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2.5.1 矩形的性质教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：10
课 题 矩形的性质 课型 新授课
教学目标 1. 掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系； 2. 掌握矩形的边、角、对角线的性质； 3. 理解矩形既是中心对称图形也是轴对称图形； 4. 学会直角三角形、等腰三角形、矩形的性质的综合应用.
教学重点 1. 探究矩形的性质； 2. 利用矩形的性质，结合直角三角形、等腰三角形的性质解答几何问题。
教学难点 1. 理解矩形与平行四边形的联系与区别，掌握矩形的性质； 2. 矩形性质的综合应用。
教 学 活 动
一、温故知新 师问生答，PPT展示 1、 平行四边形是怎样的四边形？ PPT：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. . 2、 平行四边形的边、角、对角线及对称性分别有哪些性质？ PPT：平行四边形的对边平行且相等。 平行四边形的邻角互补，对角相等。 平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形是中心对称对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 二、教学新知 （一）教学矩形的概念 1、 出示问题：在小学，我们初步认识了长方形，观察下图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？ 2、 学生合作交流 生1：我发现这些长方形的对边平行且相等。因此，它们是平行四边形. 生2：我发现这些四边形的四个角都是直角. 生3：在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角. 3、 抽象概念 师：这样的平行四边形叫作什么呢？ PPT：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.也称长方形。 （二）探索矩形的性质 1、 师生互动，了解性质 师：从上面的探究，你能说出矩形的边、角、对角线的性质吗？ 生：矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分. 师：矩形是平行四边形，那么它具有怎样的对称性？ 生：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 2、 合作讨论，理解矩形的对角线相等 问题：如图，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？ 学生合作讨论后说明道理： 如图，四边形ABCD是矩形，于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90°， BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB(SAS). ∴ AC=BD. 3、 展示结论： 由此得到矩形的性质：矩形的对角线相等. 三、讲解例题 例1 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°. 求BC的长. 分析：根据矩形的性质，由已知AC=4cm求出OA，OB；再由∠AOB=60°得出△AOB是等边三角形，从而求出AB；最后利用勾股定理即可求出BC的长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OA=OB=AC=2cm. 又 ∠AOB = 60°， ∴ △AOB是等边三角形. ∴ AB=OA=2cm. ∵ ∠ABC=90°， ∴ 在Rt△ABC中，BC= 方法指导：从例1可知，解决矩形中问题要注意： ①合理利用矩形的边、角和对角线的性质； ②矩形的每一条对角线，把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，且相对的每对三角形全等，解决矩形问题也要利用好这些三角形的性质。 四、合作探究 1、 做一做：在纸上画一个矩形ABCD(如图)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？ 2、 合作讨论，说明道理： 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，则OA=OB=OC=OD. 过点O作直线EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F， ∵ AD∥BC， ∴ EF⊥AD. 根据等腰三角形的性质，得BE=CE，AF=DF. ∴ EF是BC和AD的垂直平分线. 因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称. 从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴. 类似地，过点O作直线MN⊥AB，分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴. 3、 概括结论 PPT：矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 五、巩固练习 1、 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的（ ） A. 等腰梯形 B. 正五边形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】D 2、 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的（ ） A. 等腰梯形 B. 正五边形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】D 六、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 什么样的平行四边形叫作矩形？ PPT：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 2、 矩形的边、角、对角线有什么性质？ PPT：矩形的两组对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线互相平分且相等. 3、 矩形具有怎样的对称性？ PPT：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 4、 矩形的对角线把矩形分成怎样的三角形？ PPT：矩形的每条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形. 矩形的两条对角线把矩形分成相对的两组全等的等腰三角形. 七、作业布置及指导 第60页课后练习第1、2题： 1、 已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长. 分析 根据题意，画出右边的图形，然后利用矩形的对角线的性质，结合等腰三角形或直角三角形的有关性质解答. 解 如图，∵ 四边形ABCD是矩形，AC=2cm， ∴ OB=OC. 又∵ ∠AOB=60°， ∴ ∠ACB=30°. ∴ AB=AC=1cm. ∴ 在Rt△ABC中，BC= 因此，矩形的长为cm，宽为1cm. 2、 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半. 解 ∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA=OC，OB=OD，AC=BD. ∴ OB=OD=AC 即 直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
板书设计 2.5.1矩形的性质 1、 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 2、 矩形的性质： ①矩形的四个角都是直角； ②矩形的对边平行且相等； 矩形的对角线相等且互相平分； ③矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。经过对边中点的直线是矩形的对称轴。对角线的交点是矩形的对称中心。 3、 矩形性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质的综合应用。
课后反思
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
2.5.1 矩形的性质
湘教版 八年级下
教学目标
1. 掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系；
2. 掌握矩形的边、角、对角线的性质；
3. 理解矩形既是中心对称图形也是轴对称图形；
4. 学会直角三角形、等腰三角形、矩形的性质的综合应用.
新知导入
平行四边形是怎样的四边形？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四边形
平行四边形
两组对边分别平行
新知导入
平行四边形的边、角、对角线及对称性分别有哪些性质？
平行四边形的对边平行且相等。
平行四边形的邻角互补，对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形是中心对称对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
新知讲解
在小学，我们初步认识了长方形，观察下图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？
新知讲解
我发现这些长方形的对边平行且相等。因此，它们是平行四边形.
我发现这些四边形的四个角都是直角.
新知讲解
在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角.
这样的平行四边形叫作什么呢？
新知讲解
平行四边形
矩形
有一个是直角
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.也称长方形.
新知讲解
矩形是特殊的平行四边形，因此具有平行四边形的性质，同时又有矩形的特有性质。从上面探索可知：
矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.
新知讲解
矩形也具有平行四边形的对称性，即
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
矩形还具有哪些性质呢？
新知讲解
如图，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？
O
A
B
C
D
新知讲解
O
A
B
C
D
如图，四边形ABCD是矩形，于是有
AB=DC，
∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB(SAS).
∴ AC=BD.
由此得到矩形的性质：
矩形的对角线相等.
新知讲解
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°. 求BC的长.
新知讲解
分析 根据矩形的性质，由已知AC=4cm求出OA，OB；再由∠AOB=60°得出△AOB是等边三角形，从而求出AB；最后利用勾股定理即可求出BC的长.
O
A
B
C
D
新知讲解
解 ∵ 四边形ABCD是矩形，
又 ∠AOB = 60°，
∴ △AOB是等边三角形.
∴ AB=OA=2cm.
O
A
B
C
D
∴ OA=OB=AC=2cm
.
新知讲解
O
A
B
C
D
∵ ∠ABC=90°，
∴ 在Rt△ABC中，
从例1可知，解决矩形中问题要注意：
1. 合理利用矩形的边、角和对角线的性质；
2. 矩形的每一条对角线，把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，且相对的每对三角形全等，解决矩形问题也要利用好这些三角形的性质。
新知讲解
合作探究
在纸上画一个矩形ABCD(如图)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
A
B
C
D
合作探究
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，则OA=OB=OC=OD.
过点O作直线EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F，
∵ AD∥BC，
∴ EF⊥AD.
根据等腰三角形的性质，得BE=CE，AF=DF.
O
A
B
C
D
F
E
合作探究
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称.
从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴.
O
A
B
C
D
F
E
∴ EF是BC和AD的垂直平分线.
合作探究
类似地，过点O作直线MN⊥AB，分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
O
A
B
C
D
F
E
M
N
由此得到：
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
新知讲解
1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的( )
A. 等腰梯形
B. 正五边形
C. 平行四边形
D. 矩形
巩固练习
D
2. 下列各选项中，不是矩形具有的性质是( )
A. 四个角都是直角
B. 对边平行且相等
C. 对角线互相平分并且相等
D. 对角线互相垂直平分
巩固练习
D
课堂总结
1. 什么样的平行四边形叫作矩形？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
2. 矩形的边、角、对角线有什么性质？
矩形的两组对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线互相平分且相等.
课堂总结
3. 矩形具有怎样的对称性？
矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
4. 矩形的对角线把矩形分成怎样的三角形？
矩形的每条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形.
矩形的两条对角线把矩形分成相对的两组全等的等腰三角形.
作业布置
第60页课后练习第1、2题：
1. 已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.
O
A
B
C
D
60°
分析 根据题意，画出右边的图形，然后利用矩形的对角线的性质，结合等腰三角形或直角三角形的有关性质解答.
作业布置
O
A
B
C
D
60°
解 如图，∵ 四边形ABCD是矩形，AC=2cm，
∴ OB=OC.
又∵ ∠AOB=60°，
∴ ∠ACB=30°.
∴ AB=AC=1cm=CD
.
∴ 在Rt△ABC中，
∴ BC=cm
.
作业布置
2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
解 ∵ 四边形ABCD 为矩形，
∴ OA=OC，OB=OD，AC=BD.
O
A
B
C
D
∴ OB=OD=AC
.
即 直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
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