平方根教学设计（1）
【教材分析】
《平方根》是人教版初中数学八年级上第十三章第一节。在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：
知识目标：
掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
方法与过程目标：
通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。
情感态度与价值观目标:
鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
【重点与难点】
重点：平方根与算术平方根的概念和性质。因为平方根与算术平方根的概念和性质始终贯穿本章，正确理解这两个概念是学好本章的关键。
难点：平方根与算术平方根的区别与联系。因为平方根与算术平方根这两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆，如处理不当将直接影响以后的学习。
【学生分析】
八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。
【教学方法】
课前布置学生进行预习，根据自己的学习，完成《问题导读评价单》，从而发现本节课存在的难点问题
课上树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，我利用情景教学激发学生的兴趣，利用对比教学让学生掌握概念的本质，完善学生的知识结构。
最后通过《问题训练评价单》对学生本节课所学的知识点进行验证，做到查漏补缺
【设计理念】
本节课设计的指导思想是全日制义务教育《数学课程标准》及新课程改革的教学理念。?
《数学课程标准》提出了“问题情境——建立模型——解释、运用与拓展”的基本模式，在此模式指导下，本节课我将采用“创设情境——自主探索——合作交流——引导评价——实践应用——反思归纳”的教学模式，力求着眼于学生探究能力和创造性思维能力的培养，
提高学生的自主意识和合作精神。?
【教师准备】
《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》
【教学过程的设计】
教学环节
问题与活动预设
师生行为
设计意图
创设情景
导入新课
首先，用多媒体演示问题情境，即三个问题
（1）一个正方形桌面的边长是3尺，求这个桌面的面积是多少平方尺？
（2）已知一个正方形的面积是9cm2，求它的边长。
（3）如果一个正方形展厅的地面面积为50平方米，求它的边长。
在活动之前先检查课前先检查学生的《问题导读---评价单》，以及时了解学生课下预习的情况，以便使上课更有针对性
学生根据实际情况小组合作完成三个问题
这三个问题既复习了关于乘方的知识，又为今天要学习的知识作了铺垫，而且通过实例让学生从生活中去发现、探究、认识平方根。前两个问题很好直接回答，而第三个问题就会使学生产生思维上困惑，引发学生的思考，导入平方根.
合作交流，探索新知
活动一：求已知数的平方，起到温故的作用。
练习1 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
活动二：逆向设问，已知某数的平方，求该数，以引入新的概念。
练习2 填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.平方根的性质
为了让学生经历平方根性质的发现过程，我安排了练习3.
练习3 求：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3.平方根的表示方法和算术平方根
一个非负数的平方根用符号表示为（）
引入符号：
“”。在介绍它们的各自读法以及强调是非负数后，我着重介绍它们各自的意义，尤其是的区别与联系。
将学生分组，然后由小组长发放《问题生成评价单》，然后小组根据评价单中的问题进行操作、讨论、交流。然后由组长进行汇总，选出小组代表进行发言。
通过观测、比较练习1、练习2，引导学生发现前者是平方运算，后者是平方运算的逆运算。自然地引出平方根和开平方的概念。
平方根的概念：一般地,如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根,即若,则叫做的平方根
开平方运算：求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
随后利用新概念再做练习2，让学生体会求平方与开平方运算的互逆性，熟悉平方根的定义，感受知识之间的相互区别与联系。教学中我注意引导学生思考问题要严密，对于练习2前4小题。不要丢掉负数解，为后面研究平方根的性质，强调正数有两个平方根，它们互为相反数这个教学重点做铺垫。
由于分正数、0、负数三种情况总结，也潜移默化地渗透了分类讨论的数学思想，培养了思维的严谨性。得出平方根性质后，我安排学生自编题目，同桌互换、互答的活动，以巩固平方根性质。在编题过程中，有的同学也许会选择2、13等，它们的平方根不是有理数，正好为后面实数的学习作了铺垫。
例1 求下列各数的平方根
（1）361 （2）0 （3）2 （4） （5）
例2 求下列各式的值
（1） （2）
（3）
通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．
在教学中，平方根性质由学生交流、讨论、比较、归纳得出，经历了从具体到抽象，从特殊到一般的过程。
新知体验
数学练习是巩固数学知识，形成技能、技巧的重要途径。因此我借助以下几组练习来加深学生对知识的理解。
1.精心选一选
（1）以下叙述中错误的是（ ）
A、4的算术平方根是2
B、是的一个平方根
C、1.1是的算术平方根
D、0.9的平方根是
（2）的平方根是（ ）
Ａ、 B、
C、 D、
2、认真填一填
（1）若一个数有两个平方根，则这个数是＿＿＿＿＿
（2）324的平方根是＿＿＿＿，7是＿＿＿＿的一个平方根
（3）若一个正数的平方根是和，则=＿＿＿，这个正数为＿＿＿
（4）若，则＿＿＿
3、仔细想一想
已知的平方根是，的平方根是，求的平方根。
这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
轻松过关
发放《问题训练评价单》，让学生独立完成其练习题
学生独立完成问题评价单中的练习题，老师进行讲评
培养学生独立解题能力
归纳总结，形成体系
本节课你学了哪些知识，有什么收获？
点评：给予点评与鼓励。
思考并作答。
学生独立思考，表达自己的想法。
让更多的学生参与总结，也可以采取一个学生主要说明，其他学生补充的形式
学生自我小结，加深对用轴对称作图的认识，逐步形成知识的网络结构
《平方根教学设计（1）问题导读——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
知识目标：
掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
方法与过程目标：
通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。
情感态度与价值观目标:
鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
【重点与难点】
重点：平方根与算术平方根的概念和性质。因为平方根与算术平方根的概念和性质始终贯穿本章，正确理解这两个概念是学好本章的关键。
难点：平方根与算术平方根的区别与联系。因为平方根与算术平方根这两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆，如处理不当将直接影响以后的学习。
为你导航
（1）121的算术平方根是 ；0.25的算术平方根是 ．
（2）100的算术平方根是 ；0.81的算术平方根是 ；0.0081的算术平方根是 ．
（3）的相反数是____________，绝对值是_________________．
（4）若有意义,则___________．
（5）若4a+1的算术平方根是5，则a2的算术平方根是______．
（6）下列各式计算正确的是（ ）
A.＝±6 B.＝－5 C.＝－8 D.＝10
（7）下列各式无意义的是（ ）
A.－ B. C. D.
（8）数2、、3的大小关系是（ ）
A. 3＜＜2 B. ＜3＜2 C. 2＜＜3 D.3＜2＜
通过预习本节内容你未解决的问题有：
自我评价： 小组评价： 教师评价：
《平方根教学设计（1）问题生成——评价单》
请同学们在预习的基础上，将生成的问题充分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备多元化展示.
带着问题走进丰富多彩的数学世界
问题一:
（1）一个正方形桌面的边长是3尺，求这个桌面的面积是多少平方尺？
（2）已知一个正方形的面积是9cm2，求它的边长。
（3）如果一个正方形展厅的地面面积为50平方米，求它的边长。
问题二：
求已知数的平方，起到温故的作用。
练习1 计算：
（1） （2） （3）（4） （5） （6）
逆向设问，已知某数的平方，求该数，以引入新的概念。
练习2 填空：
（1） （2）（3） （4）
（5）
平方根的概念：
开平方运算：
问题三：合作探究
平方根的表示方法和算术平方根？
例2 求下列各式的值
（1） （2）
（3）
小组评价： 教师评价：
《平方根教学设计（1）问题训练——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
我要飞得更高
【基础达标】
1、下列命题中,正确的个数有( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.+1 B. C. D.x+1
3、设x=(-)2,y= ,那么xy等于( )
A.3 B.-3 C.9 D.-9
4、(-3)2的平方根是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.±9
5、x是16的算术平方根,那么x的算术平方根是( )
A.4 B.2 C. D.±4
二、填空：
6、36的算术平方根是______,36的算术平方根是_____.
7、如果a3=3,那么a=______. 如果=3,那么a=_______.
8、一个正方体的表面积是78,则这个正方体的棱长是_______.
9、算术平方根等于它本身的数是_______.
10、 =_______, -=_______.±=______,=________.
11、 的算术平方根是________.
【拓展提升】
12.已知 和 | y－ | 互为相反数，则x＝____,y＝＿＿．
13.观察：
猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想。
《平方根教学设计（1）问题导读——评价单》案答
（1） 11，0.5 （2） 10，0.9，0.09 （3），
（4） 1 （5） 6 （6）D （7）B （8）C
《平方根教学设计（1）问题训练——评价单》答案
【基础达标】
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D 7.D 8.D 9.B 10.B 11.±6,6
【拓展提升】
12.，
13. 即
立方根教学设计（2）
【教材分析】
本章可以看成其后的代数内容的起始章，是学习二次根式、一元二次方程以及解三角形的基础，因此在中学数学中占有重要的地位。通过本章的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的。在此之前，学生已学习了数的平方根，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。通过本节课的学习，学生可以更深入的了解无理数，为后面学习奠定基础。
【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：
知识目标：
①了解立方根和开立方的概念；
②掌握立方根的性质；
③会用根号表示一个数的立方根；
④会求一个数的立方根。
方法与过程目标：
通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同。通过学习立方根，培养学生理解概念并用定义解题的能力。
情感态度与价值观目标:
①发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确的处理。
②通过探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
【重点与难点】
重点：立方根的概念及性质;
难点：求一个数的立方根。
【学生分析】
八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握平方根的知识，具备了用所学知识来分析立方根性质的基础。
【教学方法】
课前布置学生进行预习，根据自己的学习，完成《问题导读评价单》，从而发现本节课存在的难点问题
课上树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，采用引导探索法、递进练习法。用类比及引导探索法由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，合作交流得出立方根的定义，将定义的应用融入到探究活动中。
最后通过《问题训练评价单》对学生本节课所学的知识点进行验证，做到查漏补缺
【设计理念】
本节课设计的指导思想是全日制义务教育《数学课程标准》及新课程改革的教学理念。?
《数学课程标准》提出了“问题情境——建立模型——解释、运用与拓展”的基本模式，在此模式指导下，本节课我将采用“创设情境——自主探索——合作交流——引导评价——实践应用——反思归纳”的教学模式，力求着眼于学生探究能力和创造性思维能力的培养，
提高学生的自主意识和合作精神。?
【教师准备】
《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》
【教学过程的设计】
教学环节
问题与活动预设
师生行为
设计意图
创设情景
导入新课
1.复习平方根的定义
2.出示一个正方体纸盒，提出问题，
（1）如果这个正方体的边长为3cm,那么它的体积分别为多少？边长为4cm或5cm呢？
（2）如果这个正方体的体积为216 ，那么它每条棱长是多少？若体积为512或729呢？
在活动之前先检查课前先检查学生的《问题导读---评价单》，以及时了解学生课下预习的情况，以便使上课更有针对性
回答问题，并能说出1至9的立方。
由正方体的体积，求正方体的棱长的问题，由它们的关系自然引出课题。
这三个问题既复习了关于乘方的知识，又为今天要学习的知识作了铺垫，而且通过实例让学生从生活中去发现、探究、认识平方根。前两个问题很好直接回答，而第三个问题就会使学生产生思维上困惑，引发学生的思考，导入平方根.
合作交流，探索新知
1.立方根定义：
观察 由以上问题，有，即要求一个数，使它的立方等于216，通过分析，有，那么6就是这个正方体的棱长。
请你用类比的方法给出立方根的定义。
2．开立方运算
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
3.立方根的性质1.
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（ 2 ）
因为，所以0.125的立方根是（ ）
因为，所以8的立方根是（ 0 ）
因为，所以8的立方根是（ ）
因为，所以8的立方根是（）
4. 立方根性质2.
因为
所以 =
因为，所以 =
将学生分组，然后由小组长发放《问题生成评价单》，然后小组根据评价单中的问题进行操作、讨论、交流。然后由组长进行汇总，选出小组代表进行发言。
归纳： 如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根，一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，
得出一般性结论：
【说明】由互为相反数的立方根的关系，可将负数的立方根转化为求正数的立方根。
通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．
在教学中，平方根性质由学生交流、讨论、比较、归纳得出，经历了从具体到抽象，从特殊到一般的过程。
新知体验
例1 求下列各数的立方根
⑴ －8 ⑵
⑶ （4）—0.125
例2 计算
⑴ ⑵ ⑶ （4） （5）
（6）
例3 解方程
（1）
⑵
例4求计算器求－5的立方根（保留三个有效数字）
老师演示过程：
提问：对于非立方数2，它的立方根是多少？
（6）小题为例讲评，其余小题学生独立完成。
分析 我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解（为常数）这一类型简单的三次方程。第⑵小题，我们要把看成一个整体，依然转化成为的形式，再由立方根定义去求解。
步骤：输入 → 被开方数 → = → 根据显示写出立方根
→ 被开方数 → = → 1.709975947
所以
这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
轻松过关
发放《问题训练评价单》，让学生独立完成其练习题
学生独立完成问题评价单中的练习题，老师进行讲评
培养学生独立解题能力
归纳总结，形成体系
本节课你学了哪些知识，有什么收获？
点评：给予点评与鼓励。
思考并作答。
学生独立思考，表达自己的想法。
让更多的学生参与总结，也可以采取一个学生主要说明，其他学生补充的形式
学生自我小结，加深对用轴对称作图的认识，逐步形成知识的网络结构
《立方根教学设计问题导读——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
知识目标：
①了解立方根和开立方的概念；
②掌握立方根的性质；
③会用根号表示一个数的立方根；
④会求一个数的立方根。
方法与过程目标：
通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同。通过学习立方根，培养学生理解概念并用定义解题的能力。
情感态度与价值观目标:
①发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确的处理。
②通过探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
【重点与难点】
重点：立方根的概念及性质;
难点：求一个数的立方根。
为你导航
1.下列说法错误的是( )
A.中的a可以是正数、负数、零；B.中的a不可能是负数
C.数a的平方根有两个，它们互为相反数；D.数a的立方根有一个
2.下列语句正确的是( )
A. 的立方根是2 B.-3是27负的立方根
C.的立方根是± D.(-1)2的立方根是-1
3.要使＝4-a成立，那么a的取值范围是( )
A.a≤4 B.-a≤4 4C.a≥4 D.一切实数
4.读作 ，其中被开方数是 ，根指数是 ，被开方数的范围是 .
5.若x3＝-27，则x＝ ;y3+64＝0，则y＝ ;
3z3-81＝0,则z＝ .
6.-的立方根是 ，的平方根是 ，
(-13)3的立方根是 .
7.-是 的立方根.
8.＝ ，＝ ，＝ .
9.数a的平方根最多有 个，最少有 个，立方根最多有
个，最少有 个.
10.一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 .
通过预习本节内容你未解决的问题有：
自我评价： 小组评价： 教师评价：
《立方根教学设计问题生成——评价单》
请同学们在预习的基础上，将生成的问题充分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备多元化展示.
带着问题走进丰富多彩的数学世界
问题一： 了解立方根的概念
阅读课本第49——50页，解决下列问题．（自主完成后小组交流）
1．什么叫做a的立方根？用式子如何描述a的立方根？
2．什么叫开立方？它与立方有何关系？
问题二：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（ ）；
因为（ ）3=0.125，所以0.125的立方根是（ ）；
因为（ ）3=0，所以0的立方根是（ ）；
因为（ ）3=－8，所以－8的立方根是（ ）；
因为（ ）3=－，所以－的立方根是（ ）．
思考：（1）正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是_______．
（2）你能说出数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
问题三： 阅读课本P50的例题解法，完成1、2题，自主完成，组内交流。
1、求出下列各数的平方根：
⑴， ⑵， ⑶0， ⑷ （5）
2、求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）；
问题四：知识延伸
1．因为 所以 = ；
因为，所以 = ．
思考：针对上面题目的特点，你能用一个式子来表示其中的规律吗？小组讨论交流．
小组评价： 教师评价：
《立方根教学设计问题训练——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
我要飞得更高
【基础达标】
1.若x2＝(-5)2，则(x-1)3＝ .
2.若有意义，则＝ .
3.若a<0,则+＝ .
4.如果一个数的平方根是这个数本身，则这个数是( )
A.1 B.-1 C.0 D.1，-1，0
5.如果一个数的立方根是这个数本身，则这个数是( )
A.1 B.-1 C.0 D.1，-1，0
6.下列式子中，不正确的是( )
A. ＝3 B.±＝±6
C. ＝0.4 D.＝
7.若一个数的立方根等于这个数的立方，则不满足这个条件的数必为( )
A.1 B.0
C.-1 D.不为1，0，-1的其他数
8.计算下列各式所得结果中( )
①；②；③；④；⑤；⑥.
A.大于1的有两个 B.小于1的有两个
C.结果相同的有两个 D.上述结论都不对
【拓展提升】
9.x取什么值时，下列各式有意义：
(1)； (2)
10.已知＝4，且(y-2z+1)2+＝0，求的值.
《立方根教学设计问题导读——评价单》案答
1.C 2.A 3.D
4.三次根号a,a,3，全体实数 5.－3，－4，3 6.－2，±3，－13 7.
8.4，，－ 9.两，零，一，一 10.4
《立方根教学设计问题训练——评价单》答案
【基础达标】
1.64或－216 2. 1 3. 0 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C
【拓展提升】
9.(1)x为全体实数 (2)x≠±2
10.6
