数学新教材高一下人教A版（2019）必修 第二册6.4.3　余弦定理、正弦定理第二课时　正弦定理

(共45张PPT)
第六章
第二课时　正弦定理
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题.
课标要求
素养要求
通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正弦定理解三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.
正弦
2.正弦定理的变形形式
1.思考辨析，判断正误
×
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.( )
(2)在△ABC中，等式asin A＝bsin B总成立.( )
(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.( )
提示　(1)正弦定理适用于任意三角形.
(2)只有A＝B时才能成立.
×
√
C
解析　由B＝60°，C＝75°，得A＝180°－(B＋C)＝45°.
A
解析　由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　利用正弦定理解三角形
角度1　已知两角及任意一边解三角形
【例1】　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解　根据正弦定理，得
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边.
思维升华
∵b当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的步骤：
(1)求正弦.根据正弦定理求另外一边所对角的正弦.
(2)求角.先求另外一边所对角的取值范围(根据大边对大角)，再根据其正弦求角，最后根据三角形的内角和定理求第三个角.
(3)求边.根据正弦定理求第三条边.
思维升华
C
75°
所以B＝45°，从而A＝180°－(45°＋60°)＝75°.
【例3】　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
题型二　判断三角形的形状
解　在△ABC中，由正弦定理得
即a2＝b2＋c2，∴A＝90°，∴B＋C＝180°－A＝90°.
又sin A＝2sin Bcos C，∴sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，
∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.
利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；
(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状.
思维升华
【训练2】　在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状.
所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，
因为A，B为三角形内角，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
解　由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
题型三　正弦定理和余弦定理的综合应用
因为0°解　由(1)知B＝120°－C，
1.边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.
2.解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.
思维升华
解　设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，
思维升华
又因为A＝30°，
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值.
课堂小结
3.在与边角互化有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角关系，进而求值或判断三角形的形状.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A∶sin B＝2∶3，则a∶b＝(　　)
A.3∶2 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶4
解析　由正弦定理，得a∶b＝sin A∶sin B＝2∶3.
B
B
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
B
解析　bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理，
得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
即sin(B＋C)＝sin Asin A，解得sin A＝1，A∈(0，π)，
A
又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°，
又因为a>b，所以A>B，即B＝30°.
B
60°或120°
∵b>a，∴B>A，且0°∴B＝60°或120°.
三、解答题
9.在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
解　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
10.在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状.
解　设三角形外接圆半径为R，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
A
由正弦定理得2sin Csin B＝sin B，
所以sin B(2sin C－1)＝0.
因为sin B≠0，
AB
又因为AB·sin 30°所以C＝60°或C＝120°.
由三角形内角和定理得A＝90°或A＝30°.