广西南宁市第十四中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
1．（2021九下·南宁开学考）-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
2．（2021九下·南宁开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九下·南宁开学考）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九下·南宁开学考）将数45300000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·南宁开学考）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（2021九下·南宁开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九下·南宁开学考）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．（2021九下·南宁开学考）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“壮族三月三山歌节志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九下·南宁开学考）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销.下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九下·南宁开学考）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
11．（2021九下·南宁开学考）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高为1.55米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地而的距离为（已知，，，，，）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
12．（2021九下·南宁开学考）如图，四边形为的内接四边形，平分，于点H，已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
13．（2021九下·南宁开学考）若二次根式有意义，则x的取值范围是 .
14．（2021九下·南宁开学考）因式分解： .
15．（2021九下·南宁开学考）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 .
16．（2021九下·南宁开学考）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离 千米.
17．（2021九下·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为，若将向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则k的值为 .
18．（2021九下·南宁开学考）如图，在边长为的菱形中，，点E，F分别是，上的动点，且，与交于点P，当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为 .
19．（2021九下·南宁开学考）计算：.
20．（2021九下·南宁开学考）先化简，再求值：，其中，.
21．（2021九下·南宁开学考）如图，三个顶点的坐标分别为、、.
（1）画出关于y轴的对称图形；
（2）画出将绕原点O按顺时针旋转所得的；
（3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标.(不写解答过程，直接写出结果)
22．（2021九下·南宁开学考）小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取 份答卷，并统计成绩(成绩得分用 表示，单位：分)，收集数据如下：
整理数据：
分析数据：
平均分 中位数 众数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中 的值；
（2）该校有 名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义.
23．（2021九下·南宁开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.
（1）求证：△ADE≌△BDF.
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.
24．（2021九下·南宁开学考）为响应国家“篮球进校园”的号召，某校购买了50个A型篮球和20个B型篮球共花费5000元，已知购买一个B型篮球比购买一个A型篮球多花40元.
（1）求购买一个A型篮球和一个B型篮球各需多少元；
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“篮球特色学校”，学校计划用不超过4600元的经费再次购买A型篮球和B型篮球共50个，其中B型篮球的数量不少于A型篮球数量的，求A型篮球数量的取值范围；
（3）报价如下表：
型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个
A型 原价购买 打九折
B型 原价购买 打八折
在（2）的条件下，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由.
25．（2021九下·南宁开学考）如图，是的直径，弦于点E，点F是上一点，且.连接，，交于点N.
（1）若，，求的半径；
（2）求证：；
（3）连接并延长，交的延长线于点P，过点D作的切线，交的延长线于点M.求证：.
26．（2021九下·南宁开学考）如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线.如图1，已知抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点.
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在坐标轴上，点M，N分别是抛物线，上的动点，且点M，N的横坐标相同，记面积为（当点M与点A重合时），的面积为（当点N与点A，B重合时），令，观察图象，当时，写出x的取值范围，并求出S在此范围内的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断A；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断B；根据合并同类项法则“合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变”可判断C；根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2可判断D.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】主视图，就是从物体的正面看得到的图形，据此可得：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】对图形进行点标注，易知∠BCA=60°，∠DCE=45°，根据平角的概念可得∠2的度数，然后根据平行线的性质进行求解.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以该不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上，如图，
故答案为：C.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；邻补角；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ACB=50°，由邻补角的性质可得∠ACD=130°，然后根据角平分线的概念进行求解.
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如下：
共有6个等可能的结果，其中甲被选中的结果有4个，
∴甲被选中的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，其中甲被选中的结果有4个，由概率公式即可得出结果.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当需求量猛增时，库存量随着时间的增加而减小，
故时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得：一开始图象为平行于x轴的线段，当需求量猛增时，库存随着时间的增加而减小，最后为0，据此判断.
10．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得： = ，
故选：D．
【分析】根据题意可得顺水速度为（35+v）km/h，逆水速度为（35﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，根据等量关系列出方程即可．
11．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，则BF＝3＋x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°≈2.1x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），
∴2.1x＝0.7（3＋x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15＋1.55=4.7米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，则BF＝3＋x，根据正切函数的定义得OF=xtan65°≈2.1x，OF＝BFtan35°≈0.7(3+x)，据此可得x，进而求出OF、OE.
12．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∴∠DAE=∠DCB
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝，
∴BE＝2BH＝，
∴AB+BC＝.
故答案为：A.
【分析】延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，则∠DAE=∠DCB，根据角平分线的概念可得∠ABD＝∠CBD＝60°，推出△DAC为等边三角形，得到DA＝DC，证明△ADE≌△BCD，得到∠E＝∠DBC＝60°，进而推出△DBE为等边三角形，由等边三角形的性质可得BH＝EH，据此求解.
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数可得x+2≥0，求解即可.
14．【答案】5a（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=5a（x2-y2）
=5a（x+y）（x-y）.
故答案为：5a(x+y)(x-y).
【分析】首先提取公因式5a，然后利用平方差公式进行分解.
15．【答案】0
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4.
中间的是0，则中位数是：0。
故答案是：0。
【分析】将这5个数据按从小到大排列后，排第三位的数就是该组数据的中位数。
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=（千米），
∴BC=BD=（千米）.
∴B，C两地的距离是千米.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据∠BAD的正弦函数可得BD，推出△BCD是等腰直角三角形，据此求解.
17．【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：如图，作AE⊥x轴，交BC于点F，AD⊥y轴于点D，
∵，，点A，
∴，
将ΔABC向下平移m个单位长度，
∴A，，
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
，
故答案为：45.
【分析】作AE⊥x轴，交BC于点F，AD⊥y轴于点D，易得BF=4，由勾股定理求出AF，进而得到B、C的坐标，根据点的平移规律可得A（6，10-m），C（10，7-m），由A、C在反比例函数图象上可得m，进而可求出k的值.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BD，作△CBD的外接圆⊙O，作OG⊥BD于G，如图，
∵菱形中，，
∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD和△CBD都为等边三角形，
∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，
∵DF=AE，
∴，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60，
∴∠BPD=180-∠BPE=120，
∵∠C=60，
∴∠C+∠BPD =180，
∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是四边形CBPD的外接圆，
∴当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为的长，
∴∠BOD =2∠BCD =120，
根据垂径定理得：BG=GD=BD=，∠BOG =∠BOD =60，
∵，即，
∴，
从而P点的路径长为.
故答案为：.
【分析】连接BD，作OG⊥BD于G，根据菱形的性质得∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，推出△ABD和△CBD都为等边三角形，则BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，证△BFD≌△DEA，得∠DBF=∠ADE，进而推出当点E从点A运动到点B时，点P的运动路径长为的长，由圆周角定理得∠BOD =2∠BCD =120，根据垂径定理得：BG=GD=，∠BOG =∠BOD =60，然后根据∠BOG的正弦函数求出OB，接下来结合弧长公式计算即可.
19．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质、负整数指数幂的运算性质以及有理数的除法法则分别化简，再计算乘法，最后根据有理数的加减法算出答案.
20．【答案】解：
，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先根据平方差公式、完全平方公式对第一个分式的分子、分母进行分解，然后约分化简，接着利用同分母分式减法法则计算括号内分式的减法，接着将分式除法转变为分式乘法，约分化简，最后将a、b的值代入计算即可.
21．【答案】 解：（1）如图，为所求作的图形；
（2）如图，为所求作的图形；
（3）如图，点P为所求作的点，P点坐标为：.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为点P.
22．【答案】（1）a=20-3-4-8=5；
将这组数据按大小顺序排列为：
81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，
其中第10个和第11个数据分别是90，92，
所以，这组数据的中位数b= ；
100出现了4次，出现的次数最多，所以，众数c是100；
（2） ，
(人)
（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；
众数：在统计的问卷的成绩中，得 分的人数最多.
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为人数；（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以1600即可得到结果；（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可.
23．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，DE＝DF.
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）证明：∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE.
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE.
∴DB＝DE.
∴AB＝EF.
∴平行四边形AFBE是矩形.
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD＝BD，根据对顶角的性质可得∠ADE=∠BDF，结合DE＝DF，可以利用SAS证明 △ADE≌△BDF ；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形易得四边形AFBE是平行四边形，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，由平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，由已知条件可知∠ABE＝∠CBE，推出DB＝DE，然后利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
24．【答案】（1）解：设A种品牌篮球的单价为x元，B种品牌篮球的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个A种品牌的篮球需要60元，购买一个B种品牌的篮球需要100元；
（2）解：设第购买A种篮球a个，则购买B种篮球（50-a）个，
依题意得：
解得：10≤a≤40.
（3）解：①当10≤a≤20时，30≤50-a≤40
W=60a+100×0.8（50-a）=-20a+4000
∵-20＜0，∴w随a的增大而减小，
当a=10时，w最小=3800，
②当20＜a＜30时，20＜50-a＜30
W=60a+100（50-a）=-40a+5000
∵-40＜0，∴w随a的增大而减小，
当a=29时，w最小=3840
③当30≤a≤40时，10≤50-a≤20
W=60×0.9a+100（50-a）=-46a+5000
∵-46＜0，∴w随a的增大而减小，
当a=30时，w最小=3620
∴购买30只A种篮球，20只B种篮球，总花费w最少，最少费用为3620元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A种品牌篮球的单价为x元，B种品牌篮球的单价为y元，根据：买了50个A型篮球和20个B型篮球共花费5000元可得方程50x+20y=5000，根据：购买一个B型篮球比购买一个A型篮球多花40元可得方程y=x+40，联立求解即可；
（2）设第购买A种篮球a个，则购买B型篮球(50-a)个，根据数量×单价=总价结合经费不超过4600元可列出关于a的不等式，根据：B型篮球的数量不少于A型篮球数量的可得 50-a≥a，联立求解可得a的范围；
（3）①当10≤a≤20时，30≤50-a≤40，则购买A的花费为60a元，购买B的花费为100×0.8(50-a)，相加可得W与a的关系式；②当20＜a＜30时，20＜50-a＜30，则购买A的花费为60a元，购买B的花费100(50-a)，相加可得W与a的关系式；③当30≤a≤40时，10≤50-a≤20，则购买A的花费为60×0.9a元，购买B的花费100(50-a)，相加可得W与a的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.
25．【答案】（1）解：如图，连接AC，BC，BD，
∵CD⊥AB，AB是直径
∴
∴∠BCD＝∠BAC，且∠BEC＝∠CEA
∴△BCE∽△CAE
∴，即，
∴AE＝9
∴AB＝AE+BE＝10
∴⊙O的半径为5；
（2）证明：∵，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，且DE＝DE，∠BED＝∠NED＝90°
∴△BDE≌△NDE（ASA）
∴∠DBN＝∠DNB，BE＝EN
∵∠DBA＝∠DFA，∠BND＝∠FNA
∴∠FNA＝∠DFA
∴AN＝AF；
（3）证明：如图，连接NC，CO，DO，
∵MD是切线，
∴MD⊥DO，
∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE
∴△MDO∽△DEO
∴，
∴OD2＝OE OM
∵AE＝EN，CD⊥AO
∴∠BNC＝∠CBN，
∴∠CBP＝∠CNO，
∵，
∴∠BOC＝∠BAF
∵CO//AF
∴∠PCO＝∠PFA
∵四边形BCFA是圆内接四边形
∴∠PBC＝∠PFA
∴∠PBC＝∠PFA＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE
∴△CNO∽△PCO
∴，
∴CO2＝PO NO，
∴ON OP＝OE OM.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接AC，BC，BD，由垂径定理可得CE=DE=3，弧BC=弧BD，由圆周角定理可得∠BCD＝∠BAC，证明△BCE∽△CAE，根据相似三角形的性质可得AE，然后根据AB＝AE+BE求出AB，据此可得半径；
（2）由圆周角定理可得∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，证明△BDE≌△NDE，得到∠DBN＝∠DNB，BE＝EN，进而推出∠FNA＝∠DFA，据此证明；
（3）连接NC，CO，DO，根据切线的性质可得MD⊥DO，证明△MDO∽△DEO，得到OD2＝OE OM，推出∠CBP＝∠CNO，根据等弧所对的圆心角相等可得∠BOC＝∠BAF，由平行线的性质可得∠PCO＝∠PFA，根据圆内接四边形的性质可得∠PBC＝∠PFA，进而证明△CNO∽△PCO，得到CO2＝PO NO，据此证明.
26．【答案】（1），
的解析式：，
（2）解：在上，设
，
若B为直角顶点，则，
即
∴，
解得（不符合题意舍去），
∴；
若A为直角顶点，，
解得（不符合题意舍去），
∴；
若E为直角顶点，则
①或
②
解方程①得或（不符合题意舍去），
方程②中，则方程②无解
∴综上所述，点或；
（3）解：根据函数图象可知当时，，
设，，且，
设的直线解析式为
解得
直线的解析式：，
，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
过M作x轴的平行线交于Q，设交于点P，
则，
，
在上，且的横坐标相等，则，
，
当时，S的最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）由抛物线：可得，
将代入
得，
解得，
∴，
∴；
【分析】（1）将抛物线C1的解析式化为顶点式，据此可得点A的坐标，将点A、D的左边代入y2解析式中可得a、c，进而可得y2的解析式，将其化为顶点式，可得点B的坐标；
（2）设E（a，(a-2)2+3），表示出AB2、BE2、AE2，然后分三种情况利用勾股定理求出a，进而可得点E的坐标；
（3）根据函数图象可知当y1≤y2时，-2≤x≤2，设M（t，t2+t），N（t，t2+t+2），求出直线AF、AB的解析式，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，设AB交MN于点P，则Q（t2+t-，t2+t），表示出QM，PN，利用三角形的面积公式可得S1，S2，进而得到S，然后根据二次函数的性质进行解答.
1 / 1广西南宁市第十四中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
1．（2021九下·南宁开学考）-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-2的相反数是2，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2021九下·南宁开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断A；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断B；根据合并同类项法则“合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变”可判断C；根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2可判断D.
3．（2021九下·南宁开学考）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】主视图，就是从物体的正面看得到的图形，据此可得：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，据此判断.
4．（2021九下·南宁开学考）将数45300000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此判断即可.
5．（2021九下·南宁开学考）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】对图形进行点标注，易知∠BCA=60°，∠DCE=45°，根据平角的概念可得∠2的度数，然后根据平行线的性质进行求解.
6．（2021九下·南宁开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以该不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上，如图，
故答案为：C.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可判断得出答案.
7．（2021九下·南宁开学考）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；邻补角；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ACB=50°，由邻补角的性质可得∠ACD=130°，然后根据角平分线的概念进行求解.
8．（2021九下·南宁开学考）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“壮族三月三山歌节志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如下：
共有6个等可能的结果，其中甲被选中的结果有4个，
∴甲被选中的概率为 ，
故答案为：C.
【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，其中甲被选中的结果有4个，由概率公式即可得出结果.
9．（2021九下·南宁开学考）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销.下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当需求量猛增时，库存量随着时间的增加而减小，
故时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得：一开始图象为平行于x轴的线段，当需求量猛增时，库存随着时间的增加而减小，最后为0，据此判断.
10．（2021九下·南宁开学考）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得： = ，
故选：D．
【分析】根据题意可得顺水速度为（35+v）km/h，逆水速度为（35﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，根据等量关系列出方程即可．
11．（2021九下·南宁开学考）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高为1.55米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地而的距离为（已知，，，，，）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，则BF＝3＋x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°≈2.1x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），
∴2.1x＝0.7（3＋x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15＋1.55=4.7米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，则BF＝3＋x，根据正切函数的定义得OF=xtan65°≈2.1x，OF＝BFtan35°≈0.7(3+x)，据此可得x，进而求出OF、OE.
12．（2021九下·南宁开学考）如图，四边形为的内接四边形，平分，于点H，已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∴∠DAE=∠DCB
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝，
∴BE＝2BH＝，
∴AB+BC＝.
故答案为：A.
【分析】延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，则∠DAE=∠DCB，根据角平分线的概念可得∠ABD＝∠CBD＝60°，推出△DAC为等边三角形，得到DA＝DC，证明△ADE≌△BCD，得到∠E＝∠DBC＝60°，进而推出△DBE为等边三角形，由等边三角形的性质可得BH＝EH，据此求解.
13．（2021九下·南宁开学考）若二次根式有意义，则x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数可得x+2≥0，求解即可.
14．（2021九下·南宁开学考）因式分解： .
【答案】5a（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=5a（x2-y2）
=5a（x+y）（x-y）.
故答案为：5a(x+y)(x-y).
【分析】首先提取公因式5a，然后利用平方差公式进行分解.
15．（2021九下·南宁开学考）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 .
【答案】0
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4.
中间的是0，则中位数是：0。
故答案是：0。
【分析】将这5个数据按从小到大排列后，排第三位的数就是该组数据的中位数。
16．（2021九下·南宁开学考）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离 千米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=（千米），
∴BC=BD=（千米）.
∴B，C两地的距离是千米.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据∠BAD的正弦函数可得BD，推出△BCD是等腰直角三角形，据此求解.
17．（2021九下·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为，若将向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则k的值为 .
【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：如图，作AE⊥x轴，交BC于点F，AD⊥y轴于点D，
∵，，点A，
∴，
将ΔABC向下平移m个单位长度，
∴A，，
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
，
故答案为：45.
【分析】作AE⊥x轴，交BC于点F，AD⊥y轴于点D，易得BF=4，由勾股定理求出AF，进而得到B、C的坐标，根据点的平移规律可得A（6，10-m），C（10，7-m），由A、C在反比例函数图象上可得m，进而可求出k的值.
18．（2021九下·南宁开学考）如图，在边长为的菱形中，，点E，F分别是，上的动点，且，与交于点P，当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BD，作△CBD的外接圆⊙O，作OG⊥BD于G，如图，
∵菱形中，，
∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD和△CBD都为等边三角形，
∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，
∵DF=AE，
∴，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60，
∴∠BPD=180-∠BPE=120，
∵∠C=60，
∴∠C+∠BPD =180，
∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是四边形CBPD的外接圆，
∴当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为的长，
∴∠BOD =2∠BCD =120，
根据垂径定理得：BG=GD=BD=，∠BOG =∠BOD =60，
∵，即，
∴，
从而P点的路径长为.
故答案为：.
【分析】连接BD，作OG⊥BD于G，根据菱形的性质得∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，推出△ABD和△CBD都为等边三角形，则BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，证△BFD≌△DEA，得∠DBF=∠ADE，进而推出当点E从点A运动到点B时，点P的运动路径长为的长，由圆周角定理得∠BOD =2∠BCD =120，根据垂径定理得：BG=GD=，∠BOG =∠BOD =60，然后根据∠BOG的正弦函数求出OB，接下来结合弧长公式计算即可.
19．（2021九下·南宁开学考）计算：.
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据二次根式的性质、负整数指数幂的运算性质以及有理数的除法法则分别化简，再计算乘法，最后根据有理数的加减法算出答案.
20．（2021九下·南宁开学考）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：
，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先根据平方差公式、完全平方公式对第一个分式的分子、分母进行分解，然后约分化简，接着利用同分母分式减法法则计算括号内分式的减法，接着将分式除法转变为分式乘法，约分化简，最后将a、b的值代入计算即可.
21．（2021九下·南宁开学考）如图，三个顶点的坐标分别为、、.
（1）画出关于y轴的对称图形；
（2）画出将绕原点O按顺时针旋转所得的；
（3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标.(不写解答过程，直接写出结果)
【答案】 解：（1）如图，为所求作的图形；
（2）如图，为所求作的图形；
（3）如图，点P为所求作的点，P点坐标为：.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为点P.
22．（2021九下·南宁开学考）小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取 份答卷，并统计成绩(成绩得分用 表示，单位：分)，收集数据如下：
整理数据：
分析数据：
平均分 中位数 众数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中 的值；
（2）该校有 名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义.
【答案】（1）a=20-3-4-8=5；
将这组数据按大小顺序排列为：
81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，
其中第10个和第11个数据分别是90，92，
所以，这组数据的中位数b= ；
100出现了4次，出现的次数最多，所以，众数c是100；
（2） ，
(人)
（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；
众数：在统计的问卷的成绩中，得 分的人数最多.
【知识点】用样本估计总体；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为人数；（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以1600即可得到结果；（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可.
23．（2021九下·南宁开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.
（1）求证：△ADE≌△BDF.
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，DE＝DF.
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）证明：∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE.
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE.
∴DB＝DE.
∴AB＝EF.
∴平行四边形AFBE是矩形.
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD＝BD，根据对顶角的性质可得∠ADE=∠BDF，结合DE＝DF，可以利用SAS证明 △ADE≌△BDF ；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形易得四边形AFBE是平行四边形，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，由平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，由已知条件可知∠ABE＝∠CBE，推出DB＝DE，然后利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
24．（2021九下·南宁开学考）为响应国家“篮球进校园”的号召，某校购买了50个A型篮球和20个B型篮球共花费5000元，已知购买一个B型篮球比购买一个A型篮球多花40元.
（1）求购买一个A型篮球和一个B型篮球各需多少元；
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“篮球特色学校”，学校计划用不超过4600元的经费再次购买A型篮球和B型篮球共50个，其中B型篮球的数量不少于A型篮球数量的，求A型篮球数量的取值范围；
（3）报价如下表：
型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个
A型 原价购买 打九折
B型 原价购买 打八折
在（2）的条件下，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由.
【答案】（1）解：设A种品牌篮球的单价为x元，B种品牌篮球的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个A种品牌的篮球需要60元，购买一个B种品牌的篮球需要100元；
（2）解：设第购买A种篮球a个，则购买B种篮球（50-a）个，
依题意得：
解得：10≤a≤40.
（3）解：①当10≤a≤20时，30≤50-a≤40
W=60a+100×0.8（50-a）=-20a+4000
∵-20＜0，∴w随a的增大而减小，
当a=10时，w最小=3800，
②当20＜a＜30时，20＜50-a＜30
W=60a+100（50-a）=-40a+5000
∵-40＜0，∴w随a的增大而减小，
当a=29时，w最小=3840
③当30≤a≤40时，10≤50-a≤20
W=60×0.9a+100（50-a）=-46a+5000
∵-46＜0，∴w随a的增大而减小，
当a=30时，w最小=3620
∴购买30只A种篮球，20只B种篮球，总花费w最少，最少费用为3620元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A种品牌篮球的单价为x元，B种品牌篮球的单价为y元，根据：买了50个A型篮球和20个B型篮球共花费5000元可得方程50x+20y=5000，根据：购买一个B型篮球比购买一个A型篮球多花40元可得方程y=x+40，联立求解即可；
（2）设第购买A种篮球a个，则购买B型篮球(50-a)个，根据数量×单价=总价结合经费不超过4600元可列出关于a的不等式，根据：B型篮球的数量不少于A型篮球数量的可得 50-a≥a，联立求解可得a的范围；
（3）①当10≤a≤20时，30≤50-a≤40，则购买A的花费为60a元，购买B的花费为100×0.8(50-a)，相加可得W与a的关系式；②当20＜a＜30时，20＜50-a＜30，则购买A的花费为60a元，购买B的花费100(50-a)，相加可得W与a的关系式；③当30≤a≤40时，10≤50-a≤20，则购买A的花费为60×0.9a元，购买B的花费100(50-a)，相加可得W与a的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.
25．（2021九下·南宁开学考）如图，是的直径，弦于点E，点F是上一点，且.连接，，交于点N.
（1）若，，求的半径；
（2）求证：；
（3）连接并延长，交的延长线于点P，过点D作的切线，交的延长线于点M.求证：.
【答案】（1）解：如图，连接AC，BC，BD，
∵CD⊥AB，AB是直径
∴
∴∠BCD＝∠BAC，且∠BEC＝∠CEA
∴△BCE∽△CAE
∴，即，
∴AE＝9
∴AB＝AE+BE＝10
∴⊙O的半径为5；
（2）证明：∵，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，且DE＝DE，∠BED＝∠NED＝90°
∴△BDE≌△NDE（ASA）
∴∠DBN＝∠DNB，BE＝EN
∵∠DBA＝∠DFA，∠BND＝∠FNA
∴∠FNA＝∠DFA
∴AN＝AF；
（3）证明：如图，连接NC，CO，DO，
∵MD是切线，
∴MD⊥DO，
∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE
∴△MDO∽△DEO
∴，
∴OD2＝OE OM
∵AE＝EN，CD⊥AO
∴∠BNC＝∠CBN，
∴∠CBP＝∠CNO，
∵，
∴∠BOC＝∠BAF
∵CO//AF
∴∠PCO＝∠PFA
∵四边形BCFA是圆内接四边形
∴∠PBC＝∠PFA
∴∠PBC＝∠PFA＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE
∴△CNO∽△PCO
∴，
∴CO2＝PO NO，
∴ON OP＝OE OM.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接AC，BC，BD，由垂径定理可得CE=DE=3，弧BC=弧BD，由圆周角定理可得∠BCD＝∠BAC，证明△BCE∽△CAE，根据相似三角形的性质可得AE，然后根据AB＝AE+BE求出AB，据此可得半径；
（2）由圆周角定理可得∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，证明△BDE≌△NDE，得到∠DBN＝∠DNB，BE＝EN，进而推出∠FNA＝∠DFA，据此证明；
（3）连接NC，CO，DO，根据切线的性质可得MD⊥DO，证明△MDO∽△DEO，得到OD2＝OE OM，推出∠CBP＝∠CNO，根据等弧所对的圆心角相等可得∠BOC＝∠BAF，由平行线的性质可得∠PCO＝∠PFA，根据圆内接四边形的性质可得∠PBC＝∠PFA，进而证明△CNO∽△PCO，得到CO2＝PO NO，据此证明.
26．（2021九下·南宁开学考）如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线.如图1，已知抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点.
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在坐标轴上，点M，N分别是抛物线，上的动点，且点M，N的横坐标相同，记面积为（当点M与点A重合时），的面积为（当点N与点A，B重合时），令，观察图象，当时，写出x的取值范围，并求出S在此范围内的最大值.
【答案】（1），
的解析式：，
（2）解：在上，设
，
若B为直角顶点，则，
即
∴，
解得（不符合题意舍去），
∴；
若A为直角顶点，，
解得（不符合题意舍去），
∴；
若E为直角顶点，则
①或
②
解方程①得或（不符合题意舍去），
方程②中，则方程②无解
∴综上所述，点或；
（3）解：根据函数图象可知当时，，
设，，且，
设的直线解析式为
解得
直线的解析式：，
，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
过M作x轴的平行线交于Q，设交于点P，
则，
，
在上，且的横坐标相等，则，
，
当时，S的最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）由抛物线：可得，
将代入
得，
解得，
∴，
∴；
【分析】（1）将抛物线C1的解析式化为顶点式，据此可得点A的坐标，将点A、D的左边代入y2解析式中可得a、c，进而可得y2的解析式，将其化为顶点式，可得点B的坐标；
（2）设E（a，(a-2)2+3），表示出AB2、BE2、AE2，然后分三种情况利用勾股定理求出a，进而可得点E的坐标；
（3）根据函数图象可知当y1≤y2时，-2≤x≤2，设M（t，t2+t），N（t，t2+t+2），求出直线AF、AB的解析式，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，设AB交MN于点P，则Q（t2+t-，t2+t），表示出QM，PN，利用三角形的面积公式可得S1，S2，进而得到S，然后根据二次函数的性质进行解答.
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