直角三角形第2课时课后作业
一、基础性作业（必做题）
1．如图1，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC
2．如图2，用纸板挡住部分直角三角形后，也能画出与此直角三角形全等的三角形，其判断三角形全等的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．HL
3．如图3，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为 ．
4．如图4，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB＝6cm，BC＝10cm．则EC的长为 cm．
5．如图5，在△ABC中∠ACB＝45°， AD⊥BC于点D，（1）请用以D为圆心，BD长为半径画弧，交线段AD于点E，连接CE，并求证：△ABD≌△CED；
（2）在（1）条件下，若CE是∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．
6．如图6，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）请写出线段CD与AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
二、拓展性作业（选做题）
1．如图7，△ABC中，点D为BC的中点，AB＝13，AC＝5，AD＝6，则△ABC的面积是 ．
2．如图8，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．经探索发现，四边形CEDF面积在点E、F运动过程中保持不变，其值为 ．
3．（1）如图9-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB．
求证：CA+AD＝BC．
小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC，
∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′＝CA，A′D＝AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D＝A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程．
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图9-2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9，求AB的长．义务教育初中数学书面作业设计样例
单元名称 第一章三角形的证明 课题 直角三角形
节次 第2课时
作业类型 作业内容 设计意图、题源、答案 学业质量
必备知识 关键能力 质量水平 solo 难度
基础性作业 （必做） 1．如图1，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ） A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC 设计意图：通过在直角三角形寻找全等的条件，巩固直角三角形全等的判定定理 题源：新编 答案：C 直角三角形全等的判定 逻辑推理能力B1 L1 U 容易
2．如图2，用纸板挡住部分直角三角形后，也能画出与此直角三角形全等的三角形，其判断三角形全等的依据是（ ） A．ASA B．AAS C．SAS D．HL 设计意图：通过发现直角三角形全等依据，巩固直角三角形的判定定理． 题源：新编 答案：A 直角三角形的判定定理. 几何直观能力、逻辑推理能力B1 L1 U 容易
3．如图3，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为 ． 设计意图：通过在坐标平面内求直角三角形顶点的坐标，巩固直角三角形的判定. 题源：新编 答案：.或者 直角三角形的判定 数学运算能力、逻辑推理能力B2 L2 M 中等
4．如图4，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB＝6cm，BC＝10cm．则EC的长 为 cm． 设计意图：通过求折叠问题中线段长度，巩固勾股定理 题源：新编 答案： 勾股定理、解方程 数学运算能力、逻辑推理能力B2 L2 M 中等
5．如图5，在△ABC中∠ACB＝45°， AD⊥BC于点D， （1）请用以D为圆心，BD长为半径画弧，交线段AD于点E，连接CE，并求证： △ABD≌△CED； （2）在（1）条件下，若CE是∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数 设计意图：通过在基本作图中寻找已知条件，证明三角形全等、求角度数，巩固三角形全等判定定理、等腰直角三角形性质 题源：新编 答案：详见参考答案 基本作图、三角形全等判定定理、等腰直角三角形性质 数学实际操作能力、空间想象力、数学推理论证能力B2 M L2 中等
6．如图6，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）求证：△ADE≌△BEC； （2）请写出线段CD与AD、BC之间的数量关系，并说明理由． 设计意图：通过证明直角三角形全等、求线段数量关系，巩固直角三角形全等判定（HL）、等腰直角三角形性质 题源：改编 答案：详见参考答案 直角三角形全等判定定理、等腰直角三角形性质 数学直观、数学推理论证能力B2 M L2 中等
拓展性作业 （选做） 1．如图7，△ABC中，点D为BC的中点，AB＝13，AC＝5，AD＝6，则△ABC的面积是 ． 设计意图：通过添加辅助线（倍长中线），求三角形面积，巩固勾股定理的逆定理、三角形全等的判定、三角形面积公式. 题源：新编 答案：30 构造倍长中线辅助线、勾股定理的逆定理、三角形全等判定定理 逻辑推理能力B3 L3 R 较难
2．如图8，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．经探索发现，四边形CEDF面积在点E、F运动过程中保持不变，其值为_____． 设计意图：通过在定角旋转中求动图形面积，巩固等腰直角三角形添加辅助线（底边中线）方法、三角形全等判定、割补法求不规则图形面积 题源：改编 答案： 等腰三角形的性质、三角形全等判定、割补法求不规则图形面积 空间想象能力、逻辑推理能力B4 L3 R 较难
3．（1）如图8-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB． 求证：CA+AD＝BC． 小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC， ∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′＝CA，A′D＝AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D＝A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程． （2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题： 如图8-2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9，求AB的长． 设计意图：以阅读理解问题为背景，通过完善材料解答过程、迁移材料的方法解决新问题，巩固直角三角形的性质、角平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理 培养学生类比的数学思想和建模的能力. 题源：新编 答案：见参考答案 直角三角形性质、角平分线性质、等腰三角形三线合一性质、勾股定理 数学创新、逻辑推理能力、数学运算能力B4 L3 R 较难等腰三角形第1课时参考答案
一、基础性作业（必做题）
1．C；2．A；3． 或者；4． .
6．（1）证明：尺规作图如图5所示
∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
在△ABD与△CED中，，
∴△ABD≌△CED（SAS）；
（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，
∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．
7．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴ED＝EC，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）AD2+BC2＝CD2，理由如下：
由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，DE＝CE，
∴∠AED＝∠BCE，BC＝AE，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴△DEC为等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝AD2+BC2，
同理可得，在Rt△EDC中，CD2＝DE2+CE2＝2（AD2+BC2），
∴AD2+BC2＝CD2．
二、拓展性作业（选做题）
1．30； 2． .
3. （1）证明：作△ADC关于CD的对称图形△A′DC，
∴A′D＝AD，C A′＝CA，∠CA′D＝∠A＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴A′点落在CB上
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°
在△ACD中，∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠A CD＝75°
∴∠A′DC＝∠ADC＝75°，
∴∠A′DB＝180°﹣∠ADC﹣∠A′DC＝30°，
∴∠A′DB＝∠B，∴A′D＝A′B，
∴CA+AD＝CA′+A′D＝C A′+A′B＝CB．
（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△A′DC．
∴D′A＝DA＝9，D′C＝DC＝10，
∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上，
∵BC＝10，∴D′C＝BC，
过点C作CE⊥AB于点E，则D′E＝BE．
设D′E＝BE＝x．
在Rt△CEB中，CE2＝CB2﹣BE2＝102﹣x2，
在Rt△CEA中，CE2＝AC2﹣AE2＝172﹣（9+x）2．
∴102﹣x2＝172﹣（9+x）2，
解得：x＝6，
∴AB＝AD′+D′E+EB＝9+6+6＝21．
