中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 直角三角形
一、单选题
1．如图，AB∥EF，∠1＝50°，∠F＝40°，则△ABC是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．一般三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行线的性质得∠1＝∠E＝50°，根据三角形内角和定理求出∠C＝90°，即可得出结果.
【详解】
∵AB∥EF，∠1＝50°，∠F＝40°，
∴∠1＝∠E＝50°，
∴∠C＝180°-∠E -∠F =180°-50°-40°=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的性质、直角三角形的判定.
2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
【答案】C
【解析】
解：如图，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°．
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°，
∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
点睛：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解答本题的关键，作出图形更形象直观．
3．若a，b，c表示△ABC的三边长，且满足＋|a－12|＋(b－13)2＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可得c-5=0，a-12= ( http: / / www.21cnjy.com )0，b-13=0，进一步即可得出a、b、c的值；根据等腰（或等边）三角形的性质，判断该三角形是否为等腰（或等边）三角形；根据勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形，问题即可得解.
【详解】
∵△ABC三边长a，b，c满足＋|a－12|＋(b－13)2＝0，且≥0， |a－12|≥0，(b－13)2≥0，
∴c-5=0，a-12=0，b-13=0，
∴a=12，b=13，c=5.
∵a≠b≠c，且+=，
∴△ABC是直角三角形.
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，非负数的性质.
4．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．
【详解】
①，故△ABC不是直角三角形；
②a=6，∠A=45°不是成为直角三角形的必要条件，故△ABC不是直角三角形；
③∠A=32°，∠B=58°，∠C=180°－∠A－∠B=90°，故△ABC是直角三角形；
④72+242=252，故△ABC是直角三角形；
⑤22+22≠42，故△ABC不是直角三角形．
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】
命题由题设和结论两部分组成，所以所 ( http: / / www.21cnjy.com )有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．
【详解】
解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．
B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．
D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．
6．下列定理中，不存在逆定理的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据逆命题的定义先写出各选项中原命题的逆命题,再对得到的逆命题判断真假.
【详解】
A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确；
B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确；
C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确；
D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似；
故答案为：D
【点睛】
本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.
7．下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．两个图形成轴对称，则这两个图形是全等图形
C．等边三角形是锐角三角形
D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，把四个选项中的命题的结论与条件互换可得到逆命题，再判断出真假即可．
【详解】
A. 逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，错误，是假命题；
B. 逆命题为：两个图形是全等图形，则这两个图形成轴对称，错误，是假命题；
C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，是假命题；
D、逆命题为：直角三角形中,如果一个锐角它所对的直角边等于斜边的一半,那么这个角是30 ，此逆命题是真命题.
故选D.
【点睛】
本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.
8．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
解：根据勾股定理，得
AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，
根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD．
故选B．
点评：此题综合考查了勾股定理及其逆定理．
9．的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④.其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】
解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
③a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
∴是直角三角形的有3个；
故选：C.
【点睛】
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
10．已知下列命题：①若a＞b ( http: / / www.21cnjy.com )，则a2＞b2；②若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等的三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质判断各命题的真假．
【详解】
：①当a=0,b= 1时, a2< b2,所以命题“若a>b,则a2＞b2”为假命题,其逆命题为“若
a2＞b2，则a>b“，此逆命题也是假命题，如a= 2，b= 1；
②若a>1,则(a－1)0＝1,此命题为 ( http: / / www.21cnjy.com )真命题,它的逆命题为：若(a－1)0＝1,则a>1,此逆命题为假命题,因为(a－1)0＝1，则a≠1；
③两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；
故选A.
【点睛】
本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.
二、填空题
11．如图，已知△ABC三条边AC＝20 cm，BC＝15 cm，AB＝25 cm，CD⊥AB，则CD＝______cm.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】12
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理逆定理证明△ACB是直角三角形，再利用三角形的面积公式可得AC BC=AB CD，再代入相应数据进行计算即可．
【详解】
∵AC＝20 cm，BC＝15 cm，AB＝25 cm，+=，
∴+=，
∴△ACB是直角三角形，
∵=AC BC= AB CD，
∴AC BC = AB CD，即2015=25CD，
∴CD=12 cm.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理.
12．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，C ( http: / / www.21cnjy.com )D⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有 （填写所有正确的序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1)、(2)、(3)
【解析】
试题分析：根据∠1=∠2，即内 ( http: / / www.21cnjy.com )错角相等，两直线平行可得AC∥DE，则①正确；根据∠1+∠3=∠1+∠A=90°可得∠3=∠A，则②正确；根据∠1+∠3=∠3+∠B=90°可得∠B=∠1，则③正确；根据平行可得DE⊥BC，则∠3+∠2=∠B+∠3=90°，则∠2=∠B，则④错误；根据∠1=∠2，∠1≠∠A可得∠2≠∠A，则⑤错误.
考点：(1)、平行线的判定；(2)、角互余的性质
13．如图，已知∠ABP＝30°，AB＝2 cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP＝_______cm时，△BAP为直角三角形．
【答案】或
【解析】
【分析】
由于直角顶点不能确定，故应分∠APB=90°与∠BAP=90°两种情况进行分类讨论．
【详解】
当∠APB=90°时，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴AP=1 cm，
∴BP===；
当∠BAP=90°时，
∵∠B=30°，AB=2cm，
∴BP=2AP，AP=BP，
∴=
∴= 解得BP=.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理， 含30°角的直角三角形.
14．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3
【解析】
【分析】
在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出、，从而在Rt△ADO中利用勾股定理即可得出AD的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【详解】
在Rt△AOB中,= ；
Rt△DOC中可得：= ；
∴=+
= –+
= –+
= –
=18，
即可得AD==3.
故答案为3.
【点睛】
本题考查勾股定理.
三、解答题
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，CD＝8，AD＝10.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
【分析】
（1）连接AC，在直角三角形ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，再由等腰直角三角形的性质，根据∠BCD=∠ACB+∠ACD即可求出；
（2）四边形ABCD面积=三角形ABC面积+三角形ACD面积，求出即可．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)连接AC， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，
根据勾股定理，得AC＝＝6，∠ACB＝45°，
∵CD＝8，AD＝10,
∴＝＋,
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，
则∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°；
(2)根据题意，得S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝×3×3＋×6×8
＝9＋24
＝33.
故答案为(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理.
16．写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假．
(1)三边对应相等的两个三角形全等；
(2)若a＝b，则a2＝b2；
(3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角．
【答案】(1)逆命题：全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题；(3)逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题和逆命题都是假命题．
【解析】
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得 ( http: / / www.21cnjy.com )到它的逆命题，把四个选项中的命题的结论与条件互换可得到逆命题，然后利用全等三角形的判定与性质、反例判断各命题的真假即可．
【详解】
(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；
(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题，如=，
-11；
(3) 逆命题：若∠α与∠ β中至少有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题是假命题，因为当∠α=∠ β=90°，∠α与∠ β都是直角时，∠α＋∠β＝180°；逆命题是假命题，如110°+80°=190°．
【点睛】
本题考查命题与定理.
17．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
【详解】
解 (1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
18．如图，一只密封的长方体盒 ( http: / / www.21cnjy.com )子长、宽、高分别为9 cm，3 cm，5 cm，A′处有食物，甲蚂蚁从C处出发沿长方体表面爬行(不能从下底面爬行)，乙蚂蚁从B处出发沿B→A→A′方向爬行，问甲蚂蚁是否有先得到食物的可能？并说明理由．(两蚂蚁爬行速度相同)
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】甲蚂蚁有先得到食物的可能，理由见解析.
【解析】
【分析】
阅读题目信息，可知只要求 ( http: / / www.21cnjy.com )得甲蚁的路程比乙蚁短，甲蚁就有可能先得食物，如图，将ABB′A′所在平面与BCC′B′所在平面绕BB′旋转到同一个平面上，则甲蚁应沿路径CA′爬行，才能使路程最短；
【详解】
有，理由如下：
如图， ( http: / / www.21cnjy.com / )
将ABB′A′所在平面与BCC′B′所在平面绕BB′旋转到同一个平面上，则甲蚂蚁应沿路径CA′爬行，才能使路程最短，
因为AA′＝5 cm，AB＝9 cm，BC＝3 cm，∠A′AB＝90°，
所以AC＝AB＋BC＝12(cm)，A′A2＋AC2＝A′C2，
所以A′C＝13 cm，
故甲蚂蚁若沿CA′爬行，最短路程为13 cm.
因为AB＋AA′＝9＋5＝14(cm)，所以乙蚂蚁爬行路程为14 cm.因为14 cm＞13 cm，
所以甲蚂蚁有先得到食物的可能．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，几何体的展开图-最短路径问题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 直角三角形
一、单选题
1．如图，AB∥EF，∠1＝50°，∠F＝40°，则△ABC是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．一般三角形
2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
3．若a，b，c表示△ABC的三边长，且满足＋|a－12|＋(b－13)2＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
6．下列定理中，不存在逆定理的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
7．下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．两个图形成轴对称，则这两个图形是全等图形
C．等边三角形是锐角三角形
D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
8．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④.其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知下列命题：①若a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )b，则a2＞b2；②若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等的三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，已知△ABC三条边AC＝20 cm，BC＝15 cm，AB＝25 cm，CD⊥AB，则CD＝______cm.
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有 （填写所有正确的序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．如图，已知∠ABP＝30°，AB＝2 cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP＝_______cm时，△BAP为直角三角形．
14．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，CD＝8，AD＝10.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假．
(1)三边对应相等的两个三角形全等；
(2)若a＝b，则a2＝b2；
(3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角．
17．如图，在△ABC中，AB＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )0 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，一只密封的长方体盒子长、 ( http: / / www.21cnjy.com )宽、高分别为9 cm，3 cm，5 cm，A′处有食物，甲蚂蚁从C处出发沿长方体表面爬行(不能从下底面爬行)，乙蚂蚁从B处出发沿B→A→A′方向爬行，问甲蚂蚁是否有先得到食物的可能？并说明理由．(两蚂蚁爬行速度相同)
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
