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第三讲 线段的垂直平分线
一、单选题
1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）
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A．90° B．95° C．105° D．110°
3．如图所示，△ABC中，AB+BC=10，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．无法确定
4．在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（ ）
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A．10° B．15° C．40° D．50°
5．如图，在△ABC中，直线MN为BC的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）
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A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
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A．AB＋DB>DE B．AB＋DB7．如图，已知AB=AC，∠A=36° ( http: / / www.21cnjy.com )，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．③④
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若BC=4，AC=8，则BD=（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，已知线段AB，分别以点 ( http: / / www.21cnjy.com )A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是( ）
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A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB
10．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )
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A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．若∠DBC=33°，∠A的度数为______．
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12．如图，AE是∠BAC的角平线，AE的中垂线PF交BC的延长线于点F，若∠CAF=50°，则∠B=_______．
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13．如图，△ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
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14．如图：∠C=90°，DE⊥AB，垂足为D，BC=BD，若AC=3cm，则AE+DE=__________．
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15．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．
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16．如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是_____度．
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17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于 D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=_________．
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18．如图，的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若，则的度数是______．
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19．如图：△ABC的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com )30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长．
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三、解答题
20．如图在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF＝FC．
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第三讲 线段的垂直平分线
一、单选题
1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【分析】
根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出即可．
【详解】
解：∵OA=OB，
∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在线段AC的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上，
即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了对线段垂直平分线性质的理解和运用，注意：线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）
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A．90° B．95° C．105° D．110°
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.
【详解】
∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.
3．如图所示，△ABC中，AB+BC=10，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．无法确定
【答案】C
【详解】
∵A、C关于直线DE对称，
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵AB+BC=10，
∴△BCD的周长为：BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=10
故选C.
4．在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（ ）
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A．10° B．15° C．40° D．50°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质得出AD=CD，推出∠ACD=∠A=40°，即可得出答案．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，∴∠ACB=50°．
∵AC的垂直平分线MN分别与A ( http: / / www.21cnjy.com )B，AC交于点D，E，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=50°﹣40°=10°．
故选A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能根据线段垂直平分线性质求出AD=CD是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，直线MN为BC的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）
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A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和得到∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，由角平分线的定义得到∠BCD=2∠ACB=60°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，于是得到结论．
【详解】
∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．
∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．
∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．
故选A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
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A．AB＋DB>DE B．AB＋DB【答案】C
【解析】
∵AD垂直平分BC，
∵AB=AC,BD=CD，
又∵AC＝EC，
∴AB=AC=CE，
∴AB+BD=CE+CD=DE．
故选C.
7．如图，已知AB=AC，∠A=36°， ( http: / / www.21cnjy.com )AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质，三角形的内角的定理及垂直平分线的性质计算出∠B＝∠ACB＝∠BDC＝72°，∠A＝∠ACD＝∠DCB＝36°.
【详解】
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，MN垂直平分AC，
∠B＝∠ACB＝72°，DA＝DC，
∠A＝∠ACD＝36°.
①∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，
∠BDC＝36°＋36°＝72°，
∠B＝∠BDC，△BCD是等腰三角形.则①正确；
②∵∠ACB＝72°，∠ACD＝36°，
CD平分∠ACB. 线段CD是△ACB的角平分线；则②不正确；
③∵DA＝DC，
C△BCD＝BC＋CD＋DB＝BC＋DA＋DB＝BC＋AB.则③正确.
④△ADM是直角三角形，△BCD不是直角三角形，则④不正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判断，在等腰三角形中如果已知一个角的度数，可以求出其它角的度数，用角之间的关系求解.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若BC=4，AC=8，则BD=（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
试题解析：∵∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴AB=，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，DE⊥AB，AE=BE=2，
∴△AED∽△ACB，
∴，即
解得，AD=5，
∴BD=5，
故选C．
9．如图，已知线段AB，分别以点A、点B ( http: / / www.21cnjy.com )为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是( ）
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A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB
【答案】D
【解析】
【分析】
根据作图的过程可知PD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
由题意可知：PD是线段AB的垂直平分线，所以PA=PB．
故选D．
【点睛】
本题考查了基本作图﹣作已知线段的垂直平分线以及考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．
10．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )
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A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
【答案】C
【解析】
分析：由DE是△ABC中边AB的垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
解答：解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．
∴△ABC的周长为15cm
故答案选C．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．若∠DBC=33°，∠A的度数为______．
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【答案】38°
【解析】
设∠A的度数为x，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠A=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=33°+x，
∴33°+x+33°+x+x=180°，
解得x=38°.
故答案为38°.
12．如图，AE是∠BAC的角平线，AE的中垂线PF交BC的延长线于点F，若∠CAF=50°，则∠B=_______．
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【答案】50°
【解析】
∵AE是中垂线PF交BC的延长线于点F，
∴AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠FAE=∠FAC+∠CAE，∠FEA=∠B+∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠FAC=∠B=50°.
故答案为50°.
13．如图，△ABC中，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
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【答案】16．
【解析】
试题分析：首先根据DE是AB ( http: / / www.21cnjy.com )的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．
解：DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，
△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴AB=△ABC的周长 △EBC的周长，
∴AB=40 24=16(cm).
故答案为16.
14．如图：∠C=90°，DE⊥AB，垂足为D，BC=BD，若AC=3cm，则AE+DE=__________．
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【答案】3cm.
【解析】
试题分析：根据∠C=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，DE⊥AB，又有BC=BD，BE=BE，得出△BDE≌△BCE，可得DE=CE，然后可得AE+DE=AE+EC=AC=3cm.
故答案为3cm．
考点：全等三角形的判定与性质．
15．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．
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【答案】40°
【解析】
∵MP与NQ分别垂直平分AB和AC
∴∠B＝∠BAP，∠QAC＝∠C
∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°
又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP
∠AQP＝∠C＋∠QAC
∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°
在△APQ中
∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP
＝180°－140°＝40°
16．如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是_____度．
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【答案】44°
【解析】
试题分析：设∠BAD为x，则∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3x，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，根据题意得：（x+70°）+2x+2x=180°，解得x=22°，∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．故答案为44°．
考点：线段垂直平分线的性质．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于 D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=_________．
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【答案】8
【解析】
试题解析：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
考点：1.作图—复杂作图；2.线段垂直平分线的性质；3.含30度角的直角三角形．
18．如图，的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若，则的度数是______．
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【答案】20°
【分析】
连接AP，由MP为线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AP=BP，同理可得AP=CP，等量代换可得AP=BP=CP，然后根据等边对等角可得∠ABP=∠BAP，∠PAC=∠ACP及∠PBC=∠PCB，由已知的∠BAC的度数求出∠BAP+∠CAP的度数，等量代换可得∠ABP+∠ACP的度数，同时根据三角形的内角和定理可得∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP，进而得到∠PBC+∠PCB的度数，再根据两角相等，即可求出所求角的度数．
【详解】
连接AP，如图所示．
∵MP为线段AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠ABP=∠BAP
又∵PN为线段AC的垂直平分线，
∴AP=CP，
∴∠PAC=∠ACP，
∴BP=CP，
∴∠PBC=∠PCB，
又∵∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°，
∴∠ABP+∠ACP=70°，且∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=110°，
∴∠PBC+∠PCB=40°，
∴∠PBC=∠PCB=20°．
故答案为20°．
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【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的数学思想，其中作出辅助线AP是解答本题的突破点．
19．如图：△ABC的周长为30cm ( http: / / www.21cnjy.com )，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长．
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【答案】22cm
【解析】
【分析】
直接利用翻折变换的性质得出AE=EC，进而得出△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC-CD=AB+BC，进而得出答案．
【详解】
由图形和题意可知：，，
则，
故的周长，
答：的周长为22cm．
【点睛】
考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到图形中相等的线段.
三、解答题
20．如图在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF＝FC．
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【答案】见解析
【解析】
试题分析：连接AF，根据等腰三角形性质和三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形内角和定理求出∠B=∠C=30°，根据线段的垂直平分线的性质得出BF=AF，推出∠BAF=∠B=30°，求出∠FAC=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
试题解析：
连接AF，
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∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF为AB的垂直平分线，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=120°-30°=90°，
∵∠C=30°，
∴AF=CF，
∵BF=AF，
∴BF=FC．
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