2021 级高一下学期数学学科收心考试试题
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 命题“ x R ， x3 2x 3”的否定是（ ）
A. x R ， x3 2x 3 B. x R ， x3 2x 3
C. x R ， x3 2x 3 D. x R ， x3 2x 3
→ → →
2.如图，在⊙O中，向量OB，OC，AO是( )
A．有相同起点的向量 B．共线向量
C．模相等的向量 D．相等的向量
3. 已知 a log 5，b ， c 2 0.13 ，则（ ）
A. a b c B. c a b C. b c a D. a c b
2
4. 函数 f x x 1 lg 3 x 的定义域为（ ）
A. 1,3 B. 1, C. 1,3 D. 1,3 3,
5. 若函数 f x 的定义域为 R，则下列函数必为奇函数的是（ ）
A. y f x f x B. y f x
C. y f x f x
4
D. y f x
ln x
6. 函数 f x 的大致图象是（ ）
ex e x
A. B.
C. D.
1
7. 已知 x 0， y 0，且 4x y xy，则 x 16y的最小值为（ ）
A. 64 B. 81 C. 100 D. 121
8. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的
纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中 50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的 4%，则
至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取 lg 2 0.3）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二 多选题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 已知函数 f x 1 loga x 2 （ a 0且a 1），则（ ）
A. f x loga x B. f x 的图象恒过原点
C. f x 无最大值 D. f x 是增函数
10. 在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A 表示随机事件“至少中靶 1次”，事
件 B 表示随机事件“正好中靶 2次”，事件C表示随机事件“至多中靶 2次”，事件D表示随
机事件“全部脱靶”，则（ ）
A. A 与C是互斥事件 B. B 与D是互斥事件
C. A 与D是对立事件 D. B 与C是对立事件
11．如图为函数 y＝m＋lognx的图像，其中 m，n为常数，则下列结论正确的是( )
A．m＜0 B．m＞0
C．n＞1 D．0＜n＜1
1 x
12. 下面对函数 f(x)＝log1x与 g(x)＝ 在区间(0，＋∞)上的 2
2
衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
2
三 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
1 1
a b
13. 已知 2 ＝5 ＝c， ＋ ＝1，则 c＝________.
a b
14. 写出一个同时具有下列三个性质的函数： f x ___________.
① f x 为幂函数；② f x 为偶函数；③ f x 在 ,0 上单调递减.
15. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，
在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲
乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概
1 1
率分别为 、 ，每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次，
2 3
乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为
___________.
16. 已知函数f(x) lg(x 2 2ax 5a)在 2，+ 上是增函数，则a的取值范围是
___________.
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程成演算步骤.
17. 求值：
2 3 1
（1） 64 3 3 4 2 0.125 3 ；
2 log
log 7 log 3 9
49 2
（2） 3 7 log7 3 .
log7 3
18. 已知非空集合 A x 2a 3 x a ，B x x2 2x 8 0 .
（1）当 a 0时，求 A B， A R B ；
（2）若“ x A”是“ x B”的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
19. 春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川
重庆 江西等地，四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了 8棵春见柑橘树未使用新技
术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：
未使用新技术时的 8棵春见柑橘树的年产量
3
第一棵 第二棵 第二棵 第四棵 第五棵 第六棵 第七棵 第八棵
年产量 30 32 33 30 34 30 34 33
使用了新技术后的 8棵春见柑橘树的年产量
第一棵 第二棵 第三棵 第四棵 第五棵 第六棵 第七棵 第八棵
年产量 40 39 40 37 42 38 42 42
已知该基地共有 40亩地，每亩地有 55棵春见柑橘树
（1）根据这 8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产
量比未使用新技术时增加的百分比；
（2）已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克 5元，市场销售价格为每千克 10元.若该
基地所有的春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该
基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元.
20. 已知函数y f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 0时，f(x) x 2 ax .
（1）若a 2，求函数f(x )的解析式;
（2）若函数f(x )是R 上的单调递减函数,
①求实数a 的取值范围;
②若对任意实数 m ，f(m 1) f(m 2 t) 0恒成立，求实数t 的取值范围.
21. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5个不同的题目．其中，选择题 3个，判断题 2个，
甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2x a
22.已知函数f(x) 是定义域为R 的奇函数
b 2x 1
（1）求函数f(x )的解析式
（2）若存在x x 2,2 使不等式f(m 4 ) f(1 x
x 1) 0成立，求m的最小值
42021 级高一下学期数学学科收心考试试题参考答案
一 1【详解】命题“ x R ， x3 2x 3”的否定是“ x R ， x3 2x 3”.故选：D．
→ → →
2 [由题知OB，OC，AO对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．故选 C
2 log 5 1 2 0.13【详解】因为 3 ，所以 c a b .故选：B．
x 1 0
4【详解】依题意， ，解得 x 1且 x 3，
(3 x)
2 0
所以函数 f x 的定义域为 1,3 3, .故选：D
5【详解】 x R ，由 g x f x f x g x 得 y f x f x 是偶函数，故 A错误；
x R ，由 g x f x g x 得 y f x 是偶函数，故 B错误；
x R ，由 g x f x f x g x 得 y f x f x 是奇函数，故 C正确；
4
x R ，由 g x f x g x 4得 y f x 是偶函数，故 D错误； 故选：C.
6【详解】因为 f x 定义域为 ,0 0, ，且 f x f x ，所以 f x 是偶函数，排除
B；又 f 1 0，排除 C；当 x 1时，函数 y ex e x比 y ln x 增长得更快，故函数的大致图
象为 D选项.故选：D
1 4 1 4
7【分析】由已知得 1，x 16y x 16y ，展开后再利用基本不等式可得答案.
x y x y
1 4
详解】由题意得 1，
x y
1 4 16y 4x 16y 4x
所以 x 16y x 16y 65 2 65 81，
x y x y x y
16y 4x
当且仅当 ，即 x 2y 9时，等号成立.故选：B.
【x y8【详解】设经过 n次提炼后，水中的杂质不超过原来的 4%， n由题意得 1 50% 4%， 1 2lg5 2 1 lg 2 得 n log 1 2log2 5 4.7， 25 lg 2 lg 2
2
所以至少需要 5次提炼，故选：A.
1
二 9【详解】因为 f x 1 loga x 2 loga x 1 1 ，所以 f x loga x 1 ，A错误；
由 f x loga x 1 得 x 1 1即 x 0， f x 的图象恒过 0,0 即原点，B正确；
当 a 1时，u x 1 x 1 单调递增函数， f x loga u是单调递增函数，
由复合函数的单调性可得 f x loga x 1 在 x 1, 是单调递增函数，
所以 f x 无最大值，
当 0 a 1时，u x 1 x 1 是单调递增函数， f x loga u是单调递减函数，
由复合函数的单调性可得 f x loga x 1 在 x 1, 是单调递减函数，
所以 f x 无最大值，综上，故 C正确，D错误.故选：BC.
10【详解】A 与C可能同时发生，不是互斥事件，故A 选项错误；
B 与D不可能同时发生，但 B 与D不是事件的所有结果，故 B 选项正确；
A 与D不可能同时发生，且A 与D为事件的所有结果，故C选项正确；
B 与C可能同时发生，故D选项错误.故选：BC
11 答案 AD [当 x＝1 时，y＝m，由图形易知 m＜0，又函数是减函数，所以 0＜n＜1．]
1 x
12 答案：ABD [结合指数函数 y＝ 和对数函数 y＝log1x 的图像(图略)易得 C 正确，ABD 2
2
错误．]
1 1 1 1
三 13 由 2a＝5b＝c，得 a＝log2c，b＝log5c， ＋ ＝ ＋ ＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所
a b log2c log5c
以 c＝10.]故：10
a
14【详解】由幂函数 y x ，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此 f (x) x2 ，或 f (x) x4 ，
2
f (x) x 3 等等．
2
故答案为： x2 （或 x4 ， x 3 ，答案不唯一）．
3
1 1 1 4
15【详解】若甲只投中1次，则他获胜的概率为2 1 1 ；
2 2 3 27
2 3 2 1 1 1 1 5
若甲只投中 2次，则他获胜的概率为 1 3 1 .
2 3 3 3 27
2
4 5 1 1
故甲最后获胜的概率为 .故答案为： .
27 27 3 3
16答案 ： 2,4
四 17【答案】（1） 0 （2） 2
【小问 1详解】
2 3
1
3
3 1 2 1 1 3 原式 1 4
2
4
3
4 4
2 2 4 2 0
8 4
【小问 2详解】
2 2 log 7 2 2 2
原式 log3 7 log7 3 2log3 7 log7 3
3 log7 3 log3 7 2 log3 7 2.
log7 3
18【答案】（1） A B x 3 x 4 ， A R B x 3 x 2
1
（2） ,3
2
【分析】（1）先解出集合 B，再根据集合的运算求得答案;
（2）根据题意可知 A .B，由此列出相应的不等式组，解得答案.
【小问 1详解】
A x 3 x 0 ， B x x 2 x 4 0 x 2 x 4 ，
故 A B x 3 x 4 ， A R B x 3 x 2 ；
【小问 2详解】
由题意 A是非空集合，“ x A”是“ x B”的充分不必要条件，
2a 3 a 2a 3 a 2a 3 a
故得 A .B，得 a 4 ，或 a 4 或 a 4 ,
2a 3 2
2a 3 2
2a 3 2
1
a 1 解得 a 3，故 的取值范围为 ,3 .
2 2
19【解析】【小问 1详解】
未使用新技术时的 8棵春见相橘树的年产量的平均值：
1
x1 30 32 33 30 34 30 34 33 32千克，
8
使用了新技术后的 8棵春见相橘树的年产量的平均值：
1
x2 40 39 40 37 42 38 42 42 40千克，
8
3
故可估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比约为
40 32
100% 25% .
32
【小问 2详解】
该基地使用新技术后春见相橘 年总产量约为40 40 55 88000千克，
故该基地使用新技术后春见相橘的年总利润约为
88000 0.8 10 5 88000 0.2 10 0.8 5 404800 40.48万元.
x
2 2x,x 0 5
20答案：(1)f(x) (2) ,0 ;; ,
x
2 2x,x 0 4
21 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．
[解] 把 3 个选择题记为 x1，x2，x3,2 个判断题记为 p1，p2.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，
p1)，(x3，p2)，共 6 种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，
x2)，(p2，x3)，共 6 种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，
x2)，共 6 种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种．
总的事件数为 20.
6 3
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 ＝ ，
20 10
6 3
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为 ＝ ，
20 10
3 3 3
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 ＋ ＝ .
10 10 5
2 1
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 ＝ ，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择
20 10
1 9
题”的概率为 1－ ＝ .
10 10
2x 1
22答案：(1)f(x) (2)m 8
x min2 1
4
