人教版数学八年级下册第十六章二次根式的加减
一、单选题
1．（2021八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·铁西期末）下列等式何者不成立（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·东坡期末）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
4．若a=-2- ，b=-2+ ，则a+b+ ab的值为（ ）
A．1+2 B．1-2 C．-5 D．3
5．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
6．（2021八上·浦东期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
7．（2021八上·上海月考）若 ， ，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·黑山期中）估算 － （ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在5和6之间 D．在8和9之间
9．（2021八下·江阴期末）已知 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
10．如图，长方形内三个相邻的正方形面积分别为4，3，和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·香坊期末）计算 的结果是 ．
12．（2021九上·二道期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 ．
13．一个长方形相邻两边的长分别为 ， ，则它的周长和面积分别是
14．（2021九上·朝阳期中）计算 的结果为 ．
15．（2021九上·隆昌月考）已知 ， ，那么 的值是 .
16．（2021八上·金山期中）观察下列二次根式化简： ﹣1， ， 从中找出规律并计算 ＝ ．
三、计算题
17．（2021八上·毕节月考）计算：
（1）；
（2）.
四、解答题
18．（2019·福田模拟）化简并求值：（1 ） ，其中x 1．
19．（2017八下·柯桥期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s= （其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积s．
20．（2019九上·新蔡期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积.
21．观察下列格式， - ， ， ， …
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，
∴能与合并的是；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式，所以A选项不符合题意；
B、原式，所以B选项不符合题意；
C、原式，所以C选项符合题意；
D、原式，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法和乘除法逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质将第一个二次根式化简，再合并同类二次根式即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：a+b+ ab=
故答案为：C.
【分析】本题直接代入，利用二次根式的混合计算，得出结果。
5．【答案】B
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
6．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ 和 不是同类二次根式，
∴A不符合题意；
∵ ， ，
∴ 和 不是同类二次根式，
∴B不符合题意；
∵ ， ，
∴ 和 不是同类二次根式，
∴C不符合题意；
∵ ， ，
∴ 和 是同类二次根式，
∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
， ，
故答案为：C．
【分析】根据 ， ， 化简二次根式，计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
又
故答案为：A
【分析】先利用二次根式的减法计算，再估算的大小即可。
9．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】 = +
∵2
∴1-a<0，a-4<0，
∴ + =-(1-a)-(a-4)=-1+a-a+4=3，
故答案为：D.
【分析】原式可变形为 + ，由a的范围可得1-a<0，a-4<0，然后结合二次根式的性质化简即可.
10．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵三个相邻的正方形面积分别为4，3，和2，
∴三个正方形的边长分别为2，，；
图中阴影部分的面积为：.
故答案为：D.
【分析】利用正方形的面积可得到三个正方形的边长，观察图形可知阴影部分的面积=边长为和2的矩形的面积-2-3，列式计算可求出结果.
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
=
= ．
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
12．【答案】3
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：2x-1=5，
解得：x=3．
当x=3时，与都是最简二次根式．
故答案为：3．
【分析】先求出2x-1=5，再求出x=3，最后求解即可。
13．【答案】 ，4
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：长方形的周长=2(+)
=2(+2)
=2×3
=6；
长方形的面积=×
=
=4.
【分析】根据长方形的周长和面积公式分别列式，再进行二次根式的加减法或乘除法计算，即得结果.
14．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ =
=
= ．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可。
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
由题意可得：
xy＝（ ）（ ）＝（ ）2﹣（ ）2＝6﹣2＝4，
x﹣y＝（ ）﹣（ ） 2 ，
∴原式＝4×2 8 .
故答案为：8 .
【分析】对待求式因式分解可得xy(x-y)，由x、y的值求出xy、x-y，然后代入进行计算.
16．【答案】2021
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式
，
故答案是：2021．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】）（1）根据0次幂的运算性质、绝对值的性质、有理数的乘方法则及二次根式的性质分别计算，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可；
（2）根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：原式 ，
当x 1时，原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先计算括号内的式子，再与后式进行计算化简，将x的数值代入即可。
19．【答案】解：由题意可得，
三角形的三边长分别为5，6，7，
则该三角形的面积s= = = =
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据题目中的公式即可解答本题．
20．【答案】12 cm3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵大正方形面积为48cm2，
∴边长为 =4 cm，
∵小正方形面积为3cm2， ∴边长为 cm，
∴长方体盒子的体积=（4 -2 ）2 =12 cm3.
【分析】由大正方形的面积可求出边长，再由小正方形面积求出边长，然后由底面积乘以高得到盒子体积.
21．【答案】（1）解： - = - = - =-1，
= - =-2，
= - =-3，
= - =-4
（2）解： - =-5
（3）解： - = - =-n
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）通过分母有理化，转化为同分母分式的减法即可得结果；
（2）类比（1）的方法即可；
（3）先通过对前面5个式子结构特征的分析，归纳出一般规律写出第n个式子，再类比前面的方法即可。
1 / 1人教版数学八年级下册第十六章二次根式的加减
一、单选题
1．（2021八上·承德期末）下列二次根式化为最简二次根式后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，
∴能与合并的是；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式、同底二次根式的性质判断即可。
2．（2021八上·铁西期末）下列等式何者不成立（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式，所以A选项不符合题意；
B、原式，所以B选项不符合题意；
C、原式，所以C选项符合题意；
D、原式，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法和乘除法逐项判断即可。
3．（2021九上·东坡期末）计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质将第一个二次根式化简，再合并同类二次根式即可.
4．若a=-2- ，b=-2+ ，则a+b+ ab的值为（ ）
A．1+2 B．1-2 C．-5 D．3
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：a+b+ ab=
故答案为：C.
【分析】本题直接代入，利用二次根式的混合计算，得出结果。
5．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
6．（2021八上·浦东期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ 和 不是同类二次根式，
∴A不符合题意；
∵ ， ，
∴ 和 不是同类二次根式，
∴B不符合题意；
∵ ， ，
∴ 和 不是同类二次根式，
∴C不符合题意；
∵ ， ，
∴ 和 是同类二次根式，
∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
7．（2021八上·上海月考）若 ， ，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
， ，
故答案为：C．
【分析】根据 ， ， 化简二次根式，计算求解即可。
8．（2021八上·黑山期中）估算 － （ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在5和6之间 D．在8和9之间
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
又
故答案为：A
【分析】先利用二次根式的减法计算，再估算的大小即可。
9．（2021八下·江阴期末）已知 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】 = +
∵2∴1-a<0，a-4<0，
∴ + =-(1-a)-(a-4)=-1+a-a+4=3，
故答案为：D.
【分析】原式可变形为 + ，由a的范围可得1-a<0，a-4<0，然后结合二次根式的性质化简即可.
10．如图，长方形内三个相邻的正方形面积分别为4，3，和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵三个相邻的正方形面积分别为4，3，和2，
∴三个正方形的边长分别为2，，；
图中阴影部分的面积为：.
故答案为：D.
【分析】利用正方形的面积可得到三个正方形的边长，观察图形可知阴影部分的面积=边长为和2的矩形的面积-2-3，列式计算可求出结果.
二、填空题
11．（2021八上·香坊期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
=
= ．
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
12．（2021九上·二道期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 ．
【答案】3
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：2x-1=5，
解得：x=3．
当x=3时，与都是最简二次根式．
故答案为：3．
【分析】先求出2x-1=5，再求出x=3，最后求解即可。
13．一个长方形相邻两边的长分别为 ， ，则它的周长和面积分别是
【答案】 ，4
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：长方形的周长=2(+)
=2(+2)
=2×3
=6；
长方形的面积=×
=
=4.
【分析】根据长方形的周长和面积公式分别列式，再进行二次根式的加减法或乘除法计算，即得结果.
14．（2021九上·朝阳期中）计算 的结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ =
=
= ．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可。
15．（2021九上·隆昌月考）已知 ， ，那么 的值是 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
由题意可得：
xy＝（ ）（ ）＝（ ）2﹣（ ）2＝6﹣2＝4，
x﹣y＝（ ）﹣（ ） 2 ，
∴原式＝4×2 8 .
故答案为：8 .
【分析】对待求式因式分解可得xy(x-y)，由x、y的值求出xy、x-y，然后代入进行计算.
16．（2021八上·金山期中）观察下列二次根式化简： ﹣1， ， 从中找出规律并计算 ＝ ．
【答案】2021
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式
，
故答案是：2021．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
三、计算题
17．（2021八上·毕节月考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】）（1）根据0次幂的运算性质、绝对值的性质、有理数的乘方法则及二次根式的性质分别计算，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可；
（2）根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可.
四、解答题
18．（2019·福田模拟）化简并求值：（1 ） ，其中x 1．
【答案】解：原式 ，
当x 1时，原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先计算括号内的式子，再与后式进行计算化简，将x的数值代入即可。
19．（2017八下·柯桥期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：s= （其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积s．
【答案】解：由题意可得，
三角形的三边长分别为5，6，7，
则该三角形的面积s= = = =
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据题目中的公式即可解答本题．
20．（2019九上·新蔡期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积.
【答案】12 cm3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵大正方形面积为48cm2，
∴边长为 =4 cm，
∵小正方形面积为3cm2， ∴边长为 cm，
∴长方体盒子的体积=（4 -2 ）2 =12 cm3.
【分析】由大正方形的面积可求出边长，再由小正方形面积求出边长，然后由底面积乘以高得到盒子体积.
21．观察下列格式， - ， ， ， …
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【答案】（1）解： - = - = - =-1，
= - =-2，
= - =-3，
= - =-4
（2）解： - =-5
（3）解： - = - =-n
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）通过分母有理化，转化为同分母分式的减法即可得结果；
（2）类比（1）的方法即可；
（3）先通过对前面5个式子结构特征的分析，归纳出一般规律写出第n个式子，再类比前面的方法即可。
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