数学新教材高一下人教A版（2019）必修 第二册6.4.3　余弦定理、正弦定理第一课时　余弦定理

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第六章
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第一课时　余弦定理
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
课标要求
素养要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.余弦定理的表示及其推论
文字语言：三角形中任何一边的______，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的__________.
符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝__________________________，c2＝_____________________.
平方
平方的和
积的两倍
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
2.解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________.
元素
解三角形
1.思考辨析，判断正误
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形.( )
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形.( )
(3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一.( )
提示　(3)当△ABC中已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定.
√
√
×
B
解析　设所求的边为c，由题意得
4
解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
整理得a2－2a－8＝0，
解得a＝－2(舍去)或a＝4.
150°
又0°课堂互动
题型剖析
2
题型一　已知两边及一角解三角形
解　由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即c2－9c＋18＝0，
解得c＝3或c＝6.
∵0°故C＝180°－120°－30°＝30°；
∵0°故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.
2.已知两边及其夹角解三角形的方法
首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
思维升华
【训练1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.
解　5x2＋7x－6＝0可化为：(5x－3)(x＋2)＝0.
又cos C∈(－1，1)，且cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，
∴c＝4.
题型二　已知三边关系解三角形
解　由余弦定理及已知得，
思维升华
题型三　用余弦定理进行边角互化
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2accos B
角度2　判断三角形形状
【例4】　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
解　∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，
(2)若sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状.
解　因为sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
且sin A＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＝cos Bsin C，则sin(B－C)＝0.
因为－180°又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，
即B＝C＝60°，故△ABC为等边三角形.
1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
2.余弦定理揭示第三边与其余两边及这两边夹角余弦间的关系，灵活进行边角转化，结合三角恒等变换可求三角函数式的值.
思维升华
B
解析　由余弦定理及bcos C＋ccos B＝2b
所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，
因此△ABC是直角三角形.
B
1.由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形，余弦定理主要解决知道三边求三角，或知道两边及一角求第三边.
2.利用余弦定理判断三角形的形状
课堂小结
分层训练
素养提升
3
D
2.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
D
解析　∵b2＝ac，B＝60°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，
∴a＝c.又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
D
A
解析　由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C
＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，
D
解析　设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
解析　∵a>b>c，
∴C为最小角，由余弦定理得
解析　由余弦定理的推论，可得
三、解答题
9.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解　在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
知B＝60°，又a＋c＝8，ac＝15，
故由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.
所以AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
A
又BC＝1，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos C
120°
设最大角为θ，
又∵0°<θ<180°，∴θ＝120°.
又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为________.
14
解析　已知a－b＝4，则a＞b且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b＞c.
从而知a＞b＞c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc
＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4＞0，所以a＝14，
即此三角形的最大边长为14.