2021—2022学年华东师大版数学九年级下册27.1.1圆的认识第2课时垂径定理课件（24张）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年华东师大版数学九年级下册27.1.1圆的认识第2课时垂径定理课件（24张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 17.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-23 13:12:52 | ||
图片预览
文档简介
(共24张PPT)
垂径定理
垂径定理
27.1.2圆的对称性 第2课时
华师版九年级下册第二十七章 圆
学校：
姓名：
学习目标
1
2
3
4
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
理解垂直于弦的直径的性质和推论
能应用垂径定理解决一些简单的计算、
证明和作图问题。
新课导入
你能通过折叠的方式找到圆形
纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
折一折
想
圆是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
说
你怎样认为？
●O
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
回
顾
add name
动手做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，
把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，
得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B。
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
·
O
A
B
D
E
C
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
几何语言：
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
AD =BD.
1、要点精析：
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径．
(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
判断下列图形，能否使用垂径定理？
不可以
不可以
可以
可以
你想好了吗？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可
add name
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
例1：已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD．
．
O
A
B
C
M
D
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
O
A
B
C
·
2.易错警示：
(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中， 弦越长，则其弦心距越小．
(2)两条平行弦所夹的弧相等．
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．
24
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．BD=BC
⌒
⌒
C
．
A
B
C
O
D
E
随堂练习
弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
d+h=r
证明猜想
1
2
3
4
5
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
CD是直径
CD⊥AB，垂足为E
AE=BE
AC=BC AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，即：
要点精析：推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径．
(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即：
垂径定理的推论
拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，
它具备以下五个性质：
(1)直线过圆心；
(2)直线垂直于弦；
(3)直线平分弦(不是直径)；
(4) 直线平分弦所对的优弧；
(5)直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，
组成的命题都是真命题．
垂径定理的推论
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
视频：垂径定理微课讲解
拓展
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
作业布置
2.教材练习题
1.高分突破课时内容
垂径定理
垂径定理
27.1.2圆的对称性 第2课时
华师版九年级下册第二十七章 圆
学校：
姓名：
学习目标
1
2
3
4
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
理解垂直于弦的直径的性质和推论
能应用垂径定理解决一些简单的计算、
证明和作图问题。
新课导入
你能通过折叠的方式找到圆形
纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
折一折
想
圆是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
说
你怎样认为？
●O
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
回
顾
add name
动手做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，
把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，
得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B。
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
·
O
A
B
D
E
C
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
几何语言：
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
AD =BD.
1、要点精析：
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径．
(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
判断下列图形，能否使用垂径定理？
不可以
不可以
可以
可以
你想好了吗？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可
add name
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
例1：已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD．
．
O
A
B
C
M
D
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
O
A
B
C
·
2.易错警示：
(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中， 弦越长，则其弦心距越小．
(2)两条平行弦所夹的弧相等．
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．
24
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．BD=BC
⌒
⌒
C
．
A
B
C
O
D
E
随堂练习
弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
d+h=r
证明猜想
1
2
3
4
5
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
CD是直径
CD⊥AB，垂足为E
AE=BE
AC=BC AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，即：
要点精析：推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径．
(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即：
垂径定理的推论
拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，
它具备以下五个性质：
(1)直线过圆心；
(2)直线垂直于弦；
(3)直线平分弦(不是直径)；
(4) 直线平分弦所对的优弧；
(5)直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，
组成的命题都是真命题．
垂径定理的推论
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
视频：垂径定理微课讲解
拓展
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
作业布置
2.教材练习题
1.高分突破课时内容