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2.5.2 矩形的判定教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：11
课 题 矩形的判定 课型 新授课
教学目标 1. 理解三个角是直角的四边形是矩形； 2. 理解对角线相等的平行四边形是矩形； 3. 能够灵活运用矩形的判定方法判定矩形； 4. 提高分析几何问题、准确运用几何符号语言推理的能力.
教学重点 1. 从角和对角线两个方法探究矩形的判定方法； 2. 能结合平行四边形、三角形的性质，用矩形的判定方法判定矩形。
教学难点 1. 探究矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形； 2. 理清判定矩形的思路，能用严密的几何符号语言叙述证明过程。
教 学 活 动
一、温故知新 师问生答，PPT展示 1、 矩形有哪些性质？ PPT：矩形的两组对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线互相平分且相等. 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 2、 判定平行四边形有哪些方法？ PPT：定义法：证两组对边分别平行 判定定理1：证一组对边分别平行且相等，判定平行四边形； 判定定理2：证两组对边分别相等，判定平行四边形； 判定定理3：证对角线互相平分，用角判定：证两组对角分别相等； 用角判定：证两组对角分别相等，用角判定：证两组对角分别相等. 二、教学新知 （一）探究有三个角是直角的四边形是矩形 1、 出示问题：矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？ 2、 理清思路 生：根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫作矩形”，在已知四边形有直角的情况下，要判定该四边形是矩形，就要能判定该四边形是平行四边形。 3、 探究四个角都是直角的四边形是矩形 师：四个角都是直角的四边形是矩形吗？ PPT：如图，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形. 所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形. 4、 探究三个角都是直角的四边形是矩形 师：三个角都是直角的四边形是矩形吗？ 生：因为四边形的内角和等于360°，已知四边形的三个角是直角，则另一个角也是直角。根据上面的探讨，这个四边形是矩形。 5、 讨论：两个角都是直角的四边形是矩形吗？ 生1：如图，已知四边形ABCD的两个角∠A，∠B是直角，则AD∥BC，但不能得出AB∥DC，从而不能说明四边形是平行四边形，因此也不能说明四边形ABCD是矩形。 生2：其实，我们可以举出例子，只有两个角是直角的四边形不一定是矩形。如下图中两个四边形。 6、 概括、展示结论：三个角是直角的四边形是矩形. （二）探索对角线相等是平行四边形是矩形 1、 提出问题：从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出画出一个长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？ 2、 学生画图，合作交流 生：过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm. 连接AB，BC，CD，DA.量所画的四边形ABCD的角都为直角，且它的对角线长度为4cm.因此该四边形是矩形.如图，这样的矩形有无穷多个. 3、 抽象成命题 师：你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等.上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 4、 证明结论 在□ABCD中，由于AB=DC，BC=CB，AC=DB， ∴ △ABC≌△DCB(SSS). ∴ ∠ABC=∠DCB. 又∵ ∠ABC+∠DCB=180°， ∴ ∠ABC=90°. ∴ 四边形ABCD是矩形. 5、 展示结论： 由此得到矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 6、 合作讨论：对角线相等的四边形是矩形吗？ 生：等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，所以对角线相等的四边形不一定是矩形. PPT：下图中，把矩形ABCD的对角线AC向右平移，得AC的像EF，连接BE，DF，得到的四边形EBFD，对角线相等，但不是矩形，其实是等腰梯形. 我们把等腰梯形的一条对角线向上或向下平移，连接平移后两对角线的端点，还可以得到许多对角线相等，但不是矩形的四边形。 因此，对角线相等的四边形不一定是矩形。只有对角线相等的平行四边形可以判定为矩形. 三、讲解例题 例2 如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. (1)如果□ABCD是矩形，则△OBC是什么样的三角形？ (2)如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？ 解： (1)∵ □ABCD是矩形， ∴ AC与DB相等且互相平分. ∴ OB=DB=AC=OC. ∴ △OBC是等腰三角形. (2)∵ △OBC是等腰三角形，其中OB=OC， ∴ AC=2OC=2OB=BD， ∴ □ABCD是矩形. 方法指导：从例2我们受到启发： 1. 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线把矩形分成两组全等的等腰三角形； 2. 当平行四边形的两条对角线把矩形分成的三角形中有等腰三角形时，我们可以判定平行四边形是矩形。 解决与平行四边形和矩形的有关问题时，我们要注意四边形与三角形的上面这些联系 五、巩固练习 1、(高阳期末)能够判定一个四边形是矩形的条件是( ) A. 对角线互相平分且相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直 【答案】A 2、 (尚志期末)下面给出的条件中，不能判定一个四边形是矩形的是( ) A. 一组对边平行且相等，一个角是直角 B. 对角线互相平分且相等 C. 有三个角是直角 D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等 【答案】D 3、 (海南校级模拟)如图，要使□ABCD成为矩形，可以添加的条件是( ) A. AB=BC B. AO=BO C. ∠1=∠2 D. AC⊥BD 【答案】B 六、课堂总结 判定一个四边形是矩形有哪些方法？ PPT： ①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 ②用角判定：三个角是直角的四边形是矩形. ③用对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形. 注意：用①、③两种方法判定矩形，需先证四边形是平行四边形，再证一个角是直角，或证对角线相等. 七、作业布置及指导 第63页课后练习第1、2题： 1、 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明 ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∠A+∠B+∠C+∠D =360°， ∴∠A=∠B=∠C=∠D= 90°. ∴四边形ABCD是矩形. 2、 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB =60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积. 思路 先根据条件说明△AOB是等边三角形，再利用平行四边形和等边三角形的性质证明AC=BD，从而得出□ABCD是矩形，最后利用勾股定理求出矩形的边长，即可求出矩形的面积. 解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=4，AB=2， ∴ OA=AC=2=AB. 又 ∠AOB=60°， ∴ △OAB是等边三角形. ∴ OB=OA，从而 AC=BD. ∴□ABCD是矩形. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4， 根据勾股定理，得 BC =AC -AB =4 -2 =12， ∴ BC=2. ∴ 矩形ABCD的面积S=AB·BC=2×2=4.
板书设计 2.5.2矩形的判定 1、 定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形； 2、 三个角是直角的四边形是矩形； 3、 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形； 4、 证明步骤：利用定义和定理进行判定矩形，现证四边形是矩形，再证一个角是直角或对角线相等。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
2.5.2 矩形的判定
湘教版 八年级下
教学目标
1. 理解三个角是直角的四边形是矩形；
2. 理解对角线相等的平行四边形是矩形；
3. 能够灵活运用矩形的判定方法判定矩形；
4. 提高分析几何问题、准确运用几何符号语言推理的能力.
新知导入
矩形有哪些性质？
矩形的两组对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线互相平分且相等.
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
新知导入
判定平行四边形有哪些方法？
定义法：证两组对边分别平行
判定定理1：证一组对边分别平行且相等
判定定理2：证两组对边分别相等
判定定理3：证对角线互相平分
用角判定：证两组对角分别相等
判定
平行四边形
新知讲解
矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？
动脑筋
思路：根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫作矩形”，在已知四边形有直角的情况下，要判定该四边形是矩形，就要能判定该四边形是平行四边形。
新知讲解
四个角都是直角的四边形是矩形吗？
如图，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形. 所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
新知讲解
三个角都是直角的四边形是矩形吗？
因为四边形的内角和等于360°，已知四边形的三个角是直角，则另一个角也是直角。根据上面的探讨，这个四边形是矩形。
新知讲解
由此得到：
三个角是直角的四边形是矩形.
新知讲解
两个角是直角的四边形是矩形吗？
如图，已知四边形ABCD的两个角∠A，∠B是直角，则AD∥BC，但不能得出AB∥DC，从而不能说明四边形是平行四边形，因此也不能说明四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
新知讲解
其实，我们可以举出例子，只有两个角是直角的四边形不一定是矩形。如下图中两个四边形。
新知讲解
从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出画出一个长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？
新知讲解
过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm. 连接AB，BC，CD，DA.量所画的四边形ABCD的角都为直角，且它的对角线长度为4cm.因此该四边形是矩形.如图，这样的矩形有无穷多个.
O
A
B
C
D
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
新知讲解
如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等.上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？
O
A
B
C
D
下面我们来证明这个结论：
新知讲解
在□ABCD中，由于AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB(SSS).
∴ ∠ABC=∠DCB.
又∵ ∠ABC+∠DCB=180°，
∴ ∠ABC=90°.
∴ 四边形ABCD是矩形.
O
A
B
C
D
新知讲解
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
新知讲解
对角线相等的四边形是矩形吗？
新知讲解
O
A
B
C
D
E
F
E
D
B
F
下图中，把矩形ABCD的对角线AC向右平移，得AC的像EF，连接BE，DF，得到的四边形EBFD，对角线相等，但不是矩形，其实是等腰梯形.
新知讲解
我们把等腰梯形的一条对角线向上或向下平移，连接平移后两对角线的端点，还可以得到许多对角线相等，但不是矩形的四边形。
因此，对角线相等的四边形不一定是矩形。只有对角线相等的平行四边形可以判定为矩形.
例2 如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.
(1)如果□ABCD是矩形，则△OBC是什么样的三角形？
(2)如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？
新知讲解
O
A
B
C
D
新知讲解
解 (1)∵ □ABCD是矩形，
∴ AC与DB相等且互相平分.
∴ △OBC是等腰三角形.
O
A
B
C
D
∴ OB=DB=AC=OC
.
新知讲解
O
A
B
C
D
(2)∵ △OBC是等腰三角形，其中OB=OC，
∴ AC=2OC=2OB=BD，
∴ □ABCD是矩形.
从例2我们受到启发：
1. 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线把矩形分成两组全等的等腰三角形；
2. 当平行四边形的两条对角线把矩形分成的三角形中有等腰三角形时，我们可以判定平行四边形是矩形。
解决与平行四边形和矩形的有关问题时，我们要注意四边形与三角形的上面这些联系。
巩固练习
1. (高阳期末)能够判定一个四边形是矩形的条件是( )
A. 对角线互相平分且相等
B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线相等且互相垂直
D. 对角线互相垂直
巩固练习
A
2. (尚志期末)下面给出的条件中，不能判定一个四边形是矩形的是( )
A. 一组对边平行且相等，一个角是直角
B. 对角线互相平分且相等
C. 有三个角是直角
D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
巩固练习
D
3. (海南校级模拟)如图，要使□ABCD成为矩形，可以添加的条件是( )
A. AB=BC
B. AO=BO
C. ∠1=∠2
D. AC⊥BD
巩固练习
B
O
A
B
C
D
2
1
课堂总结
判定一个四边形是矩形有哪些方法？
①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
②用角判定：三个角是直角的四边形是矩形.
③用对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形.
注意：用①、③两种方法判定矩形，需先证四边形是平行四边形，再证一个角是直角，或证对角线相等.
作业布置
第63页课后练习第1、2题：
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
证明 ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∠A+∠B+∠C+∠D =360°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D= 90°.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
作业布置
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB =60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.
思路 先根据条件说明△AOB是等边三角形，再利用平行四边形和等边三角形的性质证明AC=BD，从而得出□ABCD是矩形，最后利用勾股定理求出矩形的边长，即可求出矩形的面积.
O
A
B
C
D
作业布置
解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=4，AB=2，
O
A
B
C
D
∴ OA=AC=2=AB
.
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形.
∴ OB=OA，从而 AC=BD.
∴□ABCD是矩形.
作业布置
O
A
B
C
D
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
根据勾股定理，得
BC =AC -AB =4 -2 =12，
∴ BC=
.
∴ 矩形ABCD的面积S=AB·BC=2×=
.
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