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湖南省长沙市师大附中博才实验中学2020-2021学年度九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·长沙开学考）在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是（ ）
A． B．﹣1.6 C．0 D．2
2．（2021九下·长沙开学考）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·郑州月考）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成.该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·门头沟期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·长沙开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021七下·碑林月考）为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查 B．1000名学生是总体
C．样本容量是80 D．被抽取的每一名学生称为个体
7．（2021九下·长沙开学考）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2m B．4m C．4m D．6m
8．（2021九下·长沙开学考）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色.固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九下·长沙开学考）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．2 ，3 ，4 B．2 ，2 ，4 C．2 ，3 ，6 D．1 ，2 ，4
10．（2021九下·长沙开学考）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．AD=AB D．∠BAD＝∠ADC
11．（2021九下·长沙开学考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
12．（2021九下·长沙开学考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F.若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG BH＝BE BO，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
13．分解因式：2x2﹣8=
14．（2021九下·长沙开学考）计算的结果是 .
15．（2021九下·长沙开学考）如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，.则阴影部分的面积是 .
16．（2021九上·南漳期末）以 的速度将小球沿与地面成 度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系： ，那么球从飞出到落地要用的时间是 .
三、解答题
17．（2021九下·长沙开学考）计算：
18．（2021九下·长沙开学考）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4.
19．（2021九下·长沙开学考）（生活经验）
如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”.方法是：
①画线段AB，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②以点C为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC的延长线于点D；
③连接BD，则∠ABD就是直角；
（1）（数学结论）
请你就∠ABD是直角作出合理解释.
（2）由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
在一个三角形中，如果 ，那么这个三角形是直角三角形.
（3）（应用结论）
两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b和c，探究a、b、c之间的数量关系.
20．（2021九下·长沙开学考）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率.
21．（2021九下·长沙开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长.
22．（2021九下·长沙开学考）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元.
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元.求m，n的值.
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为整数），求有哪几种购买方案.
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值.
23．（2021九下·长沙开学考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E.
（1）若，求.
（2）求证：AD2＝DE DB.
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
24．（2021九下·长沙开学考）定义：对于函数y=f(x)，若x=a时，y=2a，则称（a，2a）为函数y=f(x)的倍速点；当函数有0个、1个、2个、3个、…、n个、无数个倍速点时，则依次称函数为0阶倍速函数、1阶倍速函数、…、n阶倍速函数、无穷阶倍速函数
（1）请判断是否是倍速函数，如果是倍速函数，请直接写出所有倍速点和阶数；
（2）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min｛a，b｝表示a、b中较小的值，如min｛2，4｝=2，若函数是无穷阶倍速函数，按照符号min｛a，b｝规定解关于x的方程；
（3）如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，令的最大值，判断函数是否是倍速函数，如果是倍速函数求出其倍速点和阶数.
25．（2021九下·长沙开学考）已知抛物线
（1）求证：无论m为何值，此抛物线恒过x轴上一定点；
（2）设抛物线恒过x轴上的定点为A，与x轴另一个交点为B，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线对称轴于点D，若直线与抛 物线有且只有一个公共点，且，求m、k的值；
（3）（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形，如果存在直接写出点E的坐标，若不存在请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】实数大小的比较；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是.
故答案为：A.
【分析】首先根据无理数的估算方法估算出的范围，然后结合正数都大于0，0大于负数，两个正数绝对值大的就大进行比较即可.
2．【答案】D
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形.
故答案为：D.
【分析】从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形，据此判断.
3．【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10,n等于原数的整数位数减去1.
4．【答案】A
【考点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；幂的乘方
【解析】【解答】A. ，A符合题意，
B. ，B不符合题意；
C. 与 不是同类二次根式，不能合并，C不符合题意；
D. ，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，二次根式的加法及乘法法则分别计算出结果，再进行判断即可.
5．【答案】C
【考点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形;把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
6．【答案】C
【考点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意；
B、1000名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；
C、样本容量是80，正确；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体.故本选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】本题根据考察的全体对象叫做总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，抽样调查中，被抽取的那些个体叫样本，样本中个体的数目叫样本容量，即可作答.
7．【答案】C
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，即，
解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），
故答案为：C.
【分析】坡比等于坡角的正切函数值，据此结合BC的值可得AC，然后根据勾股定理求解即可.
8．【答案】A
【考点】几何概率
【解析】【解答】解：∵共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，
∴止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是：.
故答案为：A.
【分析】由图形可得：共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，用黄色区域的数量除以区域的总个数即可算出答案.
9．【答案】A
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2＋3＞4，能够组成三角形；
B、2＋2＝4，不能构成三角形；
C、2＋3＜6，不能组成三角形；
D、1＋2＜4，不能组成三角形.
故答案为：A.
【分析】直接根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断.
10．【答案】C
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，四边形ABCD是平行四边形，
A、有一个是直角的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，不符合题意；
B、 对角线相等的平行四边是矩形，是矩形的判定定理，不符合题意；
C、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，符合题意；
D、平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180°，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90°，是矩形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】已知原图形是平行四边形，要能判定其是矩形，只需要添加一个矩形所具有的特殊性质“对角线相等或有一个内角是直角”，据此一一判断得出答案.
11．【答案】A
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：.
故答案为：A.
【分析】由表格中数据可得：xy＝100，变形即可得到y关于x的函数表达式.
12．【答案】D
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2，
∴PC＝4﹣2＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BH BG＝BE BO，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由垂直的概念得∠FEC＝∠BGC＝90°，由正方形的性质得AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，由等角的余角相等得∠OBH＝∠ECO，证明△BOH≌△COE，据此判断①；过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由正方形的性质得∠ABD＝∠CBD＝45°，由角平分线的性质得EQ＝EP，推出四边形BPEQ是正方形，得BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，证明△QEF≌△PEC，据此判断②；根据等腰三角形的性质得BE＝BC＝4，则BP＝EP＝2，PC＝4-2＝QF，据此判断③；证明△BOH∽△BGE，据此判断④.
13．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
14．【答案】
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】把整式看成分母为1的式子，对原式进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算.
15．【答案】
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：阴影部分面积==.
故答案为：.
【分析】由图形可得：阴影部分的面积为圆心角为100°，半径为2的扇形的面积与圆心角为100°，半径为1的扇形的面积之差，进而根据扇形面积计算公式计算即可.
16．【答案】4s
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=0时，0=20t-5t2，
解得：t1=0，t2=4，
则小球从飞出到落地需要4s.
故答案为4s.
【分析】根据求落地表示此时h=0可得关于t的一元二次方程：0=20t-5t2，解这个方程可求解.
17．【答案】解：原式＝1+﹣1﹣2×+3
＝﹣+3
＝3.
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，同时根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．【答案】解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
＝x2﹣2x，
当x＝4时，
原式＝16﹣2×4＝16﹣8＝8.
【考点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据平方差公式、完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，进而根据合并同类项法则对原式进行化简，然后将x的值代入进行计算.
19．【答案】（1）解：由题意得，AC＝BC＝CD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠ABC+∠CBD+∠A+∠D＝180°，
∴2（∠ABC+∠CBD）＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°；
（2）一边上的中线等于这边的一半
（3）解：∵ 这两个等腰三角形可以拼出一个大三角形且满足“三弧法”的条件，如已知图，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，
根据勾股定理，得
AB2+BD2＝AD2，
即b2+c2＝4a2.
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）根据题意和（1）可知：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
故答案为：一边上的中线等于这边的一半；
【分析】（1）由题意得：AC＝BC＝CD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠A，∠CBD＝∠D，然后根据内角和定理求解即可；
（2）根据题意和（1）可知：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
（3）由题意可得∠ABD＝90°，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，然后根据勾股定理进行解答即可.
20．【答案】（1）162°
（2）解：由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）解：画树状图如图∶
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个.
∴恰好抽到同性别学生的概率为.
【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
“重视”的人数为80 4 36 16＝24（人），
故答案为：162°，补全条形统计图如图：
【分析】（1）利用“不重视”的人数除以所占的比例可得总人数，进而根据各组人数之和等于总人数求出“重视”的人数，利用“比较重视”的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占的圆心角的度数，进而补全条形统计图；
（2）利用“非常重视”的人数除以总人数，然后乘以3200即可；
（3）此题是抽取不放回，画出树状图，找出总情况数以及恰好抽到同性别学生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4.
【考点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，由角平分线的概念可得∠ABD＝∠CBD，推出AD＝AB，根据已知条件可得AB＝BC，则AD＝BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推出四边形ABCD是平行四边形，然后结合AB＝BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理求出OD，进而得到BD，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：依题意，得：
，
解得：.
答：m的值为10，n的值为14.
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：.
为正整数，
，59，60，
有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）解：设超市获得的利润为y元，则.
，
随x的增大而增大，
当时，y取得最大值，最大值为.
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 （1）根据：购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元可得方程10m+5n=170；根据：购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元可得方程6m+10n=200，联立求解即可；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100-x)千克，表示出购买甲乙两种蔬菜的钱数，结合投入资金不少于1160元又不多于1168元 列出关于x的不等式组，求出x的范围，结合x为正整数可得x的取值，进而可得购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据(售价-进价)×数量=总利润可得y与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.
23．【答案】（1）解：∵BC是⊙O的直径
∴∠CAB＝90°
∵
∴∠ABC＝90°-30°=60°
∵D是劣弧的中点，得，
∴∠ABD＝∠DAC=30°
∴=
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
又∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴AD2＝DE DB；
（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形.
∴BD＝，由DC2＝DE DB得，
（）2＝2DE，
解得：DE＝.
【考点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAB＝90°，则∠ABC＝90°-∠ACB=60°，根据中点的概念可得，由圆周角定理可得∠ABD＝∠DAC=30°，据此求解；
（2）由（1）得∠ABD＝∠DAC，证明△ABD∽△EAD，然后由相似三角形的性质证明即可；
（3）根据弧、弦的关系可得AD＝DC，则DC2＝DE DB，由勾股定理求出BD，然后根据DC2＝DE DB就可求出DE.
24．【答案】（1）解：由，得，
∴
∴是倍速函数
其倍速点为（1，2）、（-1，-2），所以是2阶倍速函数是，倍速点为（1，2）、（-1，-2），2阶倍速函数
（2）解：∵函数是无穷阶倍速函数
∴有无数个解
∴有无数个解
∴，即
∴
若时，
∴，此方程无解；
若时，
∴是此方程的解
∴的解为：
（3）解：在BC上取M使得此时PM=1，连结B、P，
∵，又
∴
∴
∴
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，
故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值.
在△CDM中 CD=4，CM=3，
根据勾股定理得DM=5，
∴a=5，此时函数为：，
由解得：
∴是2阶倍速函数，
其倍速点为：；
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）联立y=与y=2x，求出x、y的值，据此解答；
（2）联立y=(k2-2)x+k-2与y=2x，消去y，根据题意可得k=2，则min{，}=，据此求解；
（3）在BC上取点M，使PM=1，连接B、P，证明△MBP∽△PBC，由相似三角形的性质可得PM=PC，连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，根据勾股定理得DM=5，则a=5，据此可得二次函数解析式，联立y=2x求出x、y，据此解答.
25．【答案】（1）证明：∵
=
=
∴当时，
即此抛物线恒过x轴上一定点；
（2）解：由（1）有A，B
∵
∴
∴A点在B点左侧
∵直线过点A
∴
∴
∵直线与抛物线有且只有一个公共点
∴的判别式等于0
即
∴
∴
即
∴直线与y轴交点C
由题意得抛物线的对称轴
∴直线=
=
=
=
即D
∵
∴
即
∴
∴
∴
∴
（3）解：由（2）得A，B，C，对称轴为
∴AB=2，假设符合条件的平行四边形存在
(A)若BC做对角线时，过点C做平行于x轴的直线CE交抛物线的对称轴于点E，则CE=3-0=3
∴
即此时平行四边形不存在
（B）若AB为对角线或AC为对角线时，显然E点不在抛物线对称轴上
综上所述不存在合条件的平行四边形.
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=(x-2)(x+m+1)，令x=2，得y=0，据此可得定点坐标；
（2） 易得A（2，0），B（-m-1，0），将点A坐标代入y=kx+b中可得b=-2k，则y=kx-2k，联立抛物线解析式并消去y，根据△=0可得k=m+3，求出直线与y轴的交点坐标以及抛物线的对称轴，可得直线解析式为y=，求出点D的坐标，根据三角形的面积公式结合已知条件可得=[-2(m+3)]，求解即可；
（3）由（2）得A（2，0），B（4，0），C（0，4），对称轴为直线x=3，则AB=2，若BC做对角线时，过点C做平行于x轴的直线CE交抛物线的对称轴于点E，则CE=3-0=3，此时AB≠CE，即此时平行四边形不存在；若AB为对角线或AC为对角线时，显然E点不在抛物线对称轴上，据此判断.
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湖南省长沙市师大附中博才实验中学2020-2021学年度九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·长沙开学考）在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是（ ）
A． B．﹣1.6 C．0 D．2
【答案】A
【考点】实数大小的比较；估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是.
故答案为：A.
【分析】首先根据无理数的估算方法估算出的范围，然后结合正数都大于0，0大于负数，两个正数绝对值大的就大进行比较即可.
2．（2021九下·长沙开学考）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形.
故答案为：D.
【分析】从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形，据此判断.
3．（2020九上·郑州月考）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成.该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10,n等于原数的整数位数减去1.
4．（2020八上·门头沟期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；幂的乘方
【解析】【解答】A. ，A符合题意，
B. ，B不符合题意；
C. 与 不是同类二次根式，不能合并，C不符合题意；
D. ，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，二次根式的加法及乘法法则分别计算出结果，再进行判断即可.
5．（2021九下·长沙开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形;把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
6．（2021七下·碑林月考）为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查 B．1000名学生是总体
C．样本容量是80 D．被抽取的每一名学生称为个体
【答案】C
【考点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意；
B、1000名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；
C、样本容量是80，正确；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体.故本选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】本题根据考察的全体对象叫做总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，抽样调查中，被抽取的那些个体叫样本，样本中个体的数目叫样本容量，即可作答.
7．（2021九下·长沙开学考）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2m B．4m C．4m D．6m
【答案】C
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，即，
解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），
故答案为：C.
【分析】坡比等于坡角的正切函数值，据此结合BC的值可得AC，然后根据勾股定理求解即可.
8．（2021九下·长沙开学考）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色.固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】几何概率
【解析】【解答】解：∵共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，
∴止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是：.
故答案为：A.
【分析】由图形可得：共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，用黄色区域的数量除以区域的总个数即可算出答案.
9．（2021九下·长沙开学考）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．2 ，3 ，4 B．2 ，2 ，4 C．2 ，3 ，6 D．1 ，2 ，4
【答案】A
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2＋3＞4，能够组成三角形；
B、2＋2＝4，不能构成三角形；
C、2＋3＜6，不能组成三角形；
D、1＋2＜4，不能组成三角形.
故答案为：A.
【分析】直接根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断.
10．（2021九下·长沙开学考）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．AD=AB D．∠BAD＝∠ADC
【答案】C
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，四边形ABCD是平行四边形，
A、有一个是直角的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，不符合题意；
B、 对角线相等的平行四边是矩形，是矩形的判定定理，不符合题意；
C、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，符合题意；
D、平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180°，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90°，是矩形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】已知原图形是平行四边形，要能判定其是矩形，只需要添加一个矩形所具有的特殊性质“对角线相等或有一个内角是直角”，据此一一判断得出答案.
11．（2021九下·长沙开学考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：.
故答案为：A.
【分析】由表格中数据可得：xy＝100，变形即可得到y关于x的函数表达式.
12．（2021九下·长沙开学考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F.若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG BH＝BE BO，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2，
∴PC＝4﹣2＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BH BG＝BE BO，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由垂直的概念得∠FEC＝∠BGC＝90°，由正方形的性质得AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，由等角的余角相等得∠OBH＝∠ECO，证明△BOH≌△COE，据此判断①；过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由正方形的性质得∠ABD＝∠CBD＝45°，由角平分线的性质得EQ＝EP，推出四边形BPEQ是正方形，得BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，证明△QEF≌△PEC，据此判断②；根据等腰三角形的性质得BE＝BC＝4，则BP＝EP＝2，PC＝4-2＝QF，据此判断③；证明△BOH∽△BGE，据此判断④.
二、填空题
13．分解因式：2x2﹣8=
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
14．（2021九下·长沙开学考）计算的结果是 .
【答案】
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】把整式看成分母为1的式子，对原式进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算.
15．（2021九下·长沙开学考）如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，.则阴影部分的面积是 .
【答案】
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：阴影部分面积==.
故答案为：.
【分析】由图形可得：阴影部分的面积为圆心角为100°，半径为2的扇形的面积与圆心角为100°，半径为1的扇形的面积之差，进而根据扇形面积计算公式计算即可.
16．（2021九上·南漳期末）以 的速度将小球沿与地面成 度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系： ，那么球从飞出到落地要用的时间是 .
【答案】4s
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=0时，0=20t-5t2，
解得：t1=0，t2=4，
则小球从飞出到落地需要4s.
故答案为4s.
【分析】根据求落地表示此时h=0可得关于t的一元二次方程：0=20t-5t2，解这个方程可求解.
三、解答题
17．（2021九下·长沙开学考）计算：
【答案】解：原式＝1+﹣1﹣2×+3
＝﹣+3
＝3.
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，同时根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．（2021九下·长沙开学考）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4.
【答案】解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
＝x2﹣2x，
当x＝4时，
原式＝16﹣2×4＝16﹣8＝8.
【考点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据平方差公式、完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，进而根据合并同类项法则对原式进行化简，然后将x的值代入进行计算.
19．（2021九下·长沙开学考）（生活经验）
如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”.方法是：
①画线段AB，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②以点C为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC的延长线于点D；
③连接BD，则∠ABD就是直角；
（1）（数学结论）
请你就∠ABD是直角作出合理解释.
（2）由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
在一个三角形中，如果 ，那么这个三角形是直角三角形.
（3）（应用结论）
两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b和c，探究a、b、c之间的数量关系.
【答案】（1）解：由题意得，AC＝BC＝CD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠ABC+∠CBD+∠A+∠D＝180°，
∴2（∠ABC+∠CBD）＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°；
（2）一边上的中线等于这边的一半
（3）解：∵ 这两个等腰三角形可以拼出一个大三角形且满足“三弧法”的条件，如已知图，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，
根据勾股定理，得
AB2+BD2＝AD2，
即b2+c2＝4a2.
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）根据题意和（1）可知：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
故答案为：一边上的中线等于这边的一半；
【分析】（1）由题意得：AC＝BC＝CD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠A，∠CBD＝∠D，然后根据内角和定理求解即可；
（2）根据题意和（1）可知：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
（3）由题意可得∠ABD＝90°，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，然后根据勾股定理进行解答即可.
20．（2021九下·长沙开学考）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率.
【答案】（1）162°
（2）解：由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）解：画树状图如图∶
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个.
∴恰好抽到同性别学生的概率为.
【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
“重视”的人数为80 4 36 16＝24（人），
故答案为：162°，补全条形统计图如图：
【分析】（1）利用“不重视”的人数除以所占的比例可得总人数，进而根据各组人数之和等于总人数求出“重视”的人数，利用“比较重视”的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占的圆心角的度数，进而补全条形统计图；
（2）利用“非常重视”的人数除以总人数，然后乘以3200即可；
（3）此题是抽取不放回，画出树状图，找出总情况数以及恰好抽到同性别学生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．（2021九下·长沙开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4.
【考点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，由角平分线的概念可得∠ABD＝∠CBD，推出AD＝AB，根据已知条件可得AB＝BC，则AD＝BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推出四边形ABCD是平行四边形，然后结合AB＝BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理求出OD，进而得到BD，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行解答.
22．（2021九下·长沙开学考）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元.
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元.求m，n的值.
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为整数），求有哪几种购买方案.
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值.
【答案】（1）解：依题意，得：
，
解得：.
答：m的值为10，n的值为14.
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：.
为正整数，
，59，60，
有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）解：设超市获得的利润为y元，则.
，
随x的增大而增大，
当时，y取得最大值，最大值为.
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 （1）根据：购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元可得方程10m+5n=170；根据：购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元可得方程6m+10n=200，联立求解即可；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100-x)千克，表示出购买甲乙两种蔬菜的钱数，结合投入资金不少于1160元又不多于1168元 列出关于x的不等式组，求出x的范围，结合x为正整数可得x的取值，进而可得购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据(售价-进价)×数量=总利润可得y与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.
23．（2021九下·长沙开学考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E.
（1）若，求.
（2）求证：AD2＝DE DB.
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
【答案】（1）解：∵BC是⊙O的直径
∴∠CAB＝90°
∵
∴∠ABC＝90°-30°=60°
∵D是劣弧的中点，得，
∴∠ABD＝∠DAC=30°
∴=
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
又∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴AD2＝DE DB；
（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形.
∴BD＝，由DC2＝DE DB得，
（）2＝2DE，
解得：DE＝.
【考点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAB＝90°，则∠ABC＝90°-∠ACB=60°，根据中点的概念可得，由圆周角定理可得∠ABD＝∠DAC=30°，据此求解；
（2）由（1）得∠ABD＝∠DAC，证明△ABD∽△EAD，然后由相似三角形的性质证明即可；
（3）根据弧、弦的关系可得AD＝DC，则DC2＝DE DB，由勾股定理求出BD，然后根据DC2＝DE DB就可求出DE.
24．（2021九下·长沙开学考）定义：对于函数y=f(x)，若x=a时，y=2a，则称（a，2a）为函数y=f(x)的倍速点；当函数有0个、1个、2个、3个、…、n个、无数个倍速点时，则依次称函数为0阶倍速函数、1阶倍速函数、…、n阶倍速函数、无穷阶倍速函数
（1）请判断是否是倍速函数，如果是倍速函数，请直接写出所有倍速点和阶数；
（2）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min｛a，b｝表示a、b中较小的值，如min｛2，4｝=2，若函数是无穷阶倍速函数，按照符号min｛a，b｝规定解关于x的方程；
（3）如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，令的最大值，判断函数是否是倍速函数，如果是倍速函数求出其倍速点和阶数.
【答案】（1）解：由，得，
∴
∴是倍速函数
其倍速点为（1，2）、（-1，-2），所以是2阶倍速函数是，倍速点为（1，2）、（-1，-2），2阶倍速函数
（2）解：∵函数是无穷阶倍速函数
∴有无数个解
∴有无数个解
∴，即
∴
若时，
∴，此方程无解；
若时，
∴是此方程的解
∴的解为：
（3）解：在BC上取M使得此时PM=1，连结B、P，
∵，又
∴
∴
∴
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，
故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值.
在△CDM中 CD=4，CM=3，
根据勾股定理得DM=5，
∴a=5，此时函数为：，
由解得：
∴是2阶倍速函数，
其倍速点为：；
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）联立y=与y=2x，求出x、y的值，据此解答；
（2）联立y=(k2-2)x+k-2与y=2x，消去y，根据题意可得k=2，则min{，}=，据此求解；
（3）在BC上取点M，使PM=1，连接B、P，证明△MBP∽△PBC，由相似三角形的性质可得PM=PC，连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，根据勾股定理得DM=5，则a=5，据此可得二次函数解析式，联立y=2x求出x、y，据此解答.
25．（2021九下·长沙开学考）已知抛物线
（1）求证：无论m为何值，此抛物线恒过x轴上一定点；
（2）设抛物线恒过x轴上的定点为A，与x轴另一个交点为B，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线对称轴于点D，若直线与抛 物线有且只有一个公共点，且，求m、k的值；
（3）（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形，如果存在直接写出点E的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）证明：∵
=
=
∴当时，
即此抛物线恒过x轴上一定点；
（2）解：由（1）有A，B
∵
∴
∴A点在B点左侧
∵直线过点A
∴
∴
∵直线与抛物线有且只有一个公共点
∴的判别式等于0
即
∴
∴
即
∴直线与y轴交点C
由题意得抛物线的对称轴
∴直线=
=
=
=
即D
∵
∴
即
∴
∴
∴
∴
（3）解：由（2）得A，B，C，对称轴为
∴AB=2，假设符合条件的平行四边形存在
(A)若BC做对角线时，过点C做平行于x轴的直线CE交抛物线的对称轴于点E，则CE=3-0=3
∴
即此时平行四边形不存在
（B）若AB为对角线或AC为对角线时，显然E点不在抛物线对称轴上
综上所述不存在合条件的平行四边形.
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=(x-2)(x+m+1)，令x=2，得y=0，据此可得定点坐标；
（2） 易得A（2，0），B（-m-1，0），将点A坐标代入y=kx+b中可得b=-2k，则y=kx-2k，联立抛物线解析式并消去y，根据△=0可得k=m+3，求出直线与y轴的交点坐标以及抛物线的对称轴，可得直线解析式为y=，求出点D的坐标，根据三角形的面积公式结合已知条件可得=[-2(m+3)]，求解即可；
（3）由（2）得A（2，0），B（4，0），C（0，4），对称轴为直线x=3，则AB=2，若BC做对角线时，过点C做平行于x轴的直线CE交抛物线的对称轴于点E，则CE=3-0=3，此时AB≠CE，即此时平行四边形不存在；若AB为对角线或AC为对角线时，显然E点不在抛物线对称轴上，据此判断.
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