人教版数学八年级下册第十六章二次根式的乘除
一、单选题
1．（2021八上·道里期末）下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式．
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式判断各选项即可。
2．（2021八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，
∴能与合并的是；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。
3．（2021八上·通州期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，不合题意；
B. 被开方数要为非负数，不合题意；
C. ，不合题意；
D. ，符合题意．
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，乘法法则，计算求解即可。
4．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
5．（2021八上·岳阳期末）计算的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．7
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及立方根的概念可得原式=4-3，据此计算.
6．已知 =a， =b，则 等于（ ）
A．a+b B．b-a C．ab D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：D
【分析】本题利用所给的三个数据，得出关系式，得出结果。
7．下列二次根式：① ．② ．③ ．④ 中，与是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解： ① ；
② =2；
③ ；
④，
∴与是同类二次根式的是①和③.
故答案为：B.
【分析】分别将各个二次根式化成最简二次根式，再找出被开方数都是2的根式即可.
8．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
9．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
10．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
二、填空题
11．（2021八上·奉贤期中）计算： ．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ＝ ．
故答案为：2．
【分析】利用二次根式的除法计算法则求解即可。
12．若a是正整数， 是最简二次根式，则a的最小值为
【答案】3
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵ a是正整数， 是最简二次根式，
∴=，
当a=1时，=3，当a=2时，=2，都不是最简二次根式，
当a=3时，=，是最简二次根式，
∴a的最小值为3.
【分析】把变形为，根据最简二次根式的定义进行判断，即可的答案.
13．（2021八上·秦都月考）已知n是正整数， 是整数，则n的最小值为 .
【答案】13
【知识点】算术平方根；最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
∵n是正整数， 是整数，
∴13n应该能被开方，即n的最小值是13，
故答案为：13.
【分析】先将 化为最简二次根式，根据n是正整数， 是整数，求将13n配成平方数，而n为最小值即可.
14．（2021八上·毕节月考）记的整数部分是，小数部分是，则的值为 .
【答案】
【知识点】估算无理数的大小；分母有理化
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】对分母有理化可得+2，根据估算无理数大小的方法估算出+2的范围，进而可得a、b，然后代入中进行计算.
15．（2021八上·长春月考）若最简二次根式 与 能合并，则m＝ ．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 能合并．
∴3m+7=5m+3，解得m=2．
故填2．
【分析】先求出3m+7=5m+3，再解方程即可。
16．（2021八上·金山期中）观察下列二次根式化简： ﹣1， ， 从中找出规律并计算 ＝ ．
【答案】2021
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式
，
故答案是：2021．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
三、计算题
17．（2021八上·三水期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
=
=
= ；
（2）解：
=
=
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可；
（2）先计算二次根式的乘法和完全平方公式，再计算加减即可。
四、解答题
18．（2021八下·咸宁月考）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ＋2
【答案】解：原式＝（ ）÷
＝
＝ ，
当x＝ ＋2时，
原式＝
＝
＝ .
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘化简原式，代入x的值即可.
19．（2021九上·二道期末）在一个边长为（）cm的正方形内部挖去一个边长为（）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．
【答案】解：剩余部分的面积为：
-，
=()()，
=2×2，
=( cm2)．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用正方形的面积公式和平方差公式计算求解即可。
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长．
【答案】解：∵
∴ 在中， cm
∵
∴
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。
21．（2018九上·黑龙江月考）观察下列各式：
； ； ；……
请你猜想：
（1） ， ；
（2）计算(请写出推导过程)： ．
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．
．
【答案】（1）；
（2）解： ；
（3）
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据前几项规律填空即可。
（2）先对被开方数通分，再化简。
（3）根据规律，用含有自然数n（n≥1）的代数式表示规律。
1 / 1人教版数学八年级下册第十六章二次根式的乘除
一、单选题
1．（2021八上·道里期末）下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·通州期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
5．（2021八上·岳阳期末）计算的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．7
6．已知 =a， =b，则 等于（ ）
A．a+b B．b-a C．ab D．
7．下列二次根式：① ．② ．③ ．④ 中，与是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
8．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
9．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·奉贤期中）计算： ．
12．若a是正整数， 是最简二次根式，则a的最小值为
13．（2021八上·秦都月考）已知n是正整数， 是整数，则n的最小值为 .
14．（2021八上·毕节月考）记的整数部分是，小数部分是，则的值为 .
15．（2021八上·长春月考）若最简二次根式 与 能合并，则m＝ ．
16．（2021八上·金山期中）观察下列二次根式化简： ﹣1， ， 从中找出规律并计算 ＝ ．
三、计算题
17．（2021八上·三水期中）计算：
（1） ；
（2） ．
四、解答题
18．（2021八下·咸宁月考）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ＋2
19．（2021九上·二道期末）在一个边长为（）cm的正方形内部挖去一个边长为（）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长．
21．（2018九上·黑龙江月考）观察下列各式：
； ； ；……
请你猜想：
（1） ， ；
（2）计算(请写出推导过程)： ．
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．
．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式．
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式判断各选项即可。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，
∴能与合并的是；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，不合题意；
B. 被开方数要为非负数，不合题意；
C. ，不合题意；
D. ，符合题意．
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，乘法法则，计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
5．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及立方根的概念可得原式=4-3，据此计算.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：D
【分析】本题利用所给的三个数据，得出关系式，得出结果。
7．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解： ① ；
② =2；
③ ；
④，
∴与是同类二次根式的是①和③.
故答案为：B.
【分析】分别将各个二次根式化成最简二次根式，再找出被开方数都是2的根式即可.
8．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
9．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
10．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
11．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ＝ ．
故答案为：2．
【分析】利用二次根式的除法计算法则求解即可。
12．【答案】3
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵ a是正整数， 是最简二次根式，
∴=，
当a=1时，=3，当a=2时，=2，都不是最简二次根式，
当a=3时，=，是最简二次根式，
∴a的最小值为3.
【分析】把变形为，根据最简二次根式的定义进行判断，即可的答案.
13．【答案】13
【知识点】算术平方根；最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
∵n是正整数， 是整数，
∴13n应该能被开方，即n的最小值是13，
故答案为：13.
【分析】先将 化为最简二次根式，根据n是正整数， 是整数，求将13n配成平方数，而n为最小值即可.
14．【答案】
【知识点】估算无理数的大小；分母有理化
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】对分母有理化可得+2，根据估算无理数大小的方法估算出+2的范围，进而可得a、b，然后代入中进行计算.
15．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 能合并．
∴3m+7=5m+3，解得m=2．
故填2．
【分析】先求出3m+7=5m+3，再解方程即可。
16．【答案】2021
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式
，
故答案是：2021．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
17．【答案】（1）解：
=
=
= ；
（2）解：
=
=
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可；
（2）先计算二次根式的乘法和完全平方公式，再计算加减即可。
18．【答案】解：原式＝（ ）÷
＝
＝ ，
当x＝ ＋2时，
原式＝
＝
＝ .
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘化简原式，代入x的值即可.
19．【答案】解：剩余部分的面积为：
-，
=()()，
=2×2，
=( cm2)．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用正方形的面积公式和平方差公式计算求解即可。
20．【答案】解：∵
∴ 在中， cm
∵
∴
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。
21．【答案】（1）；
（2）解： ；
（3）
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据前几项规律填空即可。
（2）先对被开方数通分，再化简。
（3）根据规律，用含有自然数n（n≥1）的代数式表示规律。
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