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2.5 一元一次不等式与一次函数（1） 教案
课题 2.5 一元一次不等式与一次函数（1） 单元 第2单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 会利用函数图象解一元一次不等式.2 了解一元一次不等式与一次函数的关系．
重点 理解一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程的关系,运用此关系求解问题.
难点 理解一元一次不等式、一元一次方程的图象解法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题同学们，在前面的学习中，我们学习了一次函数的相关知识，下面请同学们回答：问题1.什么是一次函数？答案：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．问题2.你能在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x－5的图象吗？答案：1.列表；2.描点；3.连线x02.5y-50观察：请根据函数y＝2x－5的图象回答下列问题：(1)x取何值时，y＝0？答案：x=2.5时,y=0;(2)x取哪些值时，y＞0？答案：x>2.5时,y>0;(3)x取哪些值时，y＜0？答案：x<2.5时,y<0;(4)x取哪些值时，y＞1？答案：x>3时,y>1.想一想：如果y＝－2x－5.(1)当x取何值时，y＞0？解：－2x－5>0－2x>5x<－2.5答案：当x<－2.5时,y>0;(2)当x取哪些值时，y＜0？解：－2x－5<0－2x<5x>－2.5答案：当x>－2.5时,y<0;(3)当x取哪些值时，y＞1？解：－2x－5>1－2x>6x<－3答案：当x<－3时,y>1.追问1：你还有其他的方法吗？解：函数y＝-2x－5的图象如图所示：(1)当x<－2.5时,y>0;(2)当x>－2.5时,y<0;(3)当x<－3时,y>1.追问2：你能说一说一元一次不等式和一次函数的关系吗？归纳：一次函数和一元一次不等式的关系任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为kx＋b＞0或kx＋b＜0(k≠0，k，b为常数)的形式；所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝kx＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．即：关于一次函数的值的问题代数法图象法关于一次不等式的问题 思考自议进一步体会一元一次不等式与一次函数之间的关系. 通过回顾一次函数的定义和画法，为探究一元一次不等式与一次函数之间的关系做好铺垫。
讲授新课 提炼概念三、典例精讲例 1做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象.观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m 谁先跑过100m 解：设哥哥跑的时间为xs，他们跑的路程为ym.根据题意得：，函数图象如图所示：（1）令4x=3x+9,解得，x=9根据图象可知：9s前，弟弟跑在了哥哥的前面.（2）根据图象可知：9s后，哥哥跑在了弟弟的前面.（3）当x＝9时，y＝36.根据图象可知：弟弟先跑过了20m，哥哥先跑过了100m.例2 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集. 体会代数法与图象法在解决实际问题中的具体应用. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 应用图象法解决实际问题，进一步体会一元一次不等式与一次函数的关系.
课堂检测 四、巩固训练 1.如图是一次函数y=kx+b的图象，不等式kx+b<0的解集为( )A．x<-2.5 B．x>-2.5 C．x<-3 D．x>-3 D2.如图是一次函数y=kx+b的图象，当y<2时，x的取值范围是( )A．x<1 B．x>1 C．x<3 D．x>3A3.如图，直线l1：y1=kx+b 与直线 l2：y2=x+a 在同一平面直角坐标系中的图象，则关于kx+b>x+a的不等式的解为( )A、x＞3 B、x＜3 C、x=3 D、无法确定B4.已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，y1＜y2 方法一：代数法．y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2. 所以当x＜2时，y1＜y2.方法二：图象法．在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．观察图象可知，当x＜2时，y1＜y2.4.某公司推销一种产品，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是推销费，如图表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求y1与y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案．解：(1)设y1＝k1x(k1≠0)．将点(30,600)代入，可得k1＝20，∴y1＝20x.设y2＝k2x＋b(k2≠0)．将点(0,300)，(30,600)分别代入，得b＝300和30k2＋b＝600，解得k2＝10，b＝300.∴y2＝10x＋300.（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元；y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月能保证推销都为30件时，两种方案都可以；平均每月能保证推销大于30件时，就选择y1的付费方案；平均每月能保证推销小于30件时，选择y2的付费方案．
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题：一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？答案：既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用。
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北师大版 八年级下
2.5 一元一次不等式与一次函数（1）
情境引入
一次函数的图象是__________.它与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ；要作一次函数的图象，只需_______点即可.
一条直线
（0，b）
两
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
合作学习
导入新课
作出一次函数y=2x-5的图象
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
观察图象回答下列问题：
（1）x 取何值时，y = 0 ？
（2）x 取哪些值时，y > 0 ？
（3）x 取哪些值时，y < 0 ？
（4）x 取哪些值时，y > 1 ？
x=2.5
0
1
2
3
4
5
-2
-1
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
(2.5,0)
x
y=2x-5
y
x＞2.5
x＜2.5
x ＞3
想一想
如果 y = - 2 x - 5，那么当 x 取何值时，y < 0 ？当 x 取哪些值时，y < 1 ？你是怎样求解的？与同伴交流．
想一想：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
思路二:
将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式-2x-5 >0
∴当x<-2.5时, y>0.
思路一:
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当x<-2.5时, y>0.
(-2.5,0)
作一次函数y=-2x-5的图象
提炼概念
转化思想：
一次函数问题
一次不等式(方程) 问题
转化
求函数问题的方法：
(1)图象法：
画出函数图象解决函数问题；
(2)列式法：
列不等式(方程)求解解决函数问题.
典例精讲
做一做
例 1 ：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m． 列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过 20 m ？谁先跑过 100 m ？
（4）你是怎样求解的？与同伴交流
解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:y1=4x y2=3x+9
(1)___________时,
弟弟跑在哥哥前面.
(2)__________时,
哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过20m.______先跑过100m.
(4)你是怎样求解的 与同伴交流.
0(s)x>9(s)
y1=4x
y2=3x+9
0
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
(9,36)
-2
x
y=3x+6
y
例2 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
(1)3x+6>0
(3) –x+3 ≥0
x
y
3
y=-x+3
(2)3x+6 ≤0
x>-2
(4) –x+3<0
x≤3
x≤-2
x>3
(即y>0)
(即y≤0)
(即y<0)
(即y≥0)
归纳概念
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值
大于0（或小于0）时x
的取值范围
直线y= ax+b在X轴上方或
下方时自变量的取值范围
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
课堂练习
1.如图是一次函数y=kx+b的图象，不等式kx+b<0的解集为( )
A．x<-2.5 B．x>-2.5
C．x<-3 D．x>-3
-2.5
D
2.如图是一次函数y=kx+b的图象，当y<2时，x的取值范围是( )
A．x<1 B．x>1
C．x<3 D．x>3
A
3.如图，直线l1：y1=kx+b 与直线 l2：y2=x+a 在同一平面直角坐标系中的图象，则关于kx+b>x+a
的不等式的解为( )
A、x＞3 B、x＜3
C、x=3 D、无法确定
B
方法一：代数法．
y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.
所以当x＜2时，y1＜y2.
解：
4.已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，
y1＜y2
方法二：图象法．
在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．
由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．
观察图象可知，
当x＜2时，y1＜y2.
4.某公司推销一种产品，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是推销费，如图表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
(1)求y1与y2的函数解析式；
(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案．
解：(1)设y1＝k1x(k1≠0)．
将点(30,600)代入，可得k1＝20，
∴y1＝20x.
设y2＝k2x＋b(k2≠0)．
将点(0,300)，(30,600)分别代入，得b＝300和30k2＋b＝600，
解得k2＝10，b＝300.
∴y2＝10x＋300.
（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元；y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．
（3）若业务能力强，平均每月能保证推销都为30件时，两种方案都可以；
平均每月能保证推销大于30件时，就选择y1的付费方案；
平均每月能保证推销小于30件时，选择y2的付费方案．
课堂总结
作业布置
教材课后配套作业题。
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2.5 一元一次不等式与一次函数（1） 学案
课题 2.5 一元一次不等式与一次函数（1） 单元 第2单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 会利用函数图象解一元一次不等式.2 了解一元一次不等式与一次函数的关系．
重点 理解一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程的关系,运用此关系求解问题.
难点 理解一元一次不等式、一元一次方程的图象解法.
教学过程
导入新课 【引入思考】问题1.什么是一次函数？问题2.你能在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x－5的图象吗？观察：请根据函数y＝2x－5的图象回答下列问题：(1)x取何值时，y＝0？(2)x取哪些值时，y＞0？(3)x取哪些值时，y＜0？(4)x取哪些值时，y＞1？想一想：如果y＝－2x－5.(1)当x取何值时，y＞0？(2)当x取哪些值时，y＜0？(3)当x取哪些值时，y＞1？追问1：你还有其他的方法吗？追问2：你能说一说一元一次不等式和一次函数的关系吗？
新知讲解 提炼概念 典例精讲 例 1做一做：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象.观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m 谁先跑过100m 例2 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
课堂练习 巩固训练 1.如图是一次函数y=kx+b的图象，不等式kx+b<0的解集为( )A．x<-2.5 B．x>-2.5 C．x<-3 D．x>-32.如图是一次函数y=kx+b的图象，当y<2时，x的取值范围是( )A．x<1 B．x>1 C．x<3 D．x>33.如图，直线l1：y1=kx+b 与直线 l2：y2=x+a 在同一平面直角坐标系中的图象，则关于kx+b>x+a的不等式的解为( )A、x＞3 B、x＜3 C、x=3 D、无法确定4.已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，y1＜y2 5.某公司推销一种产品，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是推销费，如图表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求y1与y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案．答案引入思考问题1.什么是一次函数？答案：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．问题2.你能在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x－5的图象吗？答案：1.列表；2.描点；3.连线x02.5y-50观察：请根据函数y＝2x－5的图象回答下列问题：(1)x取何值时，y＝0？答案：x=2.5时,y=0;(2)x取哪些值时，y＞0？答案：x>2.5时,y>0;(3)x取哪些值时，y＜0？答案：x<2.5时,y<0;(4)x取哪些值时，y＞1？答案：x>3时,y>1.想一想：如果y＝－2x－5.(1)当x取何值时，y＞0？解：－2x－5>0－2x>5x<－2.5答案：当x<－2.5时,y>0;(2)当x取哪些值时，y＜0？解：－2x－5<0－2x<5x>－2.5答案：当x>－2.5时,y<0;(3)当x取哪些值时，y＞1？解：－2x－5>1－2x>6x<－3答案：当x<－3时,y>1.追问1：你还有其他的方法吗？解：函数y＝-2x－5的图象如图所示：(1)当x<－2.5时,y>0;(2)当x>－2.5时,y<0;(3)当x<－3时,y>1.追问2：你能说一说一元一次不等式和一次函数的关系吗？归纳：一次函数和一元一次不等式的关系任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为kx＋b＞0或kx＋b＜0(k≠0，k，b为常数)的形式；所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝kx＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．提炼概念典例精讲 例 1解：设哥哥跑的时间为xs，他们跑的路程为ym.根据题意得：，函数图象如图所示：（1）令4x=3x+9,解得，x=9根据图象可知：9s前，弟弟跑在了哥哥的前面.（2）根据图象可知：9s后，哥哥跑在了弟弟的前面.（3）当x＝9时，y＝36.根据图象可知：弟弟先跑过了20m，哥哥先跑过了100m.例2 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.巩固训练 1. D2.A3.B4.方法一：代数法．y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2. 所以当x＜2时，y1＜y2.方法二：图象法．在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．观察图象可知，当x＜2时，y1＜y2.5.解：(1)设y1＝k1x(k1≠0)．将点(30,600)代入，可得k1＝20，∴y1＝20x.设y2＝k2x＋b(k2≠0)．将点(0,300)，(30,600)分别代入，得b＝300和30k2＋b＝600，解得k2＝10，b＝300.∴y2＝10x＋300.（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元；y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月能保证推销都为30件时，两种方案都可以；平均每月能保证推销大于30件时，就选择y1的付费方案；平均每月能保证推销小于30件时，选择y2的付费方案．
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题：一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？答案：既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用。
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