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第三讲 线段的垂直平分线
一、单选题
1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A．∠CAD<∠CBD B．∠CAD＝∠CBD C．∠CAD>∠CBD D．无法判断
【答案】B
【解析】
试题解析：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，
∴AC=BC，AD=BD，
∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，
如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，
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∴∠CAD=∠CBD；
如图2，∠CAD=∠CAB-∠DAB，∠CBD=∠CBA-∠DBA，
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∴∠CAD=∠CBD．
故选B．
考点：线段垂直平分线的性质．
2．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】
由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
【详解】
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
3．如图，在等腰三角形ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于( )
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A．80° B．70° C．30° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后根据代入数据计算即可得解.
【详解】
，，
，
是垂直平分线，
，
，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键.
4．已知在△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( )
A．22cm和16cm B．16cm和22cm
C．20cm和16cm D．24cm和12cm
【答案】A
【分析】
根据已知条件作出图像，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )BD，根据垂直平分线的性质可得BD=AD，可知两三角形的周长差为AB，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC，即可得出答案.
【详解】
如图，连接BD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴BD=AD，
∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm，
且AB+AC+BC=60cm，
∴AB=60-38=22cm,
∴AC=22cm,
∴BC=38-AC=38-22=16cm,
即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm,
故选A.
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【点睛】
此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答.
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，则AE＝( )
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A．6 B．5 C．4.5 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由角平分线的定义得到，再根据线段的垂直平分线的性质得到，则，可得，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，即，由，即可求出.
【详解】
平分，
，
垂直平分于，
，
，
，
，即，
而，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
6．如图，CA＝CB，DA＝D ( http: / / www.21cnjy.com )B，则下列结论：①CE⊥AB；②EA＝EB；③∠CAD＝∠CBD；④∠ACE＝∠DBE；其中正确的个数是( )
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据题目中的已知条件可以证明，从而可以判断结论.
【详解】
在和中，
，
所以，故有：
，
，
和都是等腰三角形，
故，，
故正确的有：①②③.
故选：.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理及等腰三角形的三线合一，要求学生熟练掌握.
7．如图，在△ABC中，∠C＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝13，AC＝5，则△ACD的周长为( )
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A．18 B．17 C．20 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线定理，的周长.
【详解】
因为，，，故，
因为垂直且平分，
，
故的周长.
故选：.
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般.
8．在平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)，下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的是( )
A．(0，2) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，0)
【答案】B
【解析】
本题通过观察可知AB平行于y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )，则AB的垂直平分线平行于x轴，只要计算出AB的中点的纵坐标，判断选项中的四个答案纵坐标是否与中点的纵坐标一致，若一样则为答案．
二、填空题
9．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2cm，则BD＝_____cm．
【答案】2
【解析】
如图:
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设AC的垂直平分线交AC于点E，
∴DE⊥AC，AE=AC，
∴∠AED=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC=1：2，
∵AD=2cm，
∴AB=2AD=4cm，
∴BD=AB-AD=2cm．
故答案是：2．
10．如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．
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【答案】3
【分析】
根据相等垂直平分线性质得AE=CE,则△BCE周长：CE+BE+BC=AE+EB+BC =AB+BC,再代入数据，即可求解.
【详解】
解：∵ED垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴△BCE周长CE+BE+BC=AE+EB+BC=AB+BC,
∵AB=5,△BCE周长=8，
∴BC=8-5=3.
【点睛】
本题考查等腰三角形性质及线段垂直平分线性质，得出△BCE周长=AB+BC是解此题关键.
11．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段_________的垂直平分线上．
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【答案】AD
【解析】
【分析】
由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可结论.
【详解】
，
而，
，
点在的垂直平分线上.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
12．在△ABC中，AB＝AC，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.若FC＝3cm，则BF＝_____________．
【答案】6cm
【分析】
利用辅助线，连接，求出，，再根据，可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出.
【详解】
连接，
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，，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，，
，
（直角边等于斜边的一半），
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形.解题时，通过作辅助线构造直角三角形，利用垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等以及等腰三角形的两个底角相等等知识求得的长度.
三、解答题
13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC BD．
正确的是________（填写所有正确结论的序号）
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【答案】①④．
【解析】
【分析】
①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
【详解】
试题解析：①在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD AO+BD CO=BD （AO+CO）=AC BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E.若∠CAE＝∠B＋30°，求∠AEB的度数．
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【答案】
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠B=∠EAB，
∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
∴∠B=20°，
∴∠AEB=180°-20°-20°=140°．
15．如图，在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．
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【答案】证明见解析
【分析】
先利用两角互余的性质得出，，再由对顶角相等可得出，因为可知，故，由此可得出结论.
【详解】
证明：∵∠B＋∠A＝90°，∠N＋∠CPN＝90°，
又∵∠CPN＝∠MPA＝∠A，
∴∠B＝∠N，
∴BM＝MN，
∴点M在BN的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
16．已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G．求证：∠CAE=∠B．
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【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的定义得到∠BAD ( http: / / www.21cnjy.com )=∠CAD，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，由等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，根据三角形的外角的即可得到结论．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )AD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAC=∠EAD-∠CAD，∠B=∠ADE-∠BAD，
∴∠CAE=∠B．
【点睛】
此题考查三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，解题关键是推出∠FAD=∠FDA．
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第三讲 线段的垂直平分线
一、单选题
1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A．∠CAD<∠CBD B．∠CAD＝∠CBD C．∠CAD>∠CBD D．无法判断
2．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于( )
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A．80° B．70° C．30° D．50°
4．已知在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( )
A．22cm和16cm B．16cm和22cm
C．20cm和16cm D．24cm和12cm
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，则AE＝( )
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A．6 B．5 C．4.5 D．3
6．如图，CA＝CB，D ( http: / / www.21cnjy.com )A＝DB，则下列结论：①CE⊥AB；②EA＝EB；③∠CAD＝∠CBD；④∠ACE＝∠DBE；其中正确的个数是( )
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A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝13，AC＝5，则△ACD的周长为( )
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A．18 B．17 C．20 D．25
8．在平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)，下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的是( )
A．(0，2) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，0)
二、填空题
9．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2cm，则BD＝_____cm．
10．如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．
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11．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段_________的垂直平分线上．
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12．在△ABC中，AB＝AC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.若FC＝3cm，则BF＝_____________．
三、解答题
13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC BD．
正确的是________（填写所有正确结论的序号）
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14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E.若∠CAE＝∠B＋30°，求∠AEB的度数．
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15．如图，在Rt△ABC中，过直角边A ( http: / / www.21cnjy.com )C上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．
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16．已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G．求证：∠CAE=∠B．
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