 　°．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则△ADE的面积是 　 　．
16．如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC垂足为E，CD，BE交于点F，DF＝2，则BE＝　 　．
17．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
18．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．
（1）求证：点O在BC的垂直平分线上：
（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，则OA＝　 　．
19．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BE＝2AE．
20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
21．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
（1）若AB＝12cm，求△MCN的周长；
（2）若∠ACB＝118°，求∠MCN的度数．
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．
23．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故选：C．
2．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12（cm），
∴△ABC的周长＝AC+CB+AB＝20（cm），
故选：D．
3．解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；
故选：B．
4．解：连接AN，
∵∠CAB＝105°，
∴∠C+∠B＝180°﹣∠CAB＝75°，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN＝CN，
∴∠NAC＝∠C，
∴∠ANB＝2∠C，
∵CN+BN＝BC，AB+BN＝BC，
∴AB＝CN，
∴AB＝AN，
∴∠ANB＝∠B，
∴∠B＝2∠C，
∴∠B＝50°，
故选：B．
5．解：∵△ABC的周长为26cm，
∴AB+BC+AC＝26cm，
∵EF垂直平分AC，AF＝5cm，
∴AC＝2AF＝10（cm），EA＝EC，
∴AB+BC＝16cm，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC，
∴AB+BD＝EC+DE＝8（cm），
∴DC＝8cm，
故选：B．
6．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∵∠B＝80°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝65°﹣35°＝30°，
故选：B．
7．解：∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理：EA＝EC，
∴△AED的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝14，
故选：A．
8．解：∵EF垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵BD＝3cm，CD＝9cm，
∴AB＝AD+BD＝CD+BD＝3+9＝12（cm），故选：B．
9．解：过P点作PG⊥AD交与G点，
∵∠A＝∠PDA，
∴G是AD的中点，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AP＝2，
在Rt△APG中，
∴AG＝，
∴AD＝，
∴BD＝10﹣＝，
∵BD的垂直平分线交BC，
∴DF＝BF，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，，
∴DE＝，故选：A．
方法2：
解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AP＝2，
∴PC＝4，设CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠A＝∠PDA，
∴AP＝PD＝2，
∵BD的垂直平分线交BC，
∴DE＝BE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDF＝90°，
∴∠PDE＝90°，
在Rt△PEC中，PE2＝PC2+CE2，
∴PE2＝16+x2，
在Rt△PED中，PE2＝PD2+DE2，
∴PE2＝4+（8﹣x）2，
∴16+x2＝4+（8﹣x）2，
∴x＝，
∴DE＝8﹣＝，故选：A．
10．解：过D点作DH⊥AB于H，连接DE，如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴DE∥BC，
∴∠DEA＝∠ABC＝45°，
在Rt△ADH中，∵∠A＝60°，
∴AH＝AD＝×10＝5，
∴DH＝AH＝5，
在Rt△DHE中，∵∠HED＝45°，
∴HE＝DH＝5，
∴AE＝AH+EH＝5+5．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：连接AD，AE，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD＝BD＝，AE＝EC＝，
∵DE＝2，
∴，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADE＝90°，
由勾股定理可得：AC＝，
二．填空题（共8小题，满分40分）
12．解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴∠BAM＝∠B，
∵AC的垂直平分线交BC于N，
∴∠CAN＝∠C，
∵∠BAN＝∠BAM﹣∠NAM＝∠B﹣10°，
∴∠CAM＝∠C﹣10°，
∴∠BAC＝∠CAM+∠BAN+∠MAN＝∠B﹣10°+10°+∠C﹣10°＝180°﹣∠BAC+10°，
∴∠BAC＝95°，
故答案为：95．
13．解：设∠B＝x°，
连接AE，
∵AB的垂直平分线是EF，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝x°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2x°，
∵BE＝AC，AE＝BE，
∴AE＝AC，
∴∠C＝∠AEC＝2x°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝105°，
即x+2x＝105，
解得：x＝35，
即∠B＝35°，
故答案为：35°．
14．解：连接BO，
∵OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OBC＝∠OCB，
∴∠OAB+∠OCB＝∠OBA+∠OBC＝∠ABC＝40°，
∵∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OAC+∠ACO＝140°﹣40°＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝×100°＝50°，
故答案为：50．
15．解：连接BE，
∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，
∴AB＝5+5＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，
设BE＝AE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即AE＝，
∴CE＝8﹣＝，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝，
∴△ADE的面积为
＝
＝，
故答案为：．
16．证明：连接BC，
∵点D是AB中点且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
同理BA＝BC，
∴AC＝AB．
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，BE＝CD，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△BFD中，BF＝2DF，
∵在Rt△ADC中，∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴CF＝BF＝2DF＝4，
∴BE＝CD＝6，
故答案为：6．
17．解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°，
故答案为：40°．
18．（1）证明：连接OA，
∵AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上：
（2）解：延长AO交BC于D，
∵AB＝AC＝10，
∴A点在BC的垂直平分线上，
∵点O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∵BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝，
∴OD＝8﹣AO，
在Rt△BDO中，BO2＝BD2+OD2，
∴OA2＝62+（8﹣AO）2，
解得OA＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．（1）解：设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝x，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，
答：∠A的度数是30°；
（2）证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，
∴AE＝CE
∴∠ECA＝∠A＝30°
又∠ACB＝4∠A＝120°，
∴∠BCE＝90°，
又∵∠B＝30°
∴BE＝2CE，
∴BE＝2AE．
20．解：（1）∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA，
同理EA＝EC，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；
（2）点O在边BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，CO＝AO，
∴OB＝OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
21．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∵AB＝12cm，
∴△MCN的周长是CM+MN+CN
＝AM+MN+BN
＝AB
＝12cm；
（2）∵∠ACB＝118°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝62°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝62°，
∵∠ACB＝118°，
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．
22．（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝CD，BD⊥AC，
∴AG＝CG，
∵AB的垂直平分线EF交BD于G，
∴AG＝BG，
∴BG＝CG；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∵∠ABC＝42°，
∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝48°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠GBC＝∠ABC＝＝21°，
∵BG＝CG，
∴∠GBC＝∠GCB＝21°，
∴∠CGF＝∠BFE﹣∠GCF＝48°﹣21°＝27°．
23．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．