等腰三角形第4课时参考答案
一、基础性作业（必做题）
1． C； 2．C ；3． 60°；4．；
5．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，
∵∠B＝15°，AB＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∵CD为AB上的高，AC＝8cm，
∴CD＝AC＝4cm．
∴三角形ABC面积=AB·CD=16 cm2．
6. （1）证明：∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，
∴∠FDB＝60°，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
由（1）可知，△BCD为等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝1；
（3）解：∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，
∴CF＝EF，EF＝DF，
∵△BDF为等边三角形，
∴DF＝BF＝BD，
∴BF＝4CF，
∴BF＝，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣ ＝．
二、拓展性作业（选做题）
1．无数个; 2．;
3．解：（1）证明：过D点作DG∥BC交AB于G点，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ACB＝60°＝∠A，
∴△AGD为等边三角形，
∴GD＝AD＝DC，
∵∠GDC＝∠FDE＝120°，
∴∠GDF＝∠DCE，
在△DGF和△DCE中，
∴△DGF≌△DCE（ASA）
∴DF＝DE；
（2）∵△DGF≌△DCE，
∴GF＝CE，
∵DG∥BC，D为AC中点，
∴AG＝AB，
∴AF﹣CE＝AF﹣GF＝AG＝AB；
（3）∵DM⊥BC，∠DCM＝60°，
∴CM＝CD，
∵C为EM的中点，
∴CE＝CD，
由（1）得，CE＝GF，
∴GF＝CD，
∴GF＝AG＝GB，
∴AF＝3BF，
∴n＝3，
故答案为：3．义务教育初中数学书面作业设计样例
单元名称 第一章三角形的证明 课题 等腰三角形
节次 第4课时
作业类型 作业内容 设计意图、题源、答案 学业质量
必备知识 关键能力 质量水平 solo 难度
基础性作业 （必做） 1．如图1，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（ ） A．25° B．30° C．35° D．45° 设计意图：通过求被三条平行线截的等边三角形的角度，巩固等边三角形及平行线的性质． 题源：新编 答案：C 等边三角形及平行线的性质 逻辑推理能力B1 L1 M 容易
2．一个等腰三角形腰长为4，则添加以下条件不能确定该等腰三角形形状、大小的是（ ） A．一个内角60° B．一个内角100° C．一个内角80° D．底边长4 设计意图：通过添加条件确定等腰三角形形状、大小，巩固等腰三角形的判定、等边三角形的判定 题源：创编 答案：C 等腰三角形判定、等边三角形判定 数学逻辑推理、直观想象、B1 M L2 中等
3．如图2，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于 ． 设计意图：通过尺规作等边三角形，巩固等边三角形的判定、性质 题源：新编 答案：60° 尺规作图、等边三角形的性质与判定 逻辑推理能力B1 L1 U 容易
4．如图3，在长方形ABCD中，E在AD上，沿BE将A点往右折叠，再作AF⊥CD于点F，若AB＝2，BC＝3，∠BEA＝60°，则图中AF的长度为_______． 设计意图：通过折叠类线段长度的计算，巩固30°直角三角形的 性质，培养识图能力 题源：新编 答案： 30°直角三角形的性质、平行线性质 数学运算能力、逻辑推理能力B1 L2 M 中等
5．如图4，已知等腰三角形ABC的底角为15°，腰长为AB=AC=8cm，求△ABC面积． 设计意图：通过求底角15°的等腰三角形面积，巩固钝角三角形短边上的高做法、30°直角三角形三边关系 题源：新编 答案：见参考答案 作钝角三角形短边上的高、30°直角三角形三边关系、三角形面积 逻辑推理能力、直观想象能力B2 M L2 中等
6．如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直． （1）求证：△BDF是等边三角形； （2）当DF通过点C（即点F与点C重合时），求DE的长；（3）若移动点D，当EF∥AB时，求AD的长． 设计意图：：通过动三角板条件下等边三角形判定、求线段长度，巩固等边三角形判定、30°直角三角形性质,培养几何抽象能力. 题源：新编 答案：见参考答案 30°角直角三角形性质、平行线的性质、等边三角形判定 数学抽象、数学直观能力、推理能力B2 M L2 中等
拓展性作业 （选做） 1．如图6，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有个. 设计意图：通过解决角平分线条件下等边三角形存在性问题，巩固角平分线性质、等边三角形判定、发展分类讨论数学思想. 题源：新编 答案：无数个 等边三角形判定、角平分线性质 数学猜想与论证能力、数学直观能力B3 E L3 较难
2．如图7，等边三角形ABC的边长为6cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则PE+PF+PD的值是_____cm． 设计意图：通过线段和的计算，巩固等底型三角形图形面积的计算方法、等边三角形面积计算方法 题源：新编 答案： 等边三角形性质、直角三角形性质、面积法 数学论证能力、数学运算能力、数学直观能力B4 E L3 较难
3．如图8-1，等边△ABC中，D为AC中点，∠EDF＝120°，DF交AB于F点，且AF＝nBF（n为常数，且n＞1）． （1）求证：DF＝DE； （2）求证：AF﹣CE＝AB； （3）如图8-2，当n＝ 时，过D作DM⊥BC于M点，C为EM的中点． 设计意图：通过证明线段相等，线段和差倍数关系，巩固三角形全等判定、添加辅助线(平行线)构造全等三角形方法． 题源：新编 答案：见参考答案 添加辅助线（平行线）、三角形全等的判定、线段数量关系计算 数学直观、数学猜想与论证能力、数学抽象能力B4 E L3 较难等腰三角形第4课时课后作业
一、基础性作业（必做题）
1．如图1，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
2．一个等腰三角形腰长为4， 则添加以下条件不能确定该等腰三角形形状、大小的是（ ）
A．一个内角60° B．一个内角100° C．一个内角80° D．底边长4
3．如图2，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于 ．
4．如图3，在长方形ABCD中，E在AD上，沿BE将A点往右折叠，再作AF⊥CD于点F，若AB＝2，BC＝3，∠BEA＝60°，则AF的长度为 ．
5．如图4，已知等腰三角形ABC的底角为15°，腰长为AB=AC=8cm，求△ABC面积．
6．如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）当DF通过点C（即点F与点C重合时），求DE的长；（3）若移动点D当EF∥AB时，求AD的长．
二、拓展性作业（选做题）
1．如图6，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有 个.
2．如图7，等边三角形ABC的边长为6cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，试求PE+PF+PD的值是 .
3．如图8-1，等边△ABC中，D为AC中点，∠EDF＝120°，DF交AB于F点，且AF＝nBF（n为常数，且n＞1）．
（1）求证：DF＝DE；
（2）求证：AF﹣CE＝AB；
（3）如图8-2，当n＝ 时，过D作DM⊥BC于M点，C为EM的中点．
