(共26张PPT)
1.4.1 角平分线的性质与判定
北师版 八年级下册
新知导入
拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角
A
O
B
不利用工具，有什么方法可以将这个角分成两个相等的角.
可以通过对折的方法
C
新知导入
拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角
A
O
B
C
折痕OC和∠AOB有什么关系？
折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
折痕OC叫做∠AOB的角平分线。
新知讲解
【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？
A
O
B
C
【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？
P
A
D
E
在OC上再取几个点试一试.
新知讲解
【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？
A
O
B
C
P
A
D
E
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系：_____________
PD=PE
猜想：
____________________________________________
请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
新知讲解
已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° .
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
【总结归纳】
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
新知讲解
【总结归纳】
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言：
∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD=PE.
新知讲解
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能写出这个定理的逆命题吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它是真命题吗？
新知讲解
已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴ ∠1 =∠2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP 平分 ∠AOB.
新知讲解
【总结归纳】
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
角平分线的判定
新知讲解
【总结归纳】
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
角平分线的判定
新知讲解
【例】如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ° ，点 D在BC上，AD=10，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，
且 DE=DF，
∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC = 60 ° ，∴ ∠BAD = 30 °
新知讲解
【例】如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ° ，点 D在BC上，AD=10，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90 ° ，AD = 10，
∴ DE= AD = ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
课堂练习
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( )
A．∠BAC＝70°
B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35°
D．∠DAC＝55°
B
课堂练习
3.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：
①△ABE≌△ACF；
②△BDF≌△CDE；
③点D在∠BAC的平分线上．
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③
C．①③ D．①
A
拓展提高
4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
证明：连接AD.
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
拓展提高
解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
中考链接
5.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为( )
A．3 B．
C．2 D．6
A
中考链接
6.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24
B．30
C．36
D．42
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
板书设计
课题：1.4.1 角平分线的性质与判定
教师板演区
学生展示区
一、角平分线的性质
二、角平分线的判定
三、例题讲解
作业布置
课本 P30 练习题
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北师版八年级下册数学1.4.1 角平分线的性质与判定教学设计
课题 1.4.1 角平分线的性质与判定 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.2.进一步增强学生推理证明的能力,提高学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.3.经历探索、猜想、证明使学生掌握解决问题的方法.
重点 角平分线的性质定理及其逆定理.
难点 掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角.不利用工具，有什么方法可以将这个角分成两个相等的角. 教师提问：折痕OC和∠AOB有什么关系？折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。折痕OC叫做∠AOB的角平分线。 学生思考，动手操作，可以通过对折的方法。学生思考回答问题。 通过回顾折纸的知识,复习旧知识的同时导入新课.
讲授新课 【想一想】还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？【动手操作】在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系：PD=PE猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD=PE.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ PDO=∠ PEO=90 ° .∵ ∠ 1=∠ 2，OP=OP，∴ △PDO≌△PEO（AAS）.∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.性质所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.几何语言：∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，∴ PD=PE. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.教师提问：你能写出这个定理的逆命题吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗？已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP 平分∠AOB.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .∵ PD = PE，OP = OP，∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴ ∠ 1 =∠ 2（全等三角形的对应角相等）.∴ OP 平分 ∠ AOB.【总结归纳】角平分线的判定在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线的判定所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．【例】如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ° ，点 D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF，∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵ ∠ BAC = 60 ° ，∴ ∠ BAD = 30 ° 在 Rt△ADE 中，∠ AED = 90 ° ，AD = 10，∴ DE=AD =×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程。学生观察思考后，在班上交流.学生得出猜想。结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程。学生在教师的引导下总结归纳。学生根据上面的猜测及证明，归纳角平分线的判定定理。教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路。 培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫。经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维。通过学生书写证明过程,教师点评,让学生养成用规范的几何符号语言表述问题的习惯.1.通过对角平分线判定定理的探索，培养学生分析推理的能力。2. 培养学生的归纳概括能力。使学生明确角平分线判定定理的作用。通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识。
课堂练习 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A )A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm2.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( B )A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°3.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中正确的是( A )A．①②③ B．②③ C．①③ D．①4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：DE＝DF；证明：连接AD.∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°.5.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为( A )A．3 B． C．2 D．66.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( B )A．24 B．30 C．36 D．42 学生做练习，小组订正。 巩固知识发现和弥补教学中的不足，强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度。
课堂小结 本节课你学到了什么？角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上性 判定质 点到这个角两边的距离相等． (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上． 归纳小结，突出重点，巩固新知，形成知识网络。
板书 课题：1.4.1 角平分线的性质与判定一、角平分线的性质二、角平分线的判定三、例题讲解
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