2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形强化训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下《9.4 矩形、菱形、正方形》强化训练（四）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共36分)
1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有( )
A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
第1题图 第2题图 第4题图 第6题图
2．如图，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
3．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点的坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( )
A. 矩形　 B. 菱形 C. 正方形　 D. 梯形
4．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，分别交于点C，D，连结CD，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
5．下列命题中，是真命题的是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．如图，有下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.添加一个条件，能使 ABCD是菱形的有( )
A．①或③　　　B．②或③ C．③或④　　　D．①或②或③
7．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于AB的线段长为半径画弧，分别交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
8. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为( )
A．1 B. C．2 D.
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是 EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( )
A．28 B．24 C．32 D．32－8
11．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于E点，则下列式子不成立的是（ ）
A．DA=DE B．DB=CE C．∠EAC=90° D．∠ABC=2∠E
12．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是( )
A　B C　D
二．题空题(每小题3分 共24分)
13．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为____．
第13题图 第14题图
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB.若AC＝CD，AB∥CD，则∠A的度数为____．
15．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有________．
16.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．
17.如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是　　　　形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是　　　　.
第17题图 第19题图 第20题图
18．菱形ABCD的周长为32cm，则菱形ABCD的面积的最大值是 64 cm2．
19. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是_______.
20、如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为　 　．
三．解答题（60分）
21．（6分）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连结BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC.求证：CE与FG互相垂直平分．
23．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，取AF的中点G，连结DG.若BC＝2AB，求证：
(1)四边形ABDF是菱形．
(2)AC＝2DG.
24．（8分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连结CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形．
(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
25．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形．
(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
26．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)．
(1)直接写出线段AP，AQ的长： AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代数式表示)．
(2)设△APQ 的面积为S，写出S与t的关系式．
(3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
27．（12分）将一张直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(0，1)，O(0，0)，P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′.
(1)如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，求点A′的坐标．
(2)如图②，当P为AB的中点时，求A′B的长．
(3)当∠BPA′＝30°时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共36分)
1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有(C)
A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
第1题图 第2题图 第4题图 第6题图
2．如图，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(D)
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
3．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点的坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是(B)
A. 矩形　 B. 菱形 C. 正方形　 D. 梯形
4．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，分别交于点C，D，连结CD，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(B)
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
5．下列命题中，是真命题的是(B)
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．如图，有下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.添加一个条件，能使 ABCD是菱形的有(A)
A．①或③　　　B．②或③ C．③或④　　　D．①或②或③
7．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于AB的线段长为半径画弧，分别交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(B)
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
8. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( B )
A．50° B．60° C．70° D．80°
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为( B )
A．1 B. C．2 D.
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是 EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( A )
A．28 B．24 C．32 D．32－8
11．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于E点，则下列式子不成立的是（ B ）
A．DA=DE B．DB=CE C．∠EAC=90° D．∠ABC=2∠E
12．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是(C)
A　B C　D
二．题空题(每小题3分 共24分)
13．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为____．
第13题图 第14题图
如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB.若AC＝CD，AB∥CD，则∠A的度数为__120°__．
15．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有__4种_____．
16.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．
【答案】105°或45°　【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.
17.如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是　　　　形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是　　　　.
【答案】菱　　[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，
由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.
第17题图 第19题图 第20题图
18．菱形ABCD的周长为32cm，则菱形ABCD的面积的最大值是 64 cm2．
19. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是_______.
20、如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为　 62° 　．
三．解答题（60分）
21．（6分）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连结BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
【解】　∵△ADC是由△ABC翻折得到的，∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.
∵AB∥DM, ∴∠BAM＝∠AMD，∴∠DAM＝∠AMD，∴DA＝DM＝AB＝BM，
∴四边形ABMD是菱形．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC.求证：CE与FG互相垂直平分．
【解】　∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF.∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CBF＋∠BFC＝90°，∠ABF＋∠BGD＝90°，∴∠BGD＝∠BFC.∵∠BGD＝∠CGF，∴∠BFC＝∠CGF，∴CG＝CF.∵GE∥AC，∴∠BFC＝∠EGF，∴∠CGF＝∠EGF，∴∠BGC＝∠BGE.又∵BG＝BG，∠CBF＝∠ABF，∴△BGC≌△BGE(ASA)．∴CG＝EG.∴CF＝GE.又∵GE∥CF，∴四边形CGEF是平行四边形．又∵CG＝EG，∴四边形CGEF是菱形，∴CE与FG互相垂直平分．
23．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，取AF的中点G，连结DG.若BC＝2AB，求证：
(1)四边形ABDF是菱形．
(2)AC＝2DG.
【解】　(1)∵D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB.∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形．∵BC＝2AB，BC＝2BD，∴AB＝BD.∴ ABDF是菱形．
(2)∵四边形ABDF是菱形，∴AF＝AB＝DF.∵DE＝AB，∴EF＝AF. ∵G是AF的中点．∴GF＝AF，∴GF＝EF.又∵∠F＝∠F，∴△FGD≌△FEA(SAS)．∴DG＝AE.∵AC＝2AE，∴AC＝2DG.
24．（8分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连结CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形．
(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
【解】　(1)由题意，得△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE.∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形．
又∵CE＝FE，∴ CEFG是菱形．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝90°，BF＝BC＝AD＝10，∴AF＝＝8，∴DF＝2.设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x.∵∠FDE＝90°，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG的面积＝CE·DF＝×2＝.
25．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形．
(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【解】　(1)∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴ BCFE是菱形． (2)∵∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝CE＝6.如解图，过点E作EG⊥BC于点G.易得EG＝BE＝6×＝3，∴S菱形BCFE＝BC·EG＝6×3＝18.
26．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)．
(1)直接写出线段AP，AQ的长： AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代数式表示)．
(2)设△APQ 的面积为S，写出S与t的关系式．
(3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.又∵AB＝12 cm，∴AC＝6 cm.由题意，得AP＝2t，AQ＝6－t.
(2)过点P作PH⊥AC于点H.在Rt△APH中，∵∠A＝60°，∴∠HPA＝30°.∵AP＝2t，∴AH＝t.∴PH＝t.[]∴S＝AQ·PH＝(6－t)×t＝－t2＋3t(0(3)存在．过点P作PM⊥AC于点M.由(2)可知，AM＝AP＝t，∴QC＝AM，∴AQ＝CM.
当四边形PQP′C为菱形时，PC＝PQ，此时CM＝MQ，∴AQ＝CM＝MQ＝AC＝2 cm，
此时6－t＝2，解得t＝4，即当t＝4时，四边形PQP′C是菱形．
27．（12分）将一张直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(0，1)，O(0，0)，P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′.
(1)如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，求点A′的坐标．
(2)如图②，当P为AB的中点时，求A′B的长．
(3)当∠BPA′＝30°时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．
【解】　(1)∵点A(，0)，B(0，1)，∴OA＝，OB＝1.由折叠的性质，得△A′OP≌△AOP，∴OA′＝OA＝.∵A′B⊥OB，∴∠A′BO＝90°，∴在Rt△A′OB中，A′B＝＝，∴点A′的坐标为(，1)．
(2)在Rt△AOB中，∵OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2.∵P为AB的中点，∴OP＝AP＝BP＝AB＝1，∴OP＝OB＝BP，∴△BOP是等边三角形，∴∠BOP＝∠BPO＝60°，
∴∠OPA＝180°－∠BPO＝120°.由(1)知，△A′OP≌△AOP，∴∠OPA′＝∠OPA＝120°，PA′＝PA＝1，∴OB∥PA′.又∵OB＝PA′＝1，∴四边形OPA′B是平行四边形，∴A′B＝OP＝1.
(3)分两种情况讨论：①当点A′在直线BP的上方时，如解图①.∵∠BPA′＝30°，∴∠APO＋∠A′PO＝210°.又∵∠APO＝∠A′PO，∴∠APO＝105°.又∵∠OAP＝30°，∴∠AOP＝45°.
过点P作PC⊥OA于点C，设OC＝x，则PC＝x，AC＝x.∵OA＝，∴x＋x＝，解得x＝，∴点P.②当点A′在直线BP的下方时，如解图②.∵∠BPA′＝30°，∴∠APO＋∠A′PO＝150°.又∵∠APO＝∠A′PO，∴∠APO＝75°.又∵∠OAP＝30°，∴∠AOP＝75°，∴∠APO＝∠AOP，∴PA＝OA＝.过点P作PD⊥OA于点D.∵∠OAP＝30°，∴PD＝PA＝，∴AD＝，
∴OD＝，∴点P.综上所述，当∠BPA′＝30°时，点P的坐标为或.