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北师版八年级下册数学1.4.2 三角形的角平分线教学设计
课题 1.4.2 三角形的角平分线 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.2.提高学生养成能将文字语言转化为符号语言、图形语言表达数学问题的能力.3.提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.4.培养学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.在数学活动中获得成功的体验和建立自信心.
重点 了解并掌握三角形角平分线的性质
难点 角平分线的判定定理和性质定理的综合应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：1.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.【小组讨论】如图所示，某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.你能解决这个问题吗？ 学生思考回答问题。 通过问题的设置,激发学生的学习兴趣,同时引入课题。通过一道实际问题,自然地引出对三角形角平分线性质的探究,通过类比线段垂直平分线和角平分线之间的相似性,使学生初步感受数学对象之间的相互联系体验,从而找出解决问题的方法.
讲授新课 在练习本上任意画出一个三角形画出三角形三条角平分线。你发现了什么？三角形的三条角平分线相交于一点.分别过交点作三角形三边的垂线，你能发现什么？过交点作三角形三边的垂线段相等.综上你能得出什么结论？三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.怎样证明上面的结论？已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.求证：∠A 的平分线经过点P，且PD = PE = PF.证明：∵ BM是△ABC 的角平分线， 点P在BM上，∴ PD=PE. 同理，PE = PF.∴ PD=PE=PF.∴ 点P在∠A的平分线上即∠A的平分线经过点 P.【总结归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.几何语言：在△ABC 中，∵ BM，CN，AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴BM，CN，AH相交于一点P，且PD=PE=PF.比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理【例】如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.（1）已知CD=4 cm，求AC的长；解析：求AC的长可转化为求BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cm，求出DB的长即可。要证AB=AC+CD，转化为证明AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.（1）解：∵ AD是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，∴ DE=CD=4 cm，∵ AC=BC，∴ ∠ B=∠ BAC（等边对等角）.∵ ∠ C= 90 ° ，∴ ∠ B=×90 °=45 ° .∴ ∠ BDE = 90 ° - 45 ° = 45 ° .∴ BE=DE（等角对等边）.在等腰直角三角形 BDE 中，BD = = cm（勾股定理）.∴ AC = BC = CD + BD =（4 +）cm.（2）求证：AB=AC+CD.证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵ BE = DE = CD，∴ AB = AE + BE = AC + CD. 学生在练习本上画三角形，并按照要求画出三条角平分线。思考问题。类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证,并尝试完成证明过程.学生在教师的引导下总结归纳。学生根据所学知识和三角形三条边的垂直平分线做对比。学生根据所学知识解决问题。 在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。通过设问，学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题的能力，符合新课程标准。发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。此处内容的证明与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似,因此在证明结论时,引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考,加深学生对定理的理解与应用.培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( A )A．点M B．点N C．点P D．点Q2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( C )A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( A )A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2C．∠1<∠2 D．无法确定4．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm. 若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是( C )A．22 cm2 B．25 cm2 C．28 cm2 D．56 cm25．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC；证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．解：AB＋AC＝2AE.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.6.【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( B )A．30° B．35° C．45° D．60°7.【中考·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( B )A．4 B．3 C．2 D．1 学生做练习，教师讲解。 通过练习引导学生分析解题思路,使学生学会思考问题,同时注意书写格式.在证明的选题上,注意减缓坡度,循序渐进.
课堂小结 本节课你学到了什么？本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等.并综合运用我们前面学过的定理解决几何中的计算和证明问题. 学生在教师的引导下总结归纳。 发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：1.4.2 三角形的角平分线一、三角形的三条角平分线的性质二、例题讲解
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1.4.2 三角形的角平分线
北师版 八年级下册
新知导入
角平分线的性质：
角平分线的判定：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
新知导入
【小组讨论】如图所示，某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.
你能解决这个问题吗？
新知讲解
在练习本上任意画出一个三角形
画出三角形三条角平分线。
你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点.
新知讲解
分别过交点作三角形三边的垂线，你能发现什么？
过交点作三角形三边的垂线段相等.
新知讲解
综上你能得出什么结论？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
怎样证明上面的结论？
新知讲解
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点P，且PD = PE = PF.
证明：∵ BM是△ABC 的角平分线，
点P在BM上，
∴ PD=PE. 同理，PE = PF.
∴ PD=PE=PF.
∴ 点P在∠A的平分线上
即∠A的平分线经过点 P.
新知讲解
【总结归纳】
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
A
B
C
F
N
D
M
E
P
H
几何语言：在△ABC 中，
∵ BM，CN，AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴BM，CN，AH相交于一点P，
且PD=PE=PF.
新知讲解
比较三角形三条边的垂直平分线和三个内角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三 角 形 锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
交点性质
交于三角形内一点
交于三角形外一点
交于斜边的中点
交于三角形内一点
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三条边的距离相等
新知讲解
【例】如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的
角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知CD=4 cm，求AC的长；
解析：求AC的长可转化为求BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cm，求出DB的长即可。要证AB=AC+CD，转化为证明AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.
新知讲解
（1）解：∵ AD是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE=CD=4 cm，
∵ AC=BC，∴ ∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵ ∠C= 90 ° ，∴ ∠B= ×90 °=45 ° .
∴ ∠BDE = 90 ° - 45 ° = 45 ° .
∴ BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = = cm（勾股定理）.
∴ AC = BC = CD + BD =（4 + ）cm.
新知讲解
【例】如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的
角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（2）求证：AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.
∵ BE = DE = CD，
∴ AB = AE + BE = AC + CD.
课堂练习
A
1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
课堂练习
C
课堂练习
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2
B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．无法确定
A
课堂练习
4．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2 cm. 若△ABC的周长是28 cm，则△ABC的面积是( )
A．22 cm2
B．25 cm2
C．28 cm2
D．56 cm2
C
拓展提高
5．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.
拓展提高
(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
解：AB＋AC＝2AE.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.
∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF
＝AE＋AE＝2AE.
中考链接
6.【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
B
中考链接
7.【中考·滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
①AC＝BD；
②∠AMB＝40°；
③OM平分∠BOC；
④MO平分∠BMC.
其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等.
并综合运用我们前面学过的定理解决几何中的计算和证明问题.
板书设计
课题：1.4.2 三角形的角平分线
教师板演区
学生展示区
一、三角形的三条角平分线的性质
二、例题讲解
作业布置
课本 P32 练习题
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