安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年九年级下学期开学考数学试题(word版含答案)

请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的
2021-2022学年度第二学期开学考试
九年级数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各选项的图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，若，，，则的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
3．将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+4 B．y=（x+2）2﹣4
C．y=（x﹣2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣4
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB＝；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E为对角线AC的中点，点P在边BC上，连接PE、PA．当点P在BC上运动时，设BP=x，△APE的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．若点在反比例函数的图象上，则抛物线与轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
8．如图，与都是等腰三角形，且，，若，则与的面积比为（　　　）
A． B． C． D．
9．已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（　　）
A． B． C． D．1
10．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
第II卷 非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知，则的值为_____．
12．如图，菱形的周长为24，对角线与交于点O，，则_________．
13．已知反比例函数（k为常数）在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_____．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝126°，则∠BDC的度数为 _____．
三、（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A，B，C，D均在小正方形顶点上．
（1）在方格纸中画出面积为5的等腰直角△ABE，且点E在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出面积为3的等腰△CDF，其中CD为一腰，且点F在小正方形的顶点上；
（3）在（1）（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知y关于x的二次函数y=x -bx+b +b-5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求b的取值范围；
（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；
（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．
18．如图，，与互余，，垂足为点，，请说明平分．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF＝BE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH．
①求证：BEAB；
②图2中，若CE＝4，DG＝3，求BE的长．
20．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点，且为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂直于轴，垂直于轴，垂足分别是、.
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.
（2）当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点，使得与的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
七、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．小亮推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示（二次函数图象的一部分）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求小亮推出铅球的水平距离．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O点在△ABC内部，⊙O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝7，CE＝5，求⊙O的半径．
八、（本大题共1小题，满分18分）
23．某数学兴趣小组在课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图1，正方形中，，则　　　；
(2)如图2，长方形中，，，则　　　；
(3)如图3，长方形中，，，求的值，并说明理由．
(4)知识应用：如图4，中，，将沿翻着后得到，点在边上，点在边上，，求的值．
参考答案：
1．C2．D3．C4．D5．D6．A7．C8．C9．A10．C
11．．
12．
13．
14．99°或99度
15． 解：
当时，原式=
16． 【详解】（1）如图所示：
根据勾股定理得：AB=AE=,BE=
∴，∴△ABE是等腰直角三角形，且面积=
（2）如图所示：
根据勾股定理得：DF =DC=, ∴△DCF是等腰三角形，且面积=
（3）根据勾股定理得：EF＝＝．
17．（1）；（2）；（3）或
解：（1）由题意知，
即 ，
∴
解得： ；
（2）由题意，b=4，代入得：，
∴对称轴为直线．
又∵a=1>0，函数图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x=时，，
当x=m时，y=，
解得：（不合题意，舍去）；
∴．
（3） ，函数大致图象如图所示．
①当，即时，
函数y在顶点处取得最小值，有b-5=，
∴b=（不合题意，舍去）
②当，即时，
取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=b+3时，y最小值=，代入得
，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴此时二次函数的解析式为：
③当，即时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y最小值=，代入得
，
即，
解得：，
∴此时二次函数的解析式为：．
综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或
18． 解：∵∠1=∠E，∴AE∥BD，
∴∠B=∠2，
∵BD⊥AC，∴∠DFC=90°，
∴∠1+∠C=90°，
∵∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，
∴∠B=∠1．
在△DFC与△BFA中，
，
∴△DFC≌△BFA(AAS)，
∴DF=BF，
∴AC平分DB．
19． 解：（1）由正方形ABCD，得 AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABE和△ADF中，
∴∠BAE=∠FAD，AE=AF．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°．
即得∠EAF=90°，
又∵AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）①连接AC，
在正方形ABCD中，∠CAB=45°，，AB=CD，
∵AE=AF，∠EAF=90°，且AH⊥EF
∴∠EAH=45°，，
∴，
∵∠BAH=∠BAE+∠EAH=∠BAE+45°，∠CAF=∠DAF+∠DAC=∠DAF+45°，
∴∠BAH=∠CAF，
∴△ACF∽△ABH，
∴，
∴，
∵CF=CD+DF=AB+BE，
∴BEAB；
②连接BG，设BE=x，则DF=x，
∵CE＝4，DG＝3，
∴CB=x+4，FG=x+3，CG=x+4-3=x+1，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF
∴AH垂直平分EF，
∴FG=EG=x+3，
在Rt△ECG中，EG2=CG2+EC2，
∴（x+3）2=(x+1)2+16，
∴x=2，
∴BE=2
20．（1）正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）在直线上存在这样的点或，使得与面积相等.
【详解】（1）设反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为.
∵正比例函数和反比例函数的图像都经过点，∴，. ∴，.
∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为.
（2）当点在直线上运动时，假设在直线上存在这一的点，使得与面积相等，则.
∵，∴，解得.
当时，. 当时，.
故在直线上存在这样的点或，使得与面积相等.
21．（1）；（2）小亮推出铅球的水平距离是10m．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为：，
∵点在的图象上，
∴
解得，，
∴y与x之间的函数关系式是：；
（2）将代入，得，
解得，
由图可知，小亮推出的距离为正值，，不符合题意，舍去，
故小亮推出铅球的水平距离是10m，
答：小亮推出铅球的水平距离是10m．
22． (1)证明：连接OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠ODE+∠COD＝180°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴CG＝DE＝7，DG＝CE＝5，
∵∠GOD＝90°，
∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（7﹣r）2＝52，
解得：r1＝3，r2＝4，
当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，
∴r＝4，即⊙O的半径4．
23．(1)1
(2)
(3)，理由见解析
(4)的值为
【解析】
(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠EAD=∠FDC=90°，
∵，
∴∠ADE+∠DFC=90°，∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE=CF，
∴1，
故答案为：1．
(2)如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∵，
∴∠ADB+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ADB=∠DCE，
∴△ADB∽△DCE，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
(3)如图3，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAE=90°，
∴FH⊥AD，
∴∠HFG+∠DFG=90°，
∵，
∴∠FDE+∠DFG=90°，
∴∠HFG =∠FDE，
∴△ADE∽△HFG，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=90°，∠ABG=90°，AB=CD，
∴FH⊥AD，
∴四边形ABHF是矩形，
∴AB=CD=FH，
∵，
∴=，
故答案为：．
(4)如图4，延长AB，过点C作，
过点D作，
由上可知，
，
，
由折叠知 ，
，
∵，，∠A=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCG+∠BCH=90°，∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠HBC=∠GCD，
∴，
，
设
，
解得，
．
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