河南省淮滨县第一中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·淮滨开学考）下列是一元二次方程的有（ ）个.
①；②；③；④.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①，是一元二次方程；
②，是一元二次方程；
③，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程；
④，不是整式方程，不是一元二次方程；
综上，是一元二次方程的是①②，共2个，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的定义：含有2个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2021九下·淮滨开学考）对于抛物线，下列判断错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．与x轴有两个交点
C．开口向上 D．与y轴在的交点在x轴下方
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对称轴是直线，此选项错误；
B、 ，抛物线与x轴有两个交点，此选项正确；
C、 ，抛物线开口向上，此选项正确；
D、当x=0时，y=-3，所以抛物线与y轴在的交点在x轴下方，此选项正确.
故答案为：A.
【分析】根据x=可得对称轴，进而判断A；求出△的值，据此判断B；根据二次项系数的正负可判断C；令x=0，求出y的值，据此判断D.
3．（2021九下·淮滨开学考）若关于x的一元二次方程的两个解都是整数，则b的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当b＝ 4时，x2＋4x 12＝（x 2）（x＋6）＝0的根为x＝2或 6，故A选项不符合题意；
当b＝ 2时，x2＋2x 12＝（x＋1）2＝13的根为x＝ 1＋或 1 ，故B选项符合题意；
当b＝ 1时，x2＋x 12＝（x 3）（x＋4）＝0的根为x＝3或 4，故C选项不符合题意；
当b＝11时，x2 11x 12＝（x 12）（x＋1）＝0的根为x＝12或 1，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别将b=-4、-2、-1、11代入原方程中，求出一元二次方程的解，然后根据解为整数即可判断.
4．（2021九下·淮滨开学考）二次函数的对称轴可能在（ ）
A．y轴右侧 B．y轴左侧
C．y轴右侧或y轴左侧 D．y轴上
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数，
∴对称轴为：，
∵，
∴，
∴对称轴在ｙ轴的左侧.
故答案为：B.
【分析】首先根据对称轴直线方程求出抛物线的对称轴，然后根据a>0判断出对称轴的正负，据此解答.
5．（2021九下·淮滨开学考）若直线 （b为实数）与函数的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数学思想；描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令=0
得x=1或x=3
当x＜1或x＞3时，＞0，1＜x＜3时，＜0
∵y==（x-2）2-1
∴当x=2时，y=有最小值-1
得到函数图象如下
∵直线与函数的图象至少有三个公共点，
∴实数b的取值范围是
故答案为：A.
【分析】画出函数y=|x2-4x+3|的图象，然后结合图象就可得到b的范围.
6．（2021九下·淮滨开学考）某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，，且n为整数
企业停产时，利润
令得
解得或
结合得，当或时，企业利润
因n为整数
则企业停产的月份为1月、2月和12月.
故答案为：D.
【分析】由题意可得1≤n≤12，且n为整数，令y≤0，求出n的范围，据此解答.
7．（2021九下·淮滨开学考）若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”或，如，，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为.
故答案为：C.
【分析】由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，然后利用概率公式进行计算.
8．（2021九下·淮滨开学考）如图，⊙O 中弦AB =8，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么⊙O的半径长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．1°
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AE=8，
∴AE=4，
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2
在Rt△AOE由勾股定理得：
即： ，
解得：.
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理得AB=2AE=8，求出AE，设OA=OC=x，则OE=x-2，然后在Rt△AOE中，由勾股定理求解即可.
9．（2021九上·福州期末）已知抛物线 ，抛物线与 轴交于 ， 两点 ，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=x1时，y=1；
当x=x2时，y=1；
又∵m∴函数图象大致如图所示，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据题意画出草图，结合图象解答即可.
10．（2020九上·金寨期末）已知点 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，在第一象限内，y随x的增大而减小，且 ，
∵当 时， ，
∴当 时， ，
故答案为：C．
【分析】比例系数K大于零时，函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据性质即可求解。
11．（2021九下·淮滨开学考）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：.
故答案为：B.
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，根据∠B的正弦函数、∠C的正切函数可得AH、CH，然后利用勾股定理求解即可.
12．（2021九下·淮滨开学考）如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：由题意可知：∠GFB=∠DEC=90°，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BGF=∠C，
∴△BGF∽△DCE，
∴，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE，
∴，
∴GF=3cm.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：∠GFB=∠DEC=90°，根据同角的余角相等得∠BGF=∠C，证明△BGF∽△DCE，然后利用相似三角形的性质进行求解.
二、填空题
13．（2021九下·淮滨开学考）若是二次函数，则a= .
【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=是二次函数，
∴2﹣a≠0， ，
∴a≠2，
∴
故答案为：.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此可得2-a≠0且a2-2=2，求解即可.
14．（2021九下·淮滨开学考）如图，点A、B、C是上的点，，则的度数为 .
【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°.
故答案为：30.
【分析】易得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，然后利用圆周角定理进行求解.
15．（2021九下·淮滨开学考）下列命题：①函数中，函数y随x的增大而减小，②有一个角相等的两个等腰三角形相似，③两个等边三角形相似，④平分弦的直径垂直于弦，⑤相等的圆周角所对的弧相等，⑥关于x的函数的图象是抛物线.其中正确的结论有 (填序号).
【答案】③
【知识点】反比例函数的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①函数中，在每个象限内，函数y随x的增大而减小，故原说法错误；
②当一个等腰三角形的顶角与另一个三角形的底角相等时，两个三角形不相似，故原说法错误；
③因等边三角形的三个角都等于60°，所以两个等边三角形相似，故原说法正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
⑥关于x的函数（a≠0）的图象是抛物线，故原说法错误.
故答案为：③.
【分析】根据反比例函数的性质可判断①；根据相似三角形的判定定理可判断②③；根据垂径定理可判断④；根据弧、圆周角的关系可判断⑤；根据二次函数的图象可判断⑥.
16．（2021九下·淮滨开学考）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（，0），B（0.-3），
∴OA=，OB=3，
∴AB=6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
如图示：
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴
∴
∴
∴或，
∴P点坐标为：
故答案为：.
【分析】易得A（，0），B（0，-3），然后求出OA、OB、AB，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，证明△APD∽△ABO，由相似三角形的性质可得AP，进而求出OP，据此可得点P的坐标.
17．（2021九下·淮滨开学考）如图，在中，，D是斜边的中点，，垂足为E，若，，则的值为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ，D是斜边的中点，，
，
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD=AD=，AB=2，利用勾股定理求出CD、BC、BE，然后根据三角函数的概念进行求解.
三、解答题
18．（2021九下·淮滨开学考）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：x2-4x-1=0，
利用配方法x2-4x+4=1+4，
(x-2)2=5，
x-2=，
x1=2， x2=2.
（2）解：2(x-1)2-16=0，
(x-1)= 4，
(x-1)= 2
x1=1+ 2，x2=1 -2.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程，首先将常数项移至等号右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-2)2=5，进而利用直接开平方法求解即可；
（2）首先将16移至等号的右边，然后给两边同时开方可得(x-1)=±4，据此求解.
19．（2021九下·淮滨开学考） 已知二次函数的图象经过，两点，求b，c的值.
【答案】解：把A(0，3) ，B(-4，-) 分别代入，
得，
解得.
故，c=3.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入求解就可得到b、c的值.
20．（2021九上·福州期末）如图， 是 的直径， 为半圆 上一点，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，连接 ，当 平分 时，求证：直线 是 的切线.
【答案】证明：连接 .
平分 ，
.
，
，
，
，
，
.
点 为半径 的外端点，
直线 是 的切线.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【分析】由AC为角平分线得到 ，再由半径OA=OC，利用等边对等角得到 ，可证 ，由平行线的性质可得出OC与CD垂直，则CD为圆O的切线.
21．（2021九下·淮滨开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）根据图象直接写出不等式的x的取值范围；
（3）求的面积.
【答案】（1）解：在的图象上，
，
反比例函数的解析式是.
又∵在的图象上，
；
（2）或
（3）解：
，在函数的图象上，
，
解得：，
则一次函数的解析式是，
设直线与x轴相交于点C，则C的坐标是.
∴
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：当或时，；
【分析】（1）将点A坐标代入y=中可得k2，据此可得反比例函数的解析式，将B（3，n）代入反比例函数的解析式，就可求出n的值；
（2）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）首先求出直线AB的解析式，求出其与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB=S△AOC-S△BOC进行求解.
22．（2021九下·淮滨开学考） 为了降低输电线电路上的电能消耗，发电站都采用高压输电.已知输出电压与输出电流的乘积等于发电功率P（即），且通常把某发电站在某时段的发电功率看作恒定不变的.
（1）若某水电站的输出功率为，请写出电压U关于电流I的函数表达式，并求出当输出电压时，输出电流I是多少？
（2）若输出电压降低为原来的一半时，由线路损耗电能的计算公式（其中为常数）计算在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的多少倍.
【答案】（1）解：由题可得，即，
将代入函数，即，
解得： .
答：输出的电流I是.
（2）解：当输出电压降低为原来的一半时，由可知，I会变为原来的两倍.
因此，由可知，在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的倍.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由“输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W）”列出函数关系式，然后代入求值；
（2）根据P＝UI得出输出电流I将变为原来的多少倍，然后根据Q＝I2Rt求出相同时段内该路线的电能损耗减少为原来的多少倍．
23．（2020九上·孟村期末）如图，在 中， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上， 交 于点 ．
（1） 的值是 ；
（2）若 是 的中点，求证： ．
【答案】（1）60
（2）证明：由 可得 ，
∵ 绕点 旋转后得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）
绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上，
为等边三角形
即 的值是60，
故答案为： 60；
【分析】(1)利用直角三角形两锐角互余求出∠A，再根据旋转的性质得CA=CD，∠ACD=n°，则可判断△ACD为等边三角形，所以cACD=60°，即可得到n的值；
(2)根据旋转的性质得∠CDE=∠A=60°，再利用平行线的判定和性质可得，由F是直角DCE的中点，进一步∠判断△CDF为等边三角形，进而判断。
24．（2021九下·淮滨开学考） 如图，正方形ABCD的边长为12，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.
（1）当时，如图1，延长AB'，交CD于点M，
①的长为 ；
②求证：.
（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为 ； ；
（3）当时，求的正弦值.
【答案】（1）解：①12
②证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴.
（2）；
（3）解：①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，
由可得：，
∴，即，
∴，
由②可知.
设，则，
则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴.
②当点E在的延长线上时，如图4
由可得：，
∴，即，
∴，
则，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴.
综上所述：当时，的正弦值为或.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）①如图1，由可得：，
∴，即，
∴CF的长为12.
故答案为：12.
（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由AB∥CD可得，∠BAE＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠CFE，
∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，
∴CF＝12，
即CF的长为12，
由折叠可得，BE＝B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）①易证△ABE∽△FCE，然后根据相似三角形的性质就可得到CF；
②由正方形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠F=∠BAF，由折叠可知∠BAF=∠MAF，推出∠F=∠MAF，据此证明；
（2）由折叠可得：∠BAE＝∠CAE，由平行线的性质可得：∠BAE＝∠CFE，推出FC＝AC，易得CF＝12，由折叠可得：BE＝B'E，然后根据CE＝B'E＝BE进行求解；
（3）①当点E在线段BC上时，AB′的延长线交CD于点M，易证△ABE∽△FCE，由相似三角形的性质求出CF，设DM=x，则MC=12-x，AM=FM=16-x，然后在Rt△ADM中，由勾股定理可得x，进而求出AM，然后根据三角函数的概念进行求解；②当点E在BC的延长线上时，同理可证△ABE∽△FCE，利用相似三角形的性质求出CF，进而得到DF，设DM=x，则AM=FM=8+x，然后在Rt△ADM中，由勾股定理可得x，进而求出AM，然后根据三角函数的概念进行求解.
1 / 1河南省淮滨县第一中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·淮滨开学考）下列是一元二次方程的有（ ）个.
①；②；③；④.
A． B． C． D．
2．（2021九下·淮滨开学考）对于抛物线，下列判断错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．与x轴有两个交点
C．开口向上 D．与y轴在的交点在x轴下方
3．（2021九下·淮滨开学考）若关于x的一元二次方程的两个解都是整数，则b的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九下·淮滨开学考）二次函数的对称轴可能在（ ）
A．y轴右侧 B．y轴左侧
C．y轴右侧或y轴左侧 D．y轴上
5．（2021九下·淮滨开学考）若直线 （b为实数）与函数的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九下·淮滨开学考）某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
7．（2021九下·淮滨开学考）若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”或，如，，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九下·淮滨开学考）如图，⊙O 中弦AB =8，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么⊙O的半径长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．1°
9．（2021九上·福州期末）已知抛物线 ，抛物线与 轴交于 ， 两点 ，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·金寨期末）已知点 在反比例函数 的图象上，若 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．（2021九下·淮滨开学考）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
12．（2021九下·淮滨开学考）如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
二、填空题
13．（2021九下·淮滨开学考）若是二次函数，则a= .
14．（2021九下·淮滨开学考）如图，点A、B、C是上的点，，则的度数为 .
15．（2021九下·淮滨开学考）下列命题：①函数中，函数y随x的增大而减小，②有一个角相等的两个等腰三角形相似，③两个等边三角形相似，④平分弦的直径垂直于弦，⑤相等的圆周角所对的弧相等，⑥关于x的函数的图象是抛物线.其中正确的结论有 (填序号).
16．（2021九下·淮滨开学考）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 .
17．（2021九下·淮滨开学考）如图，在中，，D是斜边的中点，，垂足为E，若，，则的值为 .
三、解答题
18．（2021九下·淮滨开学考）解方程
（1）
（2）
19．（2021九下·淮滨开学考） 已知二次函数的图象经过，两点，求b，c的值.
20．（2021九上·福州期末）如图， 是 的直径， 为半圆 上一点，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，连接 ，当 平分 时，求证：直线 是 的切线.
21．（2021九下·淮滨开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的解析式和n的值；
（2）根据图象直接写出不等式的x的取值范围；
（3）求的面积.
22．（2021九下·淮滨开学考） 为了降低输电线电路上的电能消耗，发电站都采用高压输电.已知输出电压与输出电流的乘积等于发电功率P（即），且通常把某发电站在某时段的发电功率看作恒定不变的.
（1）若某水电站的输出功率为，请写出电压U关于电流I的函数表达式，并求出当输出电压时，输出电流I是多少？
（2）若输出电压降低为原来的一半时，由线路损耗电能的计算公式（其中为常数）计算在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的多少倍.
23．（2020九上·孟村期末）如图，在 中， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上， 交 于点 ．
（1） 的值是 ；
（2）若 是 的中点，求证： ．
24．（2021九下·淮滨开学考） 如图，正方形ABCD的边长为12，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.
（1）当时，如图1，延长AB'，交CD于点M，
①的长为 ；
②求证：.
（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为 ； ；
（3）当时，求的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①，是一元二次方程；
②，是一元二次方程；
③，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程；
④，不是整式方程，不是一元二次方程；
综上，是一元二次方程的是①②，共2个，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的定义：含有2个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对称轴是直线，此选项错误；
B、 ，抛物线与x轴有两个交点，此选项正确；
C、 ，抛物线开口向上，此选项正确；
D、当x=0时，y=-3，所以抛物线与y轴在的交点在x轴下方，此选项正确.
故答案为：A.
【分析】根据x=可得对称轴，进而判断A；求出△的值，据此判断B；根据二次项系数的正负可判断C；令x=0，求出y的值，据此判断D.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当b＝ 4时，x2＋4x 12＝（x 2）（x＋6）＝0的根为x＝2或 6，故A选项不符合题意；
当b＝ 2时，x2＋2x 12＝（x＋1）2＝13的根为x＝ 1＋或 1 ，故B选项符合题意；
当b＝ 1时，x2＋x 12＝（x 3）（x＋4）＝0的根为x＝3或 4，故C选项不符合题意；
当b＝11时，x2 11x 12＝（x 12）（x＋1）＝0的根为x＝12或 1，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别将b=-4、-2、-1、11代入原方程中，求出一元二次方程的解，然后根据解为整数即可判断.
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数，
∴对称轴为：，
∵，
∴，
∴对称轴在ｙ轴的左侧.
故答案为：B.
【分析】首先根据对称轴直线方程求出抛物线的对称轴，然后根据a>0判断出对称轴的正负，据此解答.
5．【答案】A
【知识点】数学思想；描点法画函数图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令=0
得x=1或x=3
当x＜1或x＞3时，＞0，1＜x＜3时，＜0
∵y==（x-2）2-1
∴当x=2时，y=有最小值-1
得到函数图象如下
∵直线与函数的图象至少有三个公共点，
∴实数b的取值范围是
故答案为：A.
【分析】画出函数y=|x2-4x+3|的图象，然后结合图象就可得到b的范围.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意，，且n为整数
企业停产时，利润
令得
解得或
结合得，当或时，企业利润
因n为整数
则企业停产的月份为1月、2月和12月.
故答案为：D.
【分析】由题意可得1≤n≤12，且n为整数，令y≤0，求出n的范围，据此解答.
7．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为.
故答案为：C.
【分析】由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，然后利用概率公式进行计算.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AE=8，
∴AE=4，
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2
在Rt△AOE由勾股定理得：
即： ，
解得：.
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理得AB=2AE=8，求出AE，设OA=OC=x，则OE=x-2，然后在Rt△AOE中，由勾股定理求解即可.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=x1时，y=1；
当x=x2时，y=1；
又∵m∴函数图象大致如图所示，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据题意画出草图，结合图象解答即可.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，在第一象限内，y随x的增大而减小，且 ，
∵当 时， ，
∴当 时， ，
故答案为：C．
【分析】比例系数K大于零时，函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据性质即可求解。
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：.
故答案为：B.
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，根据∠B的正弦函数、∠C的正切函数可得AH、CH，然后利用勾股定理求解即可.
12．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：由题意可知：∠GFB=∠DEC=90°，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BGF=∠C，
∴△BGF∽△DCE，
∴，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE，
∴，
∴GF=3cm.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：∠GFB=∠DEC=90°，根据同角的余角相等得∠BGF=∠C，证明△BGF∽△DCE，然后利用相似三角形的性质进行求解.
13．【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=是二次函数，
∴2﹣a≠0， ，
∴a≠2，
∴
故答案为：.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此可得2-a≠0且a2-2=2，求解即可.
14．【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°.
故答案为：30.
【分析】易得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，然后利用圆周角定理进行求解.
15．【答案】③
【知识点】反比例函数的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①函数中，在每个象限内，函数y随x的增大而减小，故原说法错误；
②当一个等腰三角形的顶角与另一个三角形的底角相等时，两个三角形不相似，故原说法错误；
③因等边三角形的三个角都等于60°，所以两个等边三角形相似，故原说法正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
⑥关于x的函数（a≠0）的图象是抛物线，故原说法错误.
故答案为：③.
【分析】根据反比例函数的性质可判断①；根据相似三角形的判定定理可判断②③；根据垂径定理可判断④；根据弧、圆周角的关系可判断⑤；根据二次函数的图象可判断⑥.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（，0），B（0.-3），
∴OA=，OB=3，
∴AB=6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
如图示：
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴
∴
∴
∴或，
∴P点坐标为：
故答案为：.
【分析】易得A（，0），B（0，-3），然后求出OA、OB、AB，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，证明△APD∽△ABO，由相似三角形的性质可得AP，进而求出OP，据此可得点P的坐标.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ，D是斜边的中点，，
，
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD=AD=，AB=2，利用勾股定理求出CD、BC、BE，然后根据三角函数的概念进行求解.
18．【答案】（1）解：x2-4x-1=0，
利用配方法x2-4x+4=1+4，
(x-2)2=5，
x-2=，
x1=2， x2=2.
（2）解：2(x-1)2-16=0，
(x-1)= 4，
(x-1)= 2
x1=1+ 2，x2=1 -2.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程，首先将常数项移至等号右边，然后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-2)2=5，进而利用直接开平方法求解即可；
（2）首先将16移至等号的右边，然后给两边同时开方可得(x-1)=±4，据此求解.
19．【答案】解：把A(0，3) ，B(-4，-) 分别代入，
得，
解得.
故，c=3.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入求解就可得到b、c的值.
20．【答案】证明：连接 .
平分 ，
.
，
，
，
，
，
.
点 为半径 的外端点，
直线 是 的切线.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【分析】由AC为角平分线得到 ，再由半径OA=OC，利用等边对等角得到 ，可证 ，由平行线的性质可得出OC与CD垂直，则CD为圆O的切线.
21．【答案】（1）解：在的图象上，
，
反比例函数的解析式是.
又∵在的图象上，
；
（2）或
（3）解：
，在函数的图象上，
，
解得：，
则一次函数的解析式是，
设直线与x轴相交于点C，则C的坐标是.
∴
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：当或时，；
【分析】（1）将点A坐标代入y=中可得k2，据此可得反比例函数的解析式，将B（3，n）代入反比例函数的解析式，就可求出n的值；
（2）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）首先求出直线AB的解析式，求出其与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB=S△AOC-S△BOC进行求解.
22．【答案】（1）解：由题可得，即，
将代入函数，即，
解得： .
答：输出的电流I是.
（2）解：当输出电压降低为原来的一半时，由可知，I会变为原来的两倍.
因此，由可知，在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的倍.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由“输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W）”列出函数关系式，然后代入求值；
（2）根据P＝UI得出输出电流I将变为原来的多少倍，然后根据Q＝I2Rt求出相同时段内该路线的电能损耗减少为原来的多少倍．
23．【答案】（1）60
（2）证明：由 可得 ，
∵ 绕点 旋转后得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）
绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在边 上，
为等边三角形
即 的值是60，
故答案为： 60；
【分析】(1)利用直角三角形两锐角互余求出∠A，再根据旋转的性质得CA=CD，∠ACD=n°，则可判断△ACD为等边三角形，所以cACD=60°，即可得到n的值；
(2)根据旋转的性质得∠CDE=∠A=60°，再利用平行线的判定和性质可得，由F是直角DCE的中点，进一步∠判断△CDF为等边三角形，进而判断。
24．【答案】（1）解：①12
②证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴.
（2）；
（3）解：①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，
由可得：，
∴，即，
∴，
由②可知.
设，则，
则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴.
②当点E在的延长线上时，如图4
由可得：，
∴，即，
∴，
则，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴.
综上所述：当时，的正弦值为或.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）①如图1，由可得：，
∴，即，
∴CF的长为12.
故答案为：12.
（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由AB∥CD可得，∠BAE＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠CFE，
∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，
∴CF＝12，
即CF的长为12，
由折叠可得，BE＝B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，
∴；
故答案为：；；
【分析】（1）①易证△ABE∽△FCE，然后根据相似三角形的性质就可得到CF；
②由正方形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠F=∠BAF，由折叠可知∠BAF=∠MAF，推出∠F=∠MAF，据此证明；
（2）由折叠可得：∠BAE＝∠CAE，由平行线的性质可得：∠BAE＝∠CFE，推出FC＝AC，易得CF＝12，由折叠可得：BE＝B'E，然后根据CE＝B'E＝BE进行求解；
（3）①当点E在线段BC上时，AB′的延长线交CD于点M，易证△ABE∽△FCE，由相似三角形的性质求出CF，设DM=x，则MC=12-x，AM=FM=16-x，然后在Rt△ADM中，由勾股定理可得x，进而求出AM，然后根据三角函数的概念进行求解；②当点E在BC的延长线上时，同理可证△ABE∽△FCE，利用相似三角形的性质求出CF，进而得到DF，设DM=x，则AM=FM=8+x，然后在Rt△ADM中，由勾股定理可得x，进而求出AM，然后根据三角函数的概念进行求解.
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