第七章 相交线与平行线
单元测试
一、选择题
l、如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是（ ）
A. B. C. D.
2、如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
3、如图，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4、如图，FG平分则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5、如图，则和的关系是（ ）
A.相等 B.互补 C.互余 D.不能确定
6、将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与L1互余的角有（ ）个．
A.2 B.3 C. 4 D.5
7、如图，把矩形ABCD沿EF对折，若则等于（ ）
A. B. C. D.
8、已知两个角的两边互相平行，这两个角的差是，则这两个角分别是（ ）
A. B. C. D.
9、一辆汽午在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
A.第一次右拐第二次左拐 B.第一次左拐，第二次右拐
C.第一次左拐第二次左拐 D.第一次右拐，第二次右拐
10、把一张对面互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若则下列结论正确有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11、如图，已知直线被直线所截，则 .
12、如图，如果则 .
13、一个角的余角是这个角的补角的则这个角是 度．
14、如图，平分和，DE过点，且，则 .
15、如图，已知，平分，那么 .
16、如图，，则 .
17、如图，直线AB、CD、EF相交于点，则 .
18、如图，DB平分则 ， .
19、如图， 已知EG平分，则 .
20、如图，已知和的平分线相交于F，则的度数为 .
三、作图题（要求必须用尺规作图，不写作法，留下作图痕迹，要有结论）
21、如图，一块大的三角板ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角板ADE，使请作出DE.
四、证明题
22、已知，如图，求的度数.
23、已知：如图，，求证：
24、如图，已知猜想图1、图2、图3中之间有什么关系？请用等式表示出它们的关系。并证明图3中的等式.
1. 2. 3.
证明：
参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D
二、填空题
11. 12. 13.45 14. 15. 16. 17. 18. ， 19. 20.
三、作图题：略
四、证明题
22.解：
23.证明：
24.
1. 2. 3.
证明：
1.作一条直线与AB、CD平行
2.
3.作一条直线与AB、CD平行
2 / 6第七章 相交线与平行线
单元测试
一、填空题
1.两条直线相交，有_____对对顶角，三条直线两两相交，有_____对对顶角.
2.如图1，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOC的度数是_____.
3.已知∠AOB=40°，OC平分∠AOB，则∠AOC的补角等于_____.
4.如图2，若l1∥l2，∠1=45°，则∠2=_____.
图1 图2 图3
5.如图3，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.
6.一个角的余角比这个角的补角小_____.
7.如图4，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=_____.
图4 图5
8.如图5，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.
9.如图6，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_____对.
图6 图7
10.如图7，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.
11.如图8，DAE是一条直线，DE∥BC，则∠BAC=_____.
12.如图9，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.
图8 图9 图10
13.如图10，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.
14.如图11，(1)∵∠A=_____(已知)，
图11
∴AC∥ED( )
(2)∵∠2=_____(已知)，
∴AC∥ED( )
(3)∵∠A+_____=180°(已知)，
∴AB∥FD( )
(4)∵AB∥_____(已知)，
∴∠2+∠AED=180°( )
(5)∵AC∥_____(已知)，
∴∠C=∠1( )
二、选择题
15.下列语句错误的是( )
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个锐角和一个钝角一定互补
C.互补的两角不能都是钝角
D.互余且相等的两角都是45°
16.下列命题正确的是( )
A.内错角相等
B.相等的角是对顶角
C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角
D.同位角相等，两直线平行
17.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )
A.互相重合 B.互相平行
C.互相垂直 D.相交
18.如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，那么 ( )
A.∠2＞∠3 B.∠2=∠3
C.∠2＜∠3 D.∠2≥∠3
19.如图12，已知∠1=∠B，∠2=∠C，则下列结论不成立的是( )
图12
A.AD∥BC B.∠B=∠C
C.∠2+∠B=180° D.AB∥CD
20.如图13，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，则∠BOD等于( )
图13
A.40° B.45°
C.55° D.65°
21.如图14，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )
图14
A.∠A+∠E+∠D=180°
B.∠A－∠E+∠D=180°
C.∠A+∠E－∠D=180°
D.∠A+∠E+∠D=270°
三、解答题
22.如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.
图15
23.如图16，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.
图16
24.如图17，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数.
图17
25.如图18，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
图18
26.如图19，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数.
图19
27.根据下列证明过程填空：
如图20，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，且∠1=∠4，求证：∠ADG=∠C
图20
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC( )
∴∠2=∠3=90°
∴BD∥EF( )
∴∠4=_____( )
∵∠1=∠4( )
∴∠1=_____( )
∴DG∥BC( )
∴∠ADG=∠C( )
28.阅读下面的证明过程，指出其错误.
图21
已知△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A作DE∥BC，且使∠1=∠C
∵DE∥BC(画图)
∴∠2=∠B(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠C(画图)
∴∠B+∠C+∠3=∠2+∠1+∠3=180°
即∠BAC+∠B+∠C=180°
*29.已知：如图22，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，
求证：DA⊥AB.
图22
参考答案
一、1.两 六 2.30° 3.160° 4.135 5.115° 115° 6.90° 7.53° 8.80° 9.四 10.40° 11.46° 12.3 13.四 二 四?
14.(1)∠BED 同位角相等,两直线平行?
(2)∠DFC 内错角相等，两直线平行?
(3)∠AFD 同旁内角互补，两直线平行?
(4)DF 两直线平行，同旁内角互补?
(5)ED 两直线平行，同位角相等?
二、15.B 16.D 17.B 18.A 19.B 20.A 21.C?
三、22.40° 23.32.5° 24.54° 72°?
25.平行 证明略
26.50°
27.已知 同位角相等，两直线平行 ∠5 两直线平行，同位角相等 已知 ∠5 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
28.错误：过A作DE∥BC，且使∠1=∠C，应改为：过A作DE∥BC.∵∠1=∠C(画图)，理由错，应改为：两直线平行，内错角相等
29.略?
1 / 7第七章 相交线与平行线
【巩固基础训练】
题型发散
1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．
（1）下列命题中，正确的是（ ）
（A）有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角
（B）有公共点，且又相等的角是对顶角
（C）两条直线相交所成的角是对顶角
（D）角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
（2）下列命题中，是假命题的为（ ）
（A）邻补角的平分线互相垂直
（B）平行于同一直线的两条直线互相平行
（C）垂直于同一直线的两条直线互相垂直
（D）平行线的一组内错角的平分线互相平行
（3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（ ）
（A）相等 （B）互补
（C）相等或互补 （D）以上结论都不对
（4）已知下列命题
①内错角相等；
②相等的角是对顶角；
③互补的两个角是一定是一个为锐角，另一个为钝角；
④同旁内角互补．
其中正确命题的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（5）两条直线被第三条直线所截，则（ ）
（A）同位角的邻补角一定相等
（B）内错角的对顶角一定相等
（C）同位角一定不相等
（D）两对同旁内角的和等于一个周角
（6）下列4个命题
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；
④两点之间的线段就是这两点间的距离
其中正确的命题有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（7）下列条件能得二线互相垂直的个数有（ ）
①一条直线与平行线中的一条直线垂直；
②邻补角的两条平分线；
③平行线的同旁内角的平分线；
④同时垂直于第三条直线的两条直线．
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
（8）因为AB//CD，CD//EF，所以AB//EF，这个推理的根据是（ ）
（A）平行线的定义
（B）同时平行于第三条直线的两条直线互相平行
（C）等量代换
（D）同位角相等，两直线平行
（9）如图2-55．如果∠AFE+∠FED=，那么（ ）
（A）AC//DE （B）AB//FE
（C）ED⊥AB （D）EF⊥AC
（10）下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）
①对顶角的平分线；
②邻补角的平分线；
③平行线的同位角的平分线；
④平行线的内错角的平分线；
⑤平行线的同旁内角的平分线．
（A）①② （B）③④ （C）①⑤ （D）②⑤
2.填空题．
（1）把命题“在同一平面内没有公共点的两条直线平行”写成“如果……，那么……”形式为______________________________________．
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，_________最短．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的比为2:7，则这两个角的度数为______________.
（4）如果∠A为∠B的邻补角，那么∠A的平分线与∠B的平分线必__________________.
（5）如图2-56
①∵AB//CD（已知），
∴∠ABC=__________（ ）
____________=______________（两直线平行，内错角相等），
∴∠BCD+____________=（ ）
②∵∠3=∠4（已知），
∴____________∥____________（ ）
③∵∠FAD=∠FBC（已知），
∴_____________∥____________（ ）
（6）如图2-57，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=，∠2=，∠3=．求证：AB//CD．
证明：∵∠1=，∠3=（已知），
∴∠1=∠3（ ） ∴ ________∥_________（ ）
∵∠2=，∠3=（ ），
∴_____________+__________=______________,
∴_____________//______________,
∴AB//CD（ ）．
（7）如图2-58，①直线DE，AC被第三条直线BA所截，则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则________//_______,其理由是（ ）．
②∠3和∠4是直线______、_____，被直线______所截，因此_______//_______．∠3______∠4,其理由是（ ）．
（8）如图2-59，已知AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=．
证明：∵ BE平分∠ABC（已知），
∴∠2=_________（ ）
同理∠1=_______________,
∴∠1+∠2=____________（ ）
又∵AB//CD（已知），
∴∠ABC+∠BCD=__________________（ ）
∴∠1+∠2=（ ）
（9）如图2-60，E、F、G分别是AB、AC、BC上一点．
①如果∠B=∠FGC，则_______//_______,其理由是（ ）
②∠BEG=∠EGF，则________//________，其理由是（ ）
③如果∠AEG+∠EAF=，则______//______，其理由是（ ）
（10）如图2-61，已知AB//CD，AB//DE，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF．
证明： ∵AB//CF（已知），
∴∠______=∠________（两直线平行，内错角相等）．
∵AB//CF，AB//DE（已知），
∴CF//DE（ ）
∴∠_________=∠_________（ ）
∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF（等式性质）．
3．计算题，
（1）如图2-62，AB、AE是两条射线，∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠5=，求∠1+∠2+∠3的度数．
（2）如图2-63，已知AB//CD，∠B=，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG的度数．
（3）如图2-64，已知DB//FG//EC，∠ABD=，∠ACE=，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．
（4）如图2-65，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB=，∠B=，DE//BC，求∠EDC和∠BDC的度数．
纵横发散
1．如图2-66，已知∠C=∠D，DB//EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．
2．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．
解法发散
1．如图2-68，已知AB//CD，EF⊥AB，MN⊥CD．求证：EF//MN．（用两种方法说明理由）．
2．如图2-69，、、，是直线，∠1=∠２． a与b平行吗？简述你的理由．（用三种方法，简述你的理由）
变更命题发散
如图2-70，AB//CD，∠BAE=，∠ECD=，EF平分∠AEC，求∠AEF的度数．
如图2-71，已知AB//CD，∠BAE=，∠DCE=，EF、EG三等分∠AEC．
（1）求∠AEF的度数；
（2）EF//AB吗？为什么？
3．如图2-72，已知∠1=，∠2=80°，∠3=，那么∠4是多少度？
4．如图2-73，AB、CD、EF、MN构成的角中，已知∠1=∠2=∠3，问图中有平行线吗？如果有，把彼此平行的直线找出来，并说明其中平行的理由．
5．如图2-74，已知∠1+∠2=，∠3=．求∠4的度数？
6．如图2-75，已知//m，求∠x,∠y的度数．
7．如图2-76，直线分别和直线相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=．求∠3的度数．
转化发散
1．如图2-77，已知∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，GH垂直于AB，G为垂足，试问CE，能否垂直AB，为什么？
2．如图2-78，已知∠ADE=∠B，FG⊥AB，∠EDC=∠GFB，试问CD与AB垂直吗？简述你的理由．
分解发散
发散题 如图2-79，AB//CD， ∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度数．
综合发散
1．证明：两条平行线被三条直线所截的一对同旁内角的角平分线互相垂直．
2．求证：两条直线被第三条直线所截，若一组内错角的角平分线互相平行，则这两条直线也相互平行．
3．在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//AC交BC于E，EF//CD交AB于F，求证：EF平分∠DEB．
4．线段AB被分成2:3:4三部分，已知第一和第三两倍分的中点间的距离是5.4cm,求AB的长．
5．已知：如图2-80，AB//CD，AD⊥DB，求证∠1与∠A互余．
参考答案
【巩固基础训练】
题型发散
1．（1）（D） （2）（C） （3）（C） （4）（A） （5）（D） （6）（A） （7）（B） （8）（B） （9）（A） （10）（D）
2．（1）如果在同一平面内两条直线没有公共点，那么这两条直线平行．
（2）垂线段．
（3）40°、140°．
（4）垂直．
（5）①∠ABC=∠DCE，（两直线平行，同位角相等），∠1=∠2，∠BCD+∠ABC（两直线平行，同旁内角互补）．
②AD∥BC，（内错角相等，两直线平行）．
③AD∥BC，（同位角相等，两直线平行）．
（6）（等量代换），AB∥EF，（内错角相等，两直线平行），（已知），∠2+∠3=180°，CD∥EF（如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
（7）①∠1和∠2是同位角．∠1=∠2，则DE∥AC（同位角相等，两直线平行）；
②直线DE、AC被直线BC所截，因此DE∥AC，∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）．
（8）∴（角平分线定义） 同理．
∴ （等式性质）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2=90°（等量代换）．
（9）①如果∠B=∠FGC，则AB∥FG，因为同位角相等，两直线平行．
②如果∠BEG=∠EGF，则AB∥FG，因为内错角相等，两直线平行．
③如果∠AEC+∠EAF=180°，则EG∥AC，因为同旁内角互补，两直线平行．
（10）∴∠B=∠BCF．
∴CF∥DE（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴∠D=∠DCF（两直线平行，内错角相等）．
3．（1）AD、BC与AB相交，∠DAB与∠4是同旁内角，
∵∠2+∠3+∠4=∠DAB+∠4=180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
同理，∵∠1+∠2+∠5+∠EAC+∠5=180°，∴AE∥BC．
∴AD、AE在同—条直线上．
（经过直线外一点，有—条而且只有一条直线和这条直线平行）
则AE、AD在A点处形成一个平角，
故∠1+∠2+∠3=180°．
（2）50°，50° （3）12° （4）25°，85°．
纵横发散
1．∵BD∥EC（已知），
∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠DBC+∠D=180°（等量代换）．
故AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）．
2．∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠BMN+∠DNM=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠3+∠4=（180°-∠BMN）+（180°-∠DNM）=360°-180°=180°（等量代换）．
解法发散
1．（1）通过同位角相等，判断两直线平行．
（2）通过两条直线都和第三条直线垂直来判断这两条直线平行．
解法1 如图2-1′，∵EF⊥AB（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）．
同理，∠3=90°，∴∠1=∠3．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2（两条直线平行，同位角相等），
∴∠2=∠3（等量代换）．
∴EF∥MN（同位角相等，两直线平行）．
解法2 ∵EF⊥AB（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2=90°（两直线平行，同位角相等），
∴EF⊥CD（垂直的定义），又∵MN⊥CD（已知），
∴EF∥MN（如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行）．
2．解法1
∵∠2=∠4，∠1=∠2．
∴∠1=∠4．
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
解法2
∵∠2=∠4，∠1=∠3（对顶角相等）．
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4．
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
解法3 ∵∠1+∠5=180°（平角定义），
∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，
又∵∠2=∠4（对顶角相等），∴∠4+∠5=180°
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
变更命题发散
1．51°．
2．（1）30°；（2）平行，根据内错角相等，两直线平行．
3．85°．
4．因为∠1和∠4是对顶角，所以∠1=∠4，又因为∠1=∠2=∠3，所以∠4=∠2，∠4=∠3．
直线AB，CD被EF所截，∠2和∠4是同位角，且∠4=∠2，所以，AB∥CD．
同理，由∠4=∠3，可推知EF∥MN．
5．∵∠1=∠6，∠2=∠7（对顶角相等），
又∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠6+∠7=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠4=∠5（两直线平行，内错角相等）．
而∠3+∠5=180°（平角的定义），
∠3=95°（已知），∴∠5=85°（等式性质），
故∠4=85°（等量代换）．
6．∠x=125°，∠y=72°．
7．由题意，∠1是∠3的余角，而∠2与∠3余角互补，故∠1+∠2=180°，于是，所以∠3=∠5=180°-∠4=180°-115°=65°．
转化发散
1．分析 把判断两条直线垂直问题转化为判断两条直线平行问题．理由如下：
∵∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠1．
又∵∠FEC=∠GHB，∴∠GHB=∠1，∴GH∥CE．
∵GH⊥AB，∴CE⊥AB．
2．分析 本题将证明两条直线垂直的问题转化为证明两条直线平行的问题．理由如下：
∵∠ADE=∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠BCD=∠EDC（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠EDC=∠GFB（已知），
∴∠BCD=∠GFB（等量代换），
∴FG∥CD（同位角相等，两直线平行）．
又∵FG⊥AB（已知），
故CD⊥AB（如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直）．
分解发散
如图2-2′，过M作MN∥AB（过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线），
∵AB∥CD（已知），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠2=∠EMN（两直线平行，内错角相等）．
∠4=∠NMF而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠EMF=90°．
综合发散
1．已知：如图2-3′，AB∥CD，∠BMN与∠MND是一对同旁内角，MG，NG分别是两个角的角平分线．求证：MG⊥NG．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BMN+∠MND=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG、NG为角平分线（已知），
∴（角平分线定义），
∴，
∴∠MGN=90°．
∴MG⊥NG．
2．已知∠1=∠2，∠3=∠4，EM∥FN，求证：AB∥CD．
如图2-4′，∵ME∥FN，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
即∠AEF=∠DFE．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
3．．
4．8.1cm．
5．解∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），
∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠A+∠ADB+∠2=180°．
∵AD⊥DB（已知），
∴∠ADB=90°（垂直的定义），
∴∠A+∠2=90°（等量减等量，差相等），
∴∠A+∠1=90°（等量代换），
∴∠1与∠A互余（互余的定义）．
13 / 18第七章 相交线与平行线
【提高能力测试】
题型发散
选择题，把正确答案的代号填入括号内．
（1）如图2-81，能与∠构成同旁内角的角有（ ）
（A）1个 （B）2个
（C）5个 （D）4个
（2）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
（A） （B）都是
（C）或， （D）以上答案都不对
（3）如图2-82，AB//CD，MP//AB，MN平分 ∠AMD．∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）如图2-83，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC//DF，BC//EF．
证明： ∵∠1=∠2（已知），
（A）∴AC//DF（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠5（内错角相等，两直线平行）
（B）∵∠3=∠4（已知）
（C）∴∠5=∠4（等量代换）
（D）∴BC//EF（内错角相等，两直线平行）
则理由填错的是（ ）
（5）如图2-84，已知AB//CD，HL//FG，EF⊥CD，∠1=，那么，∠EHL的度数为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）直线，D、A是上的任意两点，且A在D的右侧，E、B是上任意两点，且B在E的右侧，C是和之间的某一点，连结CA和CB，则（ ）
（A）∠ACB=∠DAC+∠CBE
（B）∠DAC+∠ACB+∠CBE=
（C）（A）和（B）的结论都不可能
（D）（A）和（B）的结论有都可能
（7）如图2-85，如果∠1=∠2，那么（ ）
（A）AB//CD（内错角相等，两直线平行）
（B）AD//BC（内错角相等，两直线平行）
（C）AB//CD（两直线平行，内错角相等）
（D）AD//BC（两直线平行，内错角相等）
（8）如图2-86，AB//EF，设∠C=，那么x、y和z的关系是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）如图2-87，∠1:∠2:∠3=2:3:4，EF//BC，DF//EB，则∠A:∠B:∠C=（ ）
（A）2:3:4 （B）3:2:4
（C）4:3:2 （D）4:2:3
（10）如图2-88，已知，AB//CD//EF，BC//AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有（ ）
（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个
2．填空题．
（1）三条相交直线交于一点得6个角，每隔1个角的3个角的和是__________度．
（2）∠A和∠B互为邻补角，∠A:∠B=9:6，则∠A=_______,∠B=_________.
（3）如果∠1和∠2互补，∠2比∠1大，则∠1=________,∠2__________.
（4）如图2-89，已知AB//CD，EF分别截AB、CD于G、H两点，GM平分∠AGE，HN平分∠CHG，求证：GM//HN．
证明：∵ _____//_____（ ） ，∴∠AGE=∠CHG（ ）．
又∵GM平分∠AGE（ ） ∴ ∠1=_________（ ）．
∵_______平分_____（ ）， ∴ ∠2=_______（ ），
则GM//HN（ ）．
（5）如图2-90，已知，∠1=，∠2=，则∠3=_______,∠4=______.
（6）如图2-91，
①∵∠1=∠2，∠3=∠2， ∴∠1=∠3（ ）
②∵∠1=∠3， ∴∠1+∠2=∠3+∠2（ ），
即∠BOD=∠AOC，
③∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC－∠2=∠BOD－∠2（ ），
即∠3=∠1．
（7）如图2-92，已知，AB、AC、DE都是直线，∠2=∠3，求证：∠1=∠4．
证明：∵AB、AC、DE都是直线（ ），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（ ）．
∵∠2=∠3（ ），
∠1=∠4（ ）．
（8）如图2-93，∠OBC=∠OCB，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，求证：∠ABC=∠ACB．
证明：∵OB平分∠ABC（ ），
∴∠ABC=2∠OBC（ ）
∵OC平分∠ACB（ ）
∴∠ABC=2∠OCB（ ）
∵∠OBC=∠OCB（ ），
∴2∠OBC=2∠OCB（ ），
即∠ABC=∠ACB，
（9）如图2-94，AB⊥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，求证CD⊥BC，
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4（ ）
∴∠1+∠3=∠2+∠4（ ），
即∠ABC=∠BCD．
∵AB⊥BC（ ） ∴∠ABC=（ ）
∴∠BCD=（ ）， ∴CD⊥BC（ ）．
（10）如图2-95，∠1=∠3，AC平分∠DAB，求证：AB//CD．
证明：∵AC平分∠DAB（ ），
∴∠1=∠3（ ）．
∵∠1=∠2（ ），
∴∠3=∠2（ ），
∴AB//CD（ ）．
3．计算题
（1）如图2-96，已知，∠1=，∠2=，求∠x和∠y 的度数．
（2）如图2-97，已知∠AMF=∠BNG=，∠CMA=．求∠MPN的度数．
（3）如图2-98，已知∠B=，过∠ABC内一点P作PE//AB，PF//BC，PH⊥AB．求∠FPH的度数．
（4）如图2-99，已知AE//BD，∠1=3∠2，∠2=．求∠C．
（5）如图2-100，OB⊥OA，直线CD过O点，∠AOC=．求∠DOB的度数．
4．作图题．
已知∠，∠（∠>∠）,求作∠=．
解法发散
1．已知AB//CD，试问∠B+∠BED+∠D=．（用两种以上方法判断）
2．如图2-101，已知∠BED=∠ABE+∠CDE，那么AB//CD吗？为什么？（用四种方法判断）
变更命题发散
1．如图2-102，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M．那么，∠AMG=∠3，为什么？
2．如图2-103，已知AB//CD，∠1=∠2．试问∠BEF=∠EFC吗？为什么？（提示：作辅助线BC）．
分解发散
如图2-104，AB//CD，在直线，AB和CD上分别任取一点E、F．
（1）如图2-104，已知有一定点P在AB、CD之间，试问∠EPF=∠AEP+CFP吗？为什么？
（2）如图2-105，如果AB、CD的外部有一定点P，试问
∠EPF=∠CFP－∠AEP吗？为什么？
（3）如图2-106，AB//CD，BEFGD是折线，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G吗？简述你的理由．
转化发散
1．判断互为补角的两个角中，较小角的余角等于这两个互为补角的差的一半．
2．已知点C在线段AB的延长线上，AB=24cm，BC=AB，E是AC的中点，D是AB的中点，求DE的长．
迁移发散
平面上有10条直线，其中任何两条都不平行，而且任何三条都不经过同一点，这10条直线最多分平面为几个区域？
综合发散
1．线段AB=14cm，C是AB上的一点，BC=8cm，又D是AC上一点，AD:DC=1:2，E是CB的中点，求线段DE的长．
2．如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=，∠ACB=，AQ平分∠FAC，求∠HAQ的度数．
3．如图2-108，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试问∠A=∠F吗？为什么？
4．如图2-109，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C，那么∠1=∠2．谈谈你的理由．
参考答案
【提高能力测试】
题型发散
1．（1）（C） （2）（D） （3）（C） （4）（A） （5）（C）
（6）（A） （7）（A） （8）（C） （9）（B） （10）（A）
2．（1）180．
（2）108°，72°．
（3）85°，95°．
（4）AB∥CD（已知），两直线平行，同位角相等（已知）．（角平分线定义）HN平分∠CHE（已知），（角平分线定义）；∠1=∠2（等量代换），同位角相等，两直线平行．
（5）∠3=95°，∠4=85°．
（6）①（等量代换）．②（等量之和相等）．③（等量之差相等）
（7）（已知），（对顶角相等），（已知），（等量代换）．
（8）（已知），（角平分线定义）．（已知），（角平分线定义）．（已知），（等量的同倍量相等）．
（9）（已知），（等量之和相等）．（已知），（垂线定义）．（等量代换），（垂线定义）．
（10）（已知）（角平分线定义）．（已知），（等量代换）．（内错角相等，两直线平行）．
3．（1）80°，100°．
（2）50°．
（3）30°．
（4）28°．
（5）∵OB⊥OA（已知），∴∠AOB=90°（垂直的定义）．
又∵∠AOC=20°（已知），
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-20°=70°（等式性质）．
又∵DOC是一直线（已知），
∴∠DOB+∠BOC=180°（平角的定义），
∴∠DOB=110°（等式性质）．
4．略．
解法发散
1．解法1 如图2-5′，从E点作EF∥AB．
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°．
解法2 如图2-6′，从E点作EF∥AB，
则∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠BED+∠2=360°（周角的定义），
∴∠B+∠BED+∠D=360°（等量代换）．
2．分析 关键是找到“第三条直线”把原两条直线AB，CD联系起来．
解法1 如图2-7′，延长BE交CD于F．有∠BED=∠3+∠2，
∵∠BED=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠2．
即∠1=∠3，从而AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
解法2 如图2-8′，过E点作EF，使∠FED=∠CDE，则EF∥CD．
又∵∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠FEB=∠ABE．因而EF∥AB．
∴AB∥CD（AB，CD都平行于EF）．
解法3、解法4可依据图2-9′、图2-10′，读者可自行判断．
变更命题发散
1．判断理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴AM∥CD（内错角相等，两直线平行）．
同理，∵∠4=∠5，∴GM∥DE，
∵∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补）．
2．判断理由如下：
连结BC．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB（等量之差相等），
∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）．
分解发散
（1）提示：过P作PQ∥AB，把∠EPF分割成两部分∠EPQ、∠QPF，利用平行线内错角相等判断．
（2）提示：先求∠CFP的等角∠1，过Q点作QG∥PE，把∠1分割成两部分，再利用平行线内错相等证明．
∠EPF=∠1-∠AEP，又∵∠1=∠CFP，
最后证得结论：∠EPF=∠CFP-∠AEP．
（3）提示：过E、F、G作AB的平行线．
转化发散
1．提示：考虑互补的两角有一条边互为反向延长线MN，过角的顶点作MN的垂线，只须证互补两角中的大角减小角的差等于小角的余角的2倍．
2．如图2-11′，∵，
∴．
又∵E是线段AC的中点，
∴．
同理，
故DE=AE-AD=16.5-12=4.5（cm）．
迁移发散
∵一条直线将平面分成2个区域，加上第二条直线，区域数增加2，加上第三条直线，区域数又增加3……，加上第10条直线，区域数又增加10．
∴10条直线，按已知条件，将平面分成的区域数为n．
则n=2+2+3+4+…+10
=1+(1+2+3+4+…+10)
=56．
综合发散
1．8cm．
2．12°．
3．提示：先判断DB∥EC，再判断DF∥AC．
4．本题判断如下：
∵AD⊥BC（已知），EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠4=∠C（已知）．
∴AC∥GD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1=∠2（等量代换）．
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