(共16张PPT)
人教A版2019高中数学必修第二册
第6章平面向量及其应用
6.4.2
余弦定理
b
a
B
创设情境
武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及
到一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法
直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？
从特殊到一般：已知三角形
实际问题转化为数学问题
的两边及其夹角，求第三边
在△ABC中，已知AC=500m,
即：已知a、b及C,求c
BC=300m,C=120°，求AB.
20°
500m
1、余弦定理
探究1：如右图，在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分
别为a,b,c,怎样用a,b和C表示c
①把几何元素用向量表示：
设CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-b
②进行恰当的向量运算：
B
a
|c2=c·c=(a-b)(a-b)
请同学们试着改变已知的边和角，
=a.a+b.b-2a.b
不改变边角位置关象，看又能得
=a2+b2-21al.lblcosC
出什么结果？
③向量式化成几何式：
a2 =b2+c2-2bccos A
所以c2=a2+b2-2 abcosC
b2 =c2+a2-2cacos B
1、余弦定理
余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平
方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即
a2 b2+c2-2bccos A
已知两边和夹角，
b2 c2+a2-2cacos B
求第三边(SAS型)
c2 a2 +b2-2abcos C
对余弦定理，
还有其他证
明方法吗？
解析法
以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于
CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标
b
系，则A、B、C三点的坐标分别为：
a
C(0,0)B(a,0)A(bcos C,bsin C)
AB2 =(bcosC-a)2+(bsin C-0)2
=b2 cos2 C-2abcosC+a2+b2 sin2 C
a2 +b2-2abcosC
'c2=a2+b2-2abcosC
几何法
在三角形ABC中，已知AB=C,AC=b和A,
作CD⊥AB,则CD=bsinA,BD=c-bcosA
∴a2=CD2+BD2
=(bsin A)+(c-bcos A)2
-bsin2A+c2+b2cosA-2bccosA
=b2+c2-2bccosA
B
D
同理有：b2=a2+c2-2 accos B
c2=a2+b2-2abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明
类似，课后自己完成。(共17张PPT)
人教A版2019高中数学必修第二册
第6章平面向量及其应用
6.4.3正弦定理
B
E
a
b
B
1.正弦定理
1.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系？
sin A="
b
sin B=
两等式间有联系吗？
a
b
二C
sin A sin B
b
sinC=1
sin A sin B
sinC
思考：
对一般的三角形，这个结论还能成立吗？
1.正弦定理
当△4BC是锐角三角形时，结论是否还成立呢？
如图：作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义，得到
E
b
CD=asin B,CD=bsin A
所以
asin B=bsin a
b
B
得到
a
sin A
sin B
b
同理，作AE⊥BC.有
b
C
sin B
sin C
sin A
sin B
sinC
1.正弦定理
若三角形是钝角三角形，且角C是钝角如图2，
过点A作AD⊥BC,
交BC延长线于D,
此时也有
sinB=AD
且sin(z-C)=4D=sinC
b
图2
所以AD=csinB=bsinC,即
b
a
b
a
同理可得
sin B
sin C
sin A
sin C
sin A
sin B
sin C
1.正弦定理
在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=C.
作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长
交圆于B',设BB'=2R.
则根据直径所对的圆周角是直角
以及同弧所对圆周角相等可以得到：
B'
∠BAB'=90°，∠C=∠B',.sinC=sinB'=
C
a
b
2R
=2R,同理可得
=2R,
2R
sin C
sin A
sin B
b
等式
a
c
=
2R成立.
sin A
sin B
sin C
1.正弦定理
正弦定理的描述
在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等
如图，在△ABC中，A
b
sin B
sin C
2R(R是△ABC外接圆半径)
1.适用范围：任意的三角形
对正弦定理
还有其他证
2.简单应用：实现三角形中边
系的转化°
明方法吗？
向量法证明正弦定理
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
教材中给出了当△ABC为直角三角形时正弦定理的证明，现在
我们给出当△ABC为钝角三角形时的证明
(
如图，当△ABC为钝角三角形时，过点A作非零向量jLAC.由向量的
加法可得AB=AC+CB,则jAB=j(AC+CB),∴.jAB=j·AC+jCB
即jlAB引cos(90°-∠BAC)=0+iCB引cos(-90°+C),整理得
ABsinLBAC=BCsinC,即
BC
AB
sin BAC
sin C
同理可得AC=AB
sin B sin C
BC
从而
AB
AC
类似可推出当△ABC为直角
sin BAC
sin C
sin B
三角形时亦成立.(共27张PPT)
人教A版2019高中数学必修第二册
第6章平面向量及其应用
6.4.3.3正弦定理、
余弦定理应用举例
视线
A
北
北
40°
铅垂线
仰角
义俯角
一水平线
135°→东
东
B
60
视线
课前自主复习
余弦定理：
b2+c2-a2
cosA=
a2 =b2+c2-2bccosA
2bc
b2=a2+c2-2 accosB变形
cosB=
c2+a2-b2
2ca
c2 =a2+b2-2abcosC
cosC=
a2+b2-c2
2ab
注意：在△ABC中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问
题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
A+B+C=π；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC
sin A+B
C
-=coS-
2
sin-
2
2
自主复习
1.正弦定理：
=b=C=2R(其中R为△ABC的外接圆半径)
a siAsn B sinc
2.正弦定理的变形：
将等式中的边换成
角，转化成三角恒等
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C
变换，注意2R约掉.
sin A=a.sin B=b
2R
p,sin C=c
R
2R
sin A:sin B:sinC=a:b:c
将等式中的角换成
边，注意2R约掉.
3.三角形面积公式：
bcsin A=casin B=
2
2
2
课前自主复习
已知三角形中的三个元素解三角形：
(1)已知两边及其夹角(SAS);
--
用余弦定理求解
(2)已知三条边(SSS);
用余弦定理求解
(3)已知两边及一边对角(SSA);
一用正、余弦定理都可解
(4)已知两角和一边；
-
用正弦定理求解
注：已知两边或三边的用余弦定理求解；
已知两角的用正弦定理求解
课程导入
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题
解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工
具进行测量.
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案，
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应
用，
正弦定理、余弦定理应用举例基本思路和步骤
1.解决应用题的思想方法是什么？
把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想.
2.应用正余弦定理解决应用题的步骤是什么？
分析转化
实际问题
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
