2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理课件（20张ppt）

(共20张PPT)
6.3 平面基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
一、呈现背景 提出问题
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
二、分析联想 寻求方法
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.
类似地，我们能否将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢
二、分析联想 寻求方法
探究：如图6.3-2(1)，设 是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量. 如图6.3-2(2)，在平面内任取一点O，作 . 将 按 的方向分解，你有什么发现？
图6.3-2(1)
图6.3-2(2)
二、分析联想 寻求方法
图6.3-2(3)
根据向量的平行四边形法则
又由共线可知，存在实数 ，使得
所以
对于给定的向量 ，这样的 是唯一的吗？
思考：设 是同一平面内两个不共线的向量，在 中 ，
是否唯一？
假设 ，
则
即
所以
所以
所以 唯一
思考：若向量 与 或 共线， 还能用 表示吗？
思考：当 是零向量时， 还可以表示成 的形式吗？
平面向量基本定理
存　在　性
唯　一　性
1. 如果
是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任一向量
使
一对实数
有且只有
若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
三、猜想验证 得出结论
说明：
(1).基底的选择是不唯一的；
(2).同一向量在选定基底后，
是唯一存在的。
(3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同。
设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．{e1，e2}　　　　　 B．{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}
三、猜想验证 得出结论
三、猜想验证 得出结论
例1：如图6.3-4， 不共线，且 ，用
表示 .
如图6.3-4
解：因为
所以
观察 ，
你有什么发现？
结论：若 三点共线，点 是平面内任意一点，若
，则
例2.如图，CD是 的中线， ，用
向量方法证明 是直角三角形。
证明：设
则
因为
所以
因为
所以
因此
于是 是直角三角形。
例3.如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求 (用a，b表示).
四、运用新知 巩固内化
(1)平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
(2)a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
若
则
λ1＝λ2且 μ1＝μ2
课堂检测
1．判断正误(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　)(2)基底中的向量可以是零向量．(　　)(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．(　　)(4)e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得
λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.(　　)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)
D
2.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点。
五、课堂总结，回顾反思
五、回顾反思 拓展问题
3．对基底的理解
①基底是两个不共线向量；
②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
4．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．