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2.5 一元一次不等式与一次函数（2） 教案
课题 2.5 一元一次不等式与一次函数（2） 单元 第2单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1、会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想； 2、能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法。
重点 学会利用一次函数建模解决方案选择问题。
难点 会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题同学们，在前面的学习中，我们学习了一元一次不等式（方程）与一次函数的联系，下面请同学们回答：问题1、一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？答案：既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。做一做：电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费 10 元，每通话 1 min 收费 0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话 1 min 收费 0.4 元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？追问1：你能用函数解析式的形式表示出这两种方案吗？解：设顾客每月通话时长为xmin，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知y1=10+0.3xy2=0.4x追问2：何时选择甲种业务对顾客更合算？解：当y1100.答：当通话时间大于100min时，甲种业务对顾客合算.追问3：何时选择乙种业务对顾客更合算？解：当y1>y2时，即10+0.3x>0.4x解得，x<100.答：当通话时间小于100min时，乙种业务对顾客合算.追问4：通话时间多长时，两种业务对顾客一样合算呢？解：当y1＝y2时，即10+0.3x＝0.4x解得，x＝100.答：当通话时间等于100min时，两种业务对顾客一样合理。 思考自议能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法。 通过问题串，让学生体会一元一次不等式（方程）与一次函数解决方案选择问题的步骤.
讲授新课 提炼概念想一想：如何综合利用一元一次不等式（方程）与一次函数来解决现实生活中的决策问题？答案：（1）根据题意写出每个方案的函数关系式；（2）分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；（3）利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．三、典例精讲例：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则：y1=200×0.75x,即y1=150xy2=200×0.8(x-1),即y2=160x-160由y1=y2,得150x=160x-160，解得x=16由y1＞y2,得150x＞160x-160，解得x＜16由y1＜y2,得150x＜160x-160，解得x＞16因为参加旅游的人数为10至25人,所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少. 应用解决方案选择问题的步骤，解决实际问题，提高学生应用知识的能力. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 总结利用一元一次不等式（方程）与一次函数来解决决策问题的步骤。
课堂检测 四、巩固训练 1.某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠.请你帮助他们选择购票方案.解：设该公司参观者中有女士x人，票价为1，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则答：当女士不足16人时，购买团体票合算；当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士多于16人时，购买女士五折票合算.2.某学校计划购买若干台电脑，先从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：___________________.答案：y1=6000+6000(1-25%)(x-1)=4500x+1500乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2(元)与所买电脑台数x之间的关系是：___________.答案：y2=6000×(1－20%)x=4800x(1)什么情况下到甲商场购买更优惠？答案：由y1＜y2得4500x+1500＜4800x,解得x＞5即学校购买的电脑大于5台时，到甲商场购买更优惠.(2)什么情况下到乙商场购买更优惠？答案：由y1>y2得4500x+1500>4800x,解得x<5即学校购买的电脑小于5台时，到乙商场购买更优惠.(3)什么情况下到两家收费相同？答案：由y1＝y2得4500x+1500＝4800x,解得x＝5即学校购买的电脑等于5台时，甲乙两商场收费相同.3.某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一： (A)计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电网）． 此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分． （1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时）之间的函数关系式； （2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
课堂小结 说一说综合利用一元一次不等式（方程）与一次函数来解决现实生活中的决策问题的步骤？（1）根据题意写出每个方案的函数关系式；（2）分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；
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北师大版 八年级下
2.5 一元一次不等式与一次函数（2）
情境引入
一元一次不等式kx+b>0与一次函数y=kx+b的联系：
从“数”方面看：
不等式kx+b＞0的解集，实质是函数的函数值y＞0时，函数所对应的自变量的值.
从“形”方面看：
不等式kx+b>0的解集，实质是一次函数图象上纵坐标y>0时，图像上的点所对应横坐标x的值.
合作学习
导入新课
电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费 10 元，每通话 1 min 收费 0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话 1 min 收费 0.4 元．
你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
做一做
解：设每月通话时长为x分钟，甲种业务收费为y1，乙种业务收费为y2，则
y 1 =10 +0.3x； y 2 =0.4x
由 y 1 = y 2 ，得10 +0.3x = 0.4x，解得 x = 100；
由 y 1 > y 2 ，得10 +0.3x > 0.4x，解得 x < 100；
由 y 1 < y 2 ，得10 +0.3x <0.4x，解得 x > 100
综上可知，
当月通话时长为100分钟时，选择甲种业务和乙种业务对顾客一样；
当月通话时长超过100分钟时，选择甲种业务对顾客更合算；
当月通话时长少于100分钟时，选择乙种业务对顾客更合算
提炼概念
一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答：
(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；
(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；
(3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．
典例精讲
例 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为 10 至 25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 200 元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠． 该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少
解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则：
y1 = 200×0.75x, 即y1 = 150x
y2 = 200×0.8(x-1), 即y2= 160x-160
由y1 = y2, 得150x=160x-160，解得x=16
由y1 ＞ y2, 得150x＞160x-160，解得x＜16
由y1 ＜ y2, 得150x＜160x-160，解得x＞16
因为参加旅游的人数为10~25人,所以：
当x=16时，y1=y2 甲、乙两家旅行社的收费相同；
当16当10≤x<16时，y1>y2，选择乙旅行社费用较少.
归纳概念
解决优化方案问题的一般步骤：
1、列出两种方案下一次函数的解析式
2、运用一元一次方程解应用题的方法
求解两种方案值相等的情况；
3、用不等式对两种方案进行比较，比较两种方
案的优劣后下结论.
一元一次不等式与一次函数
1.某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠.请你帮助他们选择购票方案.
课堂练习
解：设该公司参观者中有女士x人，票价为1，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则
由y1 = y2，得0.5x+40-x=40×0.8，解得x=16
由y1 ＞ y2，得0.5x+40-x＞40×0.8 ，解得x＜16
由y1 ＜ y2，得0.5x+40-x＜40×0.8 ，解得x＞16
答：当女士不足16人时，购买团体票合算；当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士多于16人时，购买女士五折票合算.
2.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。
甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是 。
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系是 。
（1） 什么情况下到甲商场购买更优惠？
（2） 什么情况下到乙商场购买更优惠？
（3） 什么情况下两家商场的收费相同？
解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有
y1=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500
y2=80%×6000x=4800x
（1）当y1＜y2时，有4500x+1500＜4800x
解得，x＞5
即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；
（2）当y1＞y2时，有4500x+1500＞4800x.
解得x＜5.
即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；
（3）当y1=y2时，即4500x+1500=4800x
解得x=5.
即当所购买电脑为5台时，
两家商场的收费相同.
3.某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一：
(A)计时制：0.05元/分；
(B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电网）．
此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分．
（1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时）之间的函数关系式；
（2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
解: ⑴ 依题意得，计时制：
即
包月制：
即
⑵ 当时
计时制： （元）
包月制： （元）
所以，若某用户估计一个月上网20小时，采用包月制较为合理。
课堂总结
实际问题
写出两个函数表达式
不等式
解不等式
画出图象
分析图象
解决问题
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
作业布置
教材课后配套作业题。
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2.5 一元一次不等式与一次函数（2） 学案
课题 2.5 一元一次不等式与一次函数（2） 单元 第2单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1、会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想； 2、能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法。
重点 学会利用一次函数建模解决方案选择问题。
难点 会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想。
教学过程
导入新课 【引入思考】问题1、一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？做一做：电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费 10 元，每通话 1 min 收费 0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话 1 min 收费 0.4 元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？追问1：你能用函数解析式的形式表示出这两种方案吗？追问2：何时选择甲种业务对顾客更合算？追问3：何时选择乙种业务对顾客更合算？追问4：通话时间多长时，两种业务对顾客一样合算呢？
新知讲解 提炼概念 想一想：如何综合利用一元一次不等式（方程）与一次函数来解决现实生活中的决策问题？答案：（1）根据题意写出每个方案的函数关系式；（2）分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；（3）利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．典例精讲 例：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
课堂练习 巩固训练 1.某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠.请你帮助他们选择购票方案.2.某学校计划购买若干台电脑，先从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：___________________.答案：y1=6000+6000(1-25%)(x-1)=4500x+1500乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2(元)与所买电脑台数x之间的关系是：___________.3.某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一： (A)计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电网）． 此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分． （1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时）之间的函数关系式； （2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？答案引入思考问题1、一元一次不等式与一次函数有什么关系呢？答案：既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。做一做：电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费 10 元，每通话 1 min 收费 0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话 1 min 收费 0.4 元．你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？追问1：你能用函数解析式的形式表示出这两种方案吗？解：设顾客每月通话时长为xmin，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知y1=10+0.3xy2=0.4x追问2：何时选择甲种业务对顾客更合算？解：当y1100.答：当通话时间大于100min时，甲种业务对顾客合算.追问3：何时选择乙种业务对顾客更合算？解：当y1>y2时，即10+0.3x>0.4x解得，x<100.答：当通话时间小于100min时，乙种业务对顾客合算.追问4：通话时间多长时，两种业务对顾客一样合算呢？解：当y1＝y2时，即10+0.3x＝0.4x解得，x＝100.答：当通话时间等于100min时，两种业务对顾客一样合理。提炼概念典例精讲 解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则：y1=200×0.75x,即y1=150xy2=200×0.8(x-1),即y2=160x-160由y1=y2,得150x=160x-160，解得x=16由y1＞y2,得150x＞160x-160，解得x＜16由y1＜y2,得150x＜160x-160，解得x＞16因为参加旅游的人数为10至25人,所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.巩固训练1.解：设该公司参观者中有女士x人，票价为1，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则答：当女士不足16人时，购买团体票合算；当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士多于16人时，购买女士五折票合算.2.某学校计划购买若干台电脑，先从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：___________________.答案：y1=6000+6000(1-25%)(x-1)=4500x+1500乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2(元)与所买电脑台数x之间的关系是：___________.答案：y2=6000×(1－20%)x=4800x(1)什么情况下到甲商场购买更优惠？答案：由y1＜y2得4500x+1500＜4800x,解得x＞5即学校购买的电脑大于5台时，到甲商场购买更优惠.(2)什么情况下到乙商场购买更优惠？答案：由y1>y2得4500x+1500>4800x,解得x<5即学校购买的电脑小于5台时，到乙商场购买更优惠.(3)什么情况下到两家收费相同？答案：由y1＝y2得4500x+1500＝4800x,解得x＝5即学校购买的电脑等于5台时，甲乙两商场收费相同.3.
课堂小结 说一说综合利用一元一次不等式（方程）与一次函数来解决现实生活中的决策问题的步骤？（1）根据题意写出每个方案的函数关系式；（2）分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；
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