第一章回顾与思考第2课时课后作业
一、基础性作业（必做题）
1. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都大于60°
C．有一个内角大于60° D. 每一个内角都小于60°
2．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的逆命题是真命题
D．等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16
3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．∠BDC＝72°
C．S△ABD：S△BCD＝BC：AB D．△BCD的周长＝AB+BC
4．如图2，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB＝4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为 ．
5．如图3，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且AP＝2，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是 ．
6．如图4，在△ABC中，AB＝AC＝4，E在边BC上且AE＝3，∠BAE＝90°，求CE的长．
7．如图5，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，
（1）求证：∠BPQ＝60°
（2）若BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，求AD的长．
二、拓展性作业（选做题）
1．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图6-1、6-2（图6-2为图6-1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸.
2．如图7，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则
S△BDC的最大值为 ．
3．已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图8-1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；
（2）如图8-2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝6，CD＝8，求BD的长第一章回顾与思考第2课时参考答案
一、基础性作业（必做题）
1．D；2．B；3．C；4．；5．6．
6．解：过A作AD⊥BC，
∵AE＝3，∠BAE＝90°，AB＝AC＝4，
∴BE＝，
∴AD＝，
∵∠ADE＝90°，
∴DE＝，
∴CD＝，
∴CE＝
7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，
又∵AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAE＝∠1+∠BAD＝60°，
∴∠BAE＝∠2+∠BAD＝60°，
∴∠BPQ＝60°；
（2）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°，
又∵∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×4＝8，
∴BE＝BP+PE＝8+1＝9，
由（1）知△BAE≌△ACD，
∴AD＝BE＝9．
二、拓展性作业（选做题）
1．101； 2．10.
3．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴CD＝BE；
（2）解：连接BE，如图8-2所示：
∵CD垂直平分AE，
∴DA＝DE，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD＝8，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴BE⊥DE，
DE＝AD＝6，
∴BD＝＝＝10．义务教育初中数学书面作业设计样例
单元名称 第一章三角形的证明 课题 回顾与思考
节次 第2课时
作业类型 作业内容 设计意图、题源、答案 学业质量
必备知识 关键能力 质量水平 solo 难度
基础性作业 （必做） 1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都大于60° C．有一个内角大于60° D.每一个内角都小于60° 设计意图：通过假设反证法条件，巩固反证法证明的基本思路 题源：新编 答案：B 反证法 逻辑推理能力B1 L1 U 容易
2．下列语句中不正确的是（ ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的逆命题是真命题 D．等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16 设计意图：通过命题判断，巩固本章基本图形的概念和性质 题源：新编 答案：D 直角三角形判定、角平分线判定、等边三角形判定、等腰三角形性质 逻辑推理能力B1 L1 M 中等
3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（ ） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AB D．△BCD的周长＝AB+BC 设计意图：通过对黄金三角形有关的命题判断，巩固角平分线、等腰三角形的性质定理 题源：新编 答案：C 等腰三角形、角平分线性质、等高模型、整体法思想 逻辑推理能力B2 L2 M 中等
4．如图2，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB＝4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为 ． 设计意图：通过求等边三角形顶点坐标，巩固30°直角三角形三边关系、等边三角形性质 题源：新编 答案： 30°直角三角形三边关系、等边三角形性质 数学直观能力、逻辑推理能力B2 M L2 中等
5．如图3，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且AP＝2，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是 ． 设计意图：通过根据面积关系求线段的长度，巩固角平分线的性质、等高模型面积的计算方法． 题源：新编 答案：6 角平分线性质、三角形面积公式 数学运算能力、逻辑推理能力B2 L2 M 中等
6．如图4，在△ABC中，AB＝AC＝4，E在边BC上且AE＝3，∠BAE＝90°，求CE的长． 设计意图：通过求线段长，巩固勾股定理、等面积法求高 题源：新编 答案：见参考答案 勾股定理、等面积法求高 数学运算能力、直观想象能力、逻辑推理能力B2 M L2 中等
7．如图5，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P， （1）求证：∠BPQ＝60° （2）若BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，求AD的长． 设计意图：通过求证角度、线段长，巩固等边三角形性质、30°直角三角形三边关系、三角形全等判定定理、全等性质， 题源：新编 答案：见参考答案 等边三角形性质、30°直角三角形三边关系、三角形全等判定定理、全等性质， 数学直观想象能力、逻辑推理能力B2 M L2 中等
拓展性作业 （选做） 1．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图6-1、6-2（图6-2为图6-1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是寸. 设计意图：以中国古代数学问题为背景，通过求实际问题中线段的长度，巩固等腰三角形的性质定理、勾股定理，培养数学应用能力与文化自信 题源：新编 答案：101 勾股定理、等腰三角形性质 数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力B3 L2 R 较难
2．如图7，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD， 则S△BDC的最大值为 ． 设计意图：通过求变化的三角形面积的最大值，巩固角平分线、高线的性质、全等三角形的判定及性质、三角形中线平分三角形的面积，培养数学迁移能力. 题源：新编 答案：10 全等三角形的判定及性质、三角形中线平分面积，极限思想 数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力B4 L3 R 较难
3．已知△ABC中，AB＝AC． （1）如图8-1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE； （2）如图8-2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝6，CD＝8，求BD的长 设计意图：以探究性问题为背景，通过线段相等、线段长度的计算，“手拉手”模型及其迁移应用，巩固等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理、勾股定理 题源：新编 答案：见参考答案 等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理、复杂图形中的识图能力 逻辑推理能力、空间想象能力、数学建模能力B4 L3 R 较难
