【精品解析】四川省成都实验外国语学校2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷

四川省成都实验外国语学校2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·成都开学考）计算2sin60°的值为（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2021·郫都模拟）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·溧阳期末）在四张完全相同的卡片上，分別画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
4．（2021·徐汇模拟）已知海面上一艘货轮 在灯塔 的北偏东 方向，海监船 在灯塔 的正东方向 海里处，此时海监船 发现货轮 在它的正北方向，那么海监船 与货轮 的距离是（　　）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
5．（2021九下·成都开学考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020九上·金乡期末）若函数 的图象过点 ，则此函数图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
7．（2021九下·成都开学考）如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021九下·成都开学考）如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（　　）
A． B．2 C． D．3
9．（2021九下·成都开学考）如图，点E为矩形的边上的点，于点F，且，下列结论不正确的是（　　）
A．平分 B．为等腰三角形
C． D．
10．（2021九下·成都开学考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac0；②2a+b＝0；③a﹣b+c0；④b24ac.其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020九上·岚山期末）计算 =　 　．
12．（2021九下·成都开学考）已知点在反比例函数的图象上，则　 　.（填“>”或“<”）
13．（2021九上·会宁期末）张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是　 　米.
14．（2021九下·成都开学考）设a，b是方程的两个实数根，则的值为　 　.
15．（2021九上·杭州月考）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程 有实数根，又能使以x为自变量的二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小的概率为　 　.
16．（2021九下·成都开学考）如图，点A为双曲线在第二象限上的动点，AO的延长线与双曲线的另一个交点为B，以AB为边的矩形ABCD满足AB：BC=3：2，对角线AC，BD交于点P，设P的坐标为（m，n），则m、n满足的关系式为　 　.
17．（2021九下·成都开学考）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为　 　.
18．（2021·姑苏模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值　 　.
三、解答题
19．（2021九下·成都开学考）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整.
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm.
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理的依据是：　 　.
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝　 　cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝　 　cm.
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
　 　，解得r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.
20．（2021九下·成都开学考）
（1）计算：
（2）解方程：
21．（2021九下·成都开学考）如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.
（1）证明：四边形为菱形；
（2）若，，求菱形的高.
22．（2021九下·成都开学考）如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前进10米，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角为60°，已知测量仪AE的高度为1米，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF的高度（结果保留根号）.
23．（2021九下·成都开学考）2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有　 　人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率.
24．（2021九下·成都开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（2021九下·成都开学考）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.
（1）如图1，①求证：点P为的中点；
②求sin∠BAC的值；
（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；
（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA AE的最大值.
26．（2021九上·江都期末）春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为 元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于 .分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价 （元/件）
每天销售量 （件）
（1）直接写出 与 的函数关系式：　 　；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于 元，请预测今年销售单价的范围是多少？
（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠 元（ ）给“爱心基金”.若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则 的取值范围是多少？
27．（2021九下·成都开学考）如图，已知点P在矩形外，，，点E，F分别在，上运动，且，连接.
（1）求证：；
（2）若是等腰直角三角形，求的值；
（3）试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论.
28．（2021九上·溧阳期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ， y与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C.
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出 CP+BP的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：2sin60°=.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin60°=，据此计算.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵从左边看得到的图形是左视图，
∴该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形，
故答案为：D.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是中心对称图形的有平行四边形、矩形、圆，
是轴对称图形的有等腰三角形、矩形、圆，
∴既是轴对称又是中心对称图形的有矩形、圆，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是 ，
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形和中心对称图形的有矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵△=（-2）2-4×1×0=4＞0，
∴一元二次方程x2-2x=0有两个不相等的实数根；
B、∵△=42-4×1×（-1）=20＞0，
∴一元二次方程x2+4x-1=0有两个不相等的实数根；
C、∵△=（-4）2-4×2×3=-8＜0，
∴一元二次方程没有实数根；
D、原方程可变形为，
∵△=（-5）2-4×3×（-2）=49＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；据此首先求出判别式b2-4ac的值，然后根据其结果的正负可确定方程根的情况.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵函数 的图象过点
∴
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限
故答案为：D
【分析】将点函数求出k的值，再结合函数图象与系数的关系即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵CD为直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠BDC=20°，
∴∠C=90°-∠BDC=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°﹣∠C=180°﹣70°=110°.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠DBC=90°，则∠C=90°-∠BDC=70°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠C=180°，据此求解.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB=10，
过D作DF//BC，
∵DF//BC，
∴∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBF=∠CBD，
∴∠FDB=∠DBF，
∴DF=BF，
同理可证AE=DE，∠CAB=∠DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴∠EDF=∠C=90°，，即，
∴设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理EF=5x，
∵AE+EF+BF=AB=10，
∴3x+4x+5x=10，解得3x=，即DE=.
故答案为：A.
【分析】首先由勾股定理求出AB，过D作DF//BC，由平行线的性质得∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD，由角平分线的概念得∠DBF=∠CBD，推出DF=BF，同理证AE=DE，∠CAB=∠DEF，证△DEF∽△CAB，设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理得EF=5x，然后根据AE+EF+BF=AB=10求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠C=90°，AB=CD
∵于点F，且
∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD
在Rt△DEF和Rt△DEC中
∴Rt△DEF≌Rt△DEC
∴∠FED=∠CED，即DE平分∠AEC，故A选项不符合题意；
∵Rt△DEF≌Rt△DEC
∴∠FDE=∠CDE
又∵矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE=∠CED
∴∠FED=∠ADE
∴AD=AE，即△ADE为等腰三角形，故B选项不符合题意；
∵Rt△DEF≌Rt△DEC
∴EF=EC
在矩形ABCD中，AD=BC，又∵AD=AE
∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF，故D选项不符合题意；
由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，无法证得AF=DF，故无法证得AB=AF，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD，由已知条件可得∠DFE=∠C=90°，DF=CD，证明Rt△DEF≌Rt△DEC，据此判断A；由全等三角形的性质可得∠FDE=∠CDE，根据矩形以及平行线的性质可得∠ADE=∠CED，推出∠FED=∠ADE，则AD=AE，据此判断B；由全等三角形的性质可得EF=EC，由矩形的性质可得AD=BC，结合AD=AE以及线段的和差关系可判断D；由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，无法证得AF=DF，故无法证得AB=AF，据此判断C.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，
∴②正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，
∴ac<0，
∴①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴④正确；
∵抛物线对称轴为x=，B(3，0)，
∴A(-1，0)，
把A点坐标代入抛物线得：a-b+c=0，
∴③错误；
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在y轴的正半轴，据此判断出a、b、c的正负，进而判断①②；根据抛物线图象与x轴有两个交点可判断④；根据对称性可得A点的坐标，代入抛物线解析式中可判断③.
11．【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可。
12．【答案】>
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象在二，四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
而＜＜
＜
故答案为：＞.
【分析】由题意可得：反比例函数的图象位于二，四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此进行比较.
13．【答案】1.9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设李四的影长是x米，
根据题意得 ，
解得x=1.9.
答：李四的影长是1.9米.
故答案为：1.9.
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻，同一地点，同一平面内影长与物体的高度成正比得到 ，然后解方程即可.
14．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：a、b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：-1.
【分析】根据方程根的概念可得a2+a=5，由根与系数的关系可得a+b=-1，然后代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 有实数根，
，
∴ ，
，
又 ，
对称轴为： ，
时，y随x增大而减小，
，
综上 ，
可取0，2，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象的性质列出关于n的不等式，两种联立求出n的取值范围，再找出符合条件的整数解，然后根据概率公式进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OP，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，
∴∠AMO=∠PNO=90°，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠ABC=90°， AP=PC，
∵OA=OB （反比例函数的对称性），
∴OP//BC ， BC=2OP，
∴∠AOP=∠ABC=90°，AO：OP=AB：BC=3：2，∠AOM+∠PON=90°，
∵∠AMO =90°，
∴∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO =∠PON，
∴△AOM∽△OPN ，
∵AO：OP=3：2，
∴
∵点A为双曲线在第二象限上的动点，设点A的坐标为，，
∴，
∵P的坐标为（m，n），
∴，
即，
故答案为：.
【分析】连接OP，分别过A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，由矩形性质得：∠ABC=90°， AP=PC，根据反比例函数图象的对称性可得OA=OB，推出OP//BC ， BC=2OP，证明△AOM∽△OPN ，由相似三角形的性质可得设A（a，），则S△AOM=1，S△OPN=，根据三角形的面积公式可得mn=，据此可得mn的值.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BE，BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠CEB=90°，
由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，
∴EF2=12+（4-EF）2，解得，，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接BE，BD，由菱形的性质可得AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，推出△BCD是等边三角形，则DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，求出BE，由平行线的性质可得∠ABE=∠CEB=90°，由折叠的性质可得AF=EF，然后在Rt△BEF中，由勾股定理求出EF，进而得到BF、AF，据此求解.
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，
，且 ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在 的射线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
， ，
，
，
，
，
点在 的延长线上，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ， ，
，
的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，易证△AED≌△GFE，得到FG=AE，作点C关于BF的对称点C′，则AE=BG=FG，得到∠FBG=45°，∠CBF=45°，根据两点之间，线段最短的性质可得当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，在Rt△ADC′中，应用勾股定理求出DC′，据此解答.
19．【答案】垂直于弦的直径平分弦；45；；
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm.
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦.
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；
用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm.
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得r=75.
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r-15），452+（r-15）2.
【分析】在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm，作弦AB的垂线OC，D为垂足，由垂径定理可得D是AB的中点，易得OD=(r-15)cm，然后在Rt△OAD中，由勾股定理就可求出r.
20．【答案】（1）解：原式=
=4；
（2）解：，
，
，
即.
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及有理数的乘方法则可得原式=1-2×+3+1，然后计算乘法，再计算加减法；
（2）根据一元二次方程可得a=2，b=-5，c=-3，然后求出判别式的值，接下来借助求根公式进行计算.
21．【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由已知条件可得四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB=AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，易得△BCD是等边三角形，则∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，根据平行线的性质可得∠DCE=∠BDC=60°，则∠CDF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CF=3，然后在Rt△CDF中，应用勾股定理求解即可.
22．【答案】解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠CAB，
∴BA=BC=10，
在Rt△CBD中，sin∠CBD=sin60°=，
∴，
解得：CD=5，
∴CF=CD+DF=CD+AE=5+1.
答：建筑物CF的高度为（5+1）m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由外角的性质可得∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，则BA=BC=10，利用∠CBD的正弦函数可得CD，然后根据CF=CD+DF=CD+AE进行计算.
23．【答案】（1）100；72°
（2）解：补全条形统计图如图所示：
（3）解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，
∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）25÷25%=100（名），即本次调查人数有100人，
“在线答疑”的人数为100-40-25-15=20（名），在扇形图中的圆心角度数为360°× =72°；
故答案为：100，72°；
【分析】（1）利用在线阅读的人数除以所占的比例可得总人数，进而根据各组人数之和等于总人数求出在线答疑的人数，利用在线答疑的人数除以总人数，然后乘以360°可得在线答疑所在扇形圆心角的度数；
（2）根据在线答疑的人数即可补全条形统计图；
（3）此题是抽取放回类型，四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画出树状图，然后找出总情况数以及甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的情况数，最后利用概率公式计算即可.
24．【答案】（1）解：把代入反比例函数，得
反比例函数的表达式为.
点在图象上，，即
把，两点代入，
解得，
所以一次函数的表达式为.
（2）解：由(1)得一次函数的表达式为
当时，，，即.
当时，，点坐标为，即，
.
，.
设P点坐标为，由题可以，点P在点D左侧，则，
由可得：
①当时，，，
解得，故点P坐标为；
②当时，，，
解得，即点P的坐标为.
因此，点P的坐标为或时，与相似.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1） 把B（8，1）代入y2=中可得k，据此可得反比例函数的表达式，将A（a，4）代入反比例函数解析式可求出a，据此可得点A的坐标，然后将A、B的坐标代入y1=mx+n中求出m、n，进而可得一次函数的表达式；
（2）易得C（0，5），D（10，0），则OC=5，OD=10，CD=，设P（b，0），然后分①△COD∽△APD，②△COD∽△PAD，结合相似三角形对应边成比例可求出b，进而可得点P的坐标.
25．【答案】（1）解：①如图1， 平分
四边形为的内接四边形，
点P为的中点；
②如图2，过P作PG⊥BC于G，交⊙O于H，连接OB，
过圆心，
∴PH是直径，
∵
∴，
Rt△BOG中，∵OB=5，
（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，
由（1）知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5，
∴
∴PG=4+5=9，
∴
设∠APC=x，
∵点A为的中点，
∴
∴∠ABC=∠ABP=x，
∵，
∴，
△中，∠PCB=∠CPE+∠E，
∴，
∴
（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，
四边形为的内接四边形，
∠ACE=∠P，∠CAE=∠PAF=∠PAB，
∴△ACE∽△APB，
∴
∴，
结合（1）得：
∴
∴，
∴
∵△ABC为非锐角三角形，
∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，△ABC的面积最大，
此时为的直径，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴，
此时
即的最大值是
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①由角平分线的概念得∠PAF=∠PAB，由圆内接四边形的性质得∠PBC+∠PAC=180°，由邻补角的性质可得∠PAF+∠PAC=180°，推出∠PBC=∠PAF，则∠PBC=∠PAB，据此证明；
②过P作PG⊥BC于G，交⊙O于H，连接OB，由弧、弦关系得PB=PC，由等腰三角形性质得BG=CG，∠BPC=2∠BPG，由圆周角定理可得∠BPC=∠BAC，∠BOG=2∠BPG=∠BPC，推出∠BOG=∠BAC，易得BG=3，然后根据正弦函数的概念进行求解；
（2）过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5， 由勾股定理得OG、PC，设∠APC=x， 则∠ABC=∠ABP=x， ∠PCB=∠PBC=2x，由外角得∠PCB=∠CPE+∠E， 据此求解；
（3）过点C作CQ⊥AB于Q，由圆内接四边形的性质可得 ∠ACE=∠P，∠CAE=∠PAF=∠PAB，证明△ACE∽△APB， 根据相似三角形的性质可得PA·AE=AC·AB，根据（1）②的结论可得CQ，由三角形的面积公式可得PA·AE=S△ABC，当∠ACB=90°时，△ABC的面积最大，由勾股定理求出AC，据此求解.
26．【答案】（1）
（2）设用 （元）表示每天销售的利润，则 ，
，
，
开口方向向下，对称轴是直线 ，
当 时， 有最大值，为 ，
答：销售单价为 元时，销售利润最大，最大利润为 元.
（3）当 时， ，解得， ， ，
由二次函数的图象可知，当 时， ，
又 ，
；
（4）设用 表示扣除捐款后的日利润，
随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大
在 范围内， 随 的增大而增大
抛物线开口向下，对称轴是 ，
，解得： ，
，
.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
把x＝40、y＝300和x＝50、y＝250代入，
得： ，解得 ，
∴y关于x的函数解析式为 ，
故答案是： ；
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，把x＝40、y＝300和x＝50、y＝250代入，求出k、b的值即可得；
（2）设销售利润为w元，根据“总利润＝单价利润×销售量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）把 ，代入W ，结合二次函数图象，求出x的范围，进而即可求解；
（4）设用 表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，结合 随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大，在 范围内， 随 的增大而增大，进而即可求解.
27．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
.
，，
.
.
.
，，
.
.
.
（2）解：，
.
是等腰直角三角形，，
可分为两种情况讨论：
①当，时，则.
.
，.
，
.
②当，时，则.
.
，.
，
.
综上所述，的值为或.
（3）解：线段，，之间满足的等量关系是.
延长到G，使得，连接，，
，
.
，
.
在△PBG和△PAE中
，
.
，，.
，
.
即.
在△PGF和△PEF中
，
.
.
，
.
由勾股定理得，.
.
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由矩形性质得∠BAD=∠ABC=90°，由等腰直角三角形的性质得∠PAB=∠PBA=45°，则∠PAE=∠FBP=135°，由内角和定理可得∠APE+∠AEP=45°，由角的和差关系可得∠APE+∠BPF=45°，推出∠AEP=∠BPF，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①当∠PEF=90°，PE=EF时，PF=PE，由相似三角形的性质可得AE=BP，BF=AP，然后结合AP=BP进行求解；②当∠PFE=90°，PF=EF时，PE=PF，由相似三角形的性质可得AE=BP，BF=AP，然后结合AP=BP进行求解；
（3）延长AB到G，使BG=AE，连接PG、FG，易得∠PBG=∠PAE，证明△PBG≌△PAE，得到BG=AE，PG=PE，∠BPG=∠APE，进而证明△PGF≌△PEF，得到GF=EF，然后在Rt△BFG中，应用勾股定理解答即可.
28．【答案】（1）将y=0代入 得， =0，
解得x1=-2，x2=8，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）；
将x=0代入 得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）；
（2）如图，
①∵∠ABC=∠BCD1
∴AB//CD1
∴点C与点D1关于抛物线对称轴对称，
由A，B两点坐标可知抛物线的对称轴为
∵C（0，-4）
∴D1（6，-4）
②当∠ABC=∠BCD2时，CD2与x轴交于E，则有CE=BE，
设BE=CE=x，则OE=8-x
在Rt△OCE中，
∴ ，解得，x=5
∴OE=8-5=3
∴E(3，0)
设CD2的解析式为y=kx+b
把C(0，-4)，E(3，0)代入得
解得，
∴CD2的解析式为
联立得 ，
解得 ，
∴
（3）在OC上截取OM，使OM= OP=1，
∵∠ ， ，
∴△ ，
∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， ，最短，
根据勾股定理，最小值为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）通过解方程 =0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；
（2）根据题意可得两种情况：①AB//CD，点C与点D关于抛物线对称轴对称，由点C坐标可得点D坐标；②AB与CD不平行时，求出CD的解析式，联立方程组求解即可；
（3）证明△ 得 ， ，根据 三点共线即可得到结论.
1 / 1四川省成都实验外国语学校2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·成都开学考）计算2sin60°的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：2sin60°=.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin60°=，据此计算.
2．（2021·郫都模拟）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵从左边看得到的图形是左视图，
∴该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形，
故答案为：D.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，即可得到答案.
3．（2021九上·溧阳期末）在四张完全相同的卡片上，分別画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是中心对称图形的有平行四边形、矩形、圆，
是轴对称图形的有等腰三角形、矩形、圆，
∴既是轴对称又是中心对称图形的有矩形、圆，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是 ，
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形和中心对称图形的有矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案.
4．（2021·徐汇模拟）已知海面上一艘货轮 在灯塔 的北偏东 方向，海监船 在灯塔 的正东方向 海里处，此时海监船 发现货轮 在它的正北方向，那么海监船 与货轮 的距离是（　　）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．
5．（2021九下·成都开学考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵△=（-2）2-4×1×0=4＞0，
∴一元二次方程x2-2x=0有两个不相等的实数根；
B、∵△=42-4×1×（-1）=20＞0，
∴一元二次方程x2+4x-1=0有两个不相等的实数根；
C、∵△=（-4）2-4×2×3=-8＜0，
∴一元二次方程没有实数根；
D、原方程可变形为，
∵△=（-5）2-4×3×（-2）=49＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；据此首先求出判别式b2-4ac的值，然后根据其结果的正负可确定方程根的情况.
6．（2020九上·金乡期末）若函数 的图象过点 ，则此函数图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵函数 的图象过点
∴
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限
故答案为：D
【分析】将点函数求出k的值，再结合函数图象与系数的关系即可求出答案。
7．（2021九下·成都开学考）如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵CD为直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠BDC=20°，
∴∠C=90°-∠BDC=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°﹣∠C=180°﹣70°=110°.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠DBC=90°，则∠C=90°-∠BDC=70°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠C=180°，据此求解.
8．（2021九下·成都开学考）如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DEAC交AB于点E，则DE为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB=10，
过D作DF//BC，
∵DF//BC，
∴∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBF=∠CBD，
∴∠FDB=∠DBF，
∴DF=BF，
同理可证AE=DE，∠CAB=∠DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴∠EDF=∠C=90°，，即，
∴设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理EF=5x，
∵AE+EF+BF=AB=10，
∴3x+4x+5x=10，解得3x=，即DE=.
故答案为：A.
【分析】首先由勾股定理求出AB，过D作DF//BC，由平行线的性质得∠DFA=∠ABC，∠FDB=∠CBD，由角平分线的概念得∠DBF=∠CBD，推出DF=BF，同理证AE=DE，∠CAB=∠DEF，证△DEF∽△CAB，设AE=DE=3x，则BF=DF=4x，根据勾股定理得EF=5x，然后根据AE+EF+BF=AB=10求解即可.
9．（2021九下·成都开学考）如图，点E为矩形的边上的点，于点F，且，下列结论不正确的是（　　）
A．平分 B．为等腰三角形
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∠C=90°，AB=CD
∵于点F，且
∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD
在Rt△DEF和Rt△DEC中
∴Rt△DEF≌Rt△DEC
∴∠FED=∠CED，即DE平分∠AEC，故A选项不符合题意；
∵Rt△DEF≌Rt△DEC
∴∠FDE=∠CDE
又∵矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE=∠CED
∴∠FED=∠ADE
∴AD=AE，即△ADE为等腰三角形，故B选项不符合题意；
∵Rt△DEF≌Rt△DEC
∴EF=EC
在矩形ABCD中，AD=BC，又∵AD=AE
∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF，故D选项不符合题意；
由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，无法证得AF=DF，故无法证得AB=AF，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD，由已知条件可得∠DFE=∠C=90°，DF=CD，证明Rt△DEF≌Rt△DEC，据此判断A；由全等三角形的性质可得∠FDE=∠CDE，根据矩形以及平行线的性质可得∠ADE=∠CED，推出∠FED=∠ADE，则AD=AE，据此判断B；由全等三角形的性质可得EF=EC，由矩形的性质可得AD=BC，结合AD=AE以及线段的和差关系可判断D；由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，无法证得AF=DF，故无法证得AB=AF，据此判断C.
10．（2021九下·成都开学考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac0；②2a+b＝0；③a﹣b+c0；④b24ac.其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，
∴②正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，
∴ac<0，
∴①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴④正确；
∵抛物线对称轴为x=，B(3，0)，
∴A(-1，0)，
把A点坐标代入抛物线得：a-b+c=0，
∴③错误；
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在y轴的正半轴，据此判断出a、b、c的正负，进而判断①②；根据抛物线图象与x轴有两个交点可判断④；根据对称性可得A点的坐标，代入抛物线解析式中可判断③.
二、填空题
11．（2020九上·岚山期末）计算 =　 　．
【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可。
12．（2021九下·成都开学考）已知点在反比例函数的图象上，则　 　.（填“>”或“<”）
【答案】>
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象在二，四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
而＜＜
＜
故答案为：＞.
【分析】由题意可得：反比例函数的图象位于二，四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此进行比较.
13．（2021九上·会宁期末）张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是　 　米.
【答案】1.9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设李四的影长是x米，
根据题意得 ，
解得x=1.9.
答：李四的影长是1.9米.
故答案为：1.9.
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻，同一地点，同一平面内影长与物体的高度成正比得到 ，然后解方程即可.
14．（2021九下·成都开学考）设a，b是方程的两个实数根，则的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：a、b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：-1.
【分析】根据方程根的概念可得a2+a=5，由根与系数的关系可得a+b=-1，然后代入计算即可.
15．（2021九上·杭州月考）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程 有实数根，又能使以x为自变量的二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小的概率为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 有实数根，
，
∴ ，
，
又 ，
对称轴为： ，
时，y随x增大而减小，
，
综上 ，
可取0，2，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象的性质列出关于n的不等式，两种联立求出n的取值范围，再找出符合条件的整数解，然后根据概率公式进行计算即可.
16．（2021九下·成都开学考）如图，点A为双曲线在第二象限上的动点，AO的延长线与双曲线的另一个交点为B，以AB为边的矩形ABCD满足AB：BC=3：2，对角线AC，BD交于点P，设P的坐标为（m，n），则m、n满足的关系式为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OP，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，
∴∠AMO=∠PNO=90°，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠ABC=90°， AP=PC，
∵OA=OB （反比例函数的对称性），
∴OP//BC ， BC=2OP，
∴∠AOP=∠ABC=90°，AO：OP=AB：BC=3：2，∠AOM+∠PON=90°，
∵∠AMO =90°，
∴∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO =∠PON，
∴△AOM∽△OPN ，
∵AO：OP=3：2，
∴
∵点A为双曲线在第二象限上的动点，设点A的坐标为，，
∴，
∵P的坐标为（m，n），
∴，
即，
故答案为：.
【分析】连接OP，分别过A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，由矩形性质得：∠ABC=90°， AP=PC，根据反比例函数图象的对称性可得OA=OB，推出OP//BC ， BC=2OP，证明△AOM∽△OPN ，由相似三角形的性质可得设A（a，），则S△AOM=1，S△OPN=，根据三角形的面积公式可得mn=，据此可得mn的值.
17．（2021九下·成都开学考）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BE，BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠CEB=90°，
由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，
∴EF2=12+（4-EF）2，解得，，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接BE，BD，由菱形的性质可得AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，推出△BCD是等边三角形，则DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，求出BE，由平行线的性质可得∠ABE=∠CEB=90°，由折叠的性质可得AF=EF，然后在Rt△BEF中，由勾股定理求出EF，进而得到BF、AF，据此求解.
18．（2021·姑苏模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，
，且 ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在 的射线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
， ，
，
，
，
，
点在 的延长线上，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ， ，
，
的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，易证△AED≌△GFE，得到FG=AE，作点C关于BF的对称点C′，则AE=BG=FG，得到∠FBG=45°，∠CBF=45°，根据两点之间，线段最短的性质可得当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，在Rt△ADC′中，应用勾股定理求出DC′，据此解答.
三、解答题
19．（2021九下·成都开学考）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整.
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm.
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理的依据是：　 　.
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝　 　cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝　 　cm.
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
　 　，解得r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.
【答案】垂直于弦的直径平分弦；45；；
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm.
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦.
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；
用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm.
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得r=75.
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮.
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r-15），452+（r-15）2.
【分析】在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm，作弦AB的垂线OC，D为垂足，由垂径定理可得D是AB的中点，易得OD=(r-15)cm，然后在Rt△OAD中，由勾股定理就可求出r.
20．（2021九下·成都开学考）
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式=
=4；
（2）解：，
，
，
即.
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及有理数的乘方法则可得原式=1-2×+3+1，然后计算乘法，再计算加减法；
（2）根据一元二次方程可得a=2，b=-5，c=-3，然后求出判别式的值，接下来借助求根公式进行计算.
21．（2021九下·成都开学考）如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.
（1）证明：四边形为菱形；
（2）若，，求菱形的高.
【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由已知条件可得四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB=AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，易得△BCD是等边三角形，则∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，根据平行线的性质可得∠DCE=∠BDC=60°，则∠CDF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CF=3，然后在Rt△CDF中，应用勾股定理求解即可.
22．（2021九下·成都开学考）如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前进10米，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角为60°，已知测量仪AE的高度为1米，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF的高度（结果保留根号）.
【答案】解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠CAB，
∴BA=BC=10，
在Rt△CBD中，sin∠CBD=sin60°=，
∴，
解得：CD=5，
∴CF=CD+DF=CD+AE=5+1.
答：建筑物CF的高度为（5+1）m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由外角的性质可得∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，则BA=BC=10，利用∠CBD的正弦函数可得CD，然后根据CF=CD+DF=CD+AE进行计算.
23．（2021九下·成都开学考）2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有　 　人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率.
【答案】（1）100；72°
（2）解：补全条形统计图如图所示：
（3）解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，
∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）25÷25%=100（名），即本次调查人数有100人，
“在线答疑”的人数为100-40-25-15=20（名），在扇形图中的圆心角度数为360°× =72°；
故答案为：100，72°；
【分析】（1）利用在线阅读的人数除以所占的比例可得总人数，进而根据各组人数之和等于总人数求出在线答疑的人数，利用在线答疑的人数除以总人数，然后乘以360°可得在线答疑所在扇形圆心角的度数；
（2）根据在线答疑的人数即可补全条形统计图；
（3）此题是抽取放回类型，四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画出树状图，然后找出总情况数以及甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的情况数，最后利用概率公式计算即可.
24．（2021九下·成都开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把代入反比例函数，得
反比例函数的表达式为.
点在图象上，，即
把，两点代入，
解得，
所以一次函数的表达式为.
（2）解：由(1)得一次函数的表达式为
当时，，，即.
当时，，点坐标为，即，
.
，.
设P点坐标为，由题可以，点P在点D左侧，则，
由可得：
①当时，，，
解得，故点P坐标为；
②当时，，，
解得，即点P的坐标为.
因此，点P的坐标为或时，与相似.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1） 把B（8，1）代入y2=中可得k，据此可得反比例函数的表达式，将A（a，4）代入反比例函数解析式可求出a，据此可得点A的坐标，然后将A、B的坐标代入y1=mx+n中求出m、n，进而可得一次函数的表达式；
（2）易得C（0，5），D（10，0），则OC=5，OD=10，CD=，设P（b，0），然后分①△COD∽△APD，②△COD∽△PAD，结合相似三角形对应边成比例可求出b，进而可得点P的坐标.
25．（2021九下·成都开学考）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.
（1）如图1，①求证：点P为的中点；
②求sin∠BAC的值；
（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；
（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA AE的最大值.
【答案】（1）解：①如图1， 平分
四边形为的内接四边形，
点P为的中点；
②如图2，过P作PG⊥BC于G，交⊙O于H，连接OB，
过圆心，
∴PH是直径，
∵
∴，
Rt△BOG中，∵OB=5，
（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，
由（1）知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5，
∴
∴PG=4+5=9，
∴
设∠APC=x，
∵点A为的中点，
∴
∴∠ABC=∠ABP=x，
∵，
∴，
△中，∠PCB=∠CPE+∠E，
∴，
∴
（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，
四边形为的内接四边形，
∠ACE=∠P，∠CAE=∠PAF=∠PAB，
∴△ACE∽△APB，
∴
∴，
结合（1）得：
∴
∴，
∴
∵△ABC为非锐角三角形，
∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，△ABC的面积最大，
此时为的直径，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴，
此时
即的最大值是
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①由角平分线的概念得∠PAF=∠PAB，由圆内接四边形的性质得∠PBC+∠PAC=180°，由邻补角的性质可得∠PAF+∠PAC=180°，推出∠PBC=∠PAF，则∠PBC=∠PAB，据此证明；
②过P作PG⊥BC于G，交⊙O于H，连接OB，由弧、弦关系得PB=PC，由等腰三角形性质得BG=CG，∠BPC=2∠BPG，由圆周角定理可得∠BPC=∠BAC，∠BOG=2∠BPG=∠BPC，推出∠BOG=∠BAC，易得BG=3，然后根据正弦函数的概念进行求解；
（2）过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG=3，OC=OP=5， 由勾股定理得OG、PC，设∠APC=x， 则∠ABC=∠ABP=x， ∠PCB=∠PBC=2x，由外角得∠PCB=∠CPE+∠E， 据此求解；
（3）过点C作CQ⊥AB于Q，由圆内接四边形的性质可得 ∠ACE=∠P，∠CAE=∠PAF=∠PAB，证明△ACE∽△APB， 根据相似三角形的性质可得PA·AE=AC·AB，根据（1）②的结论可得CQ，由三角形的面积公式可得PA·AE=S△ABC，当∠ACB=90°时，△ABC的面积最大，由勾股定理求出AC，据此求解.
26．（2021九上·江都期末）春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为 元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于 .分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价 （元/件）
每天销售量 （件）
（1）直接写出 与 的函数关系式：　 　；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于 元，请预测今年销售单价的范围是多少？
（4）花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠 元（ ）给“爱心基金”.若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则 的取值范围是多少？
【答案】（1）
（2）设用 （元）表示每天销售的利润，则 ，
，
，
开口方向向下，对称轴是直线 ，
当 时， 有最大值，为 ，
答：销售单价为 元时，销售利润最大，最大利润为 元.
（3）当 时， ，解得， ， ，
由二次函数的图象可知，当 时， ，
又 ，
；
（4）设用 表示扣除捐款后的日利润，
随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大
在 范围内， 随 的增大而增大
抛物线开口向下，对称轴是 ，
，解得： ，
，
.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
把x＝40、y＝300和x＝50、y＝250代入，
得： ，解得 ，
∴y关于x的函数解析式为 ，
故答案是： ；
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，把x＝40、y＝300和x＝50、y＝250代入，求出k、b的值即可得；
（2）设销售利润为w元，根据“总利润＝单价利润×销售量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）把 ，代入W ，结合二次函数图象，求出x的范围，进而即可求解；
（4）设用 表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，结合 随 的增大而减小，要使得 随着 的减小而增大，在 范围内， 随 的增大而增大，进而即可求解.
27．（2021九下·成都开学考）如图，已知点P在矩形外，，，点E，F分别在，上运动，且，连接.
（1）求证：；
（2）若是等腰直角三角形，求的值；
（3）试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
.
，，
.
.
.
，，
.
.
.
（2）解：，
.
是等腰直角三角形，，
可分为两种情况讨论：
①当，时，则.
.
，.
，
.
②当，时，则.
.
，.
，
.
综上所述，的值为或.
（3）解：线段，，之间满足的等量关系是.
延长到G，使得，连接，，
，
.
，
.
在△PBG和△PAE中
，
.
，，.
，
.
即.
在△PGF和△PEF中
，
.
.
，
.
由勾股定理得，.
.
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由矩形性质得∠BAD=∠ABC=90°，由等腰直角三角形的性质得∠PAB=∠PBA=45°，则∠PAE=∠FBP=135°，由内角和定理可得∠APE+∠AEP=45°，由角的和差关系可得∠APE+∠BPF=45°，推出∠AEP=∠BPF，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①当∠PEF=90°，PE=EF时，PF=PE，由相似三角形的性质可得AE=BP，BF=AP，然后结合AP=BP进行求解；②当∠PFE=90°，PF=EF时，PE=PF，由相似三角形的性质可得AE=BP，BF=AP，然后结合AP=BP进行求解；
（3）延长AB到G，使BG=AE，连接PG、FG，易得∠PBG=∠PAE，证明△PBG≌△PAE，得到BG=AE，PG=PE，∠BPG=∠APE，进而证明△PGF≌△PEF，得到GF=EF，然后在Rt△BFG中，应用勾股定理解答即可.
28．（2021九上·溧阳期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ， y与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C.
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出 CP+BP的最小值.
【答案】（1）将y=0代入 得， =0，
解得x1=-2，x2=8，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）；
将x=0代入 得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）；
（2）如图，
①∵∠ABC=∠BCD1
∴AB//CD1
∴点C与点D1关于抛物线对称轴对称，
由A，B两点坐标可知抛物线的对称轴为
∵C（0，-4）
∴D1（6，-4）
②当∠ABC=∠BCD2时，CD2与x轴交于E，则有CE=BE，
设BE=CE=x，则OE=8-x
在Rt△OCE中，
∴ ，解得，x=5
∴OE=8-5=3
∴E(3，0)
设CD2的解析式为y=kx+b
把C(0，-4)，E(3，0)代入得
解得，
∴CD2的解析式为
联立得 ，
解得 ，
∴
（3）在OC上截取OM，使OM= OP=1，
∵∠ ， ，
∴△ ，
∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， ，最短，
根据勾股定理，最小值为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）通过解方程 =0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；
（2）根据题意可得两种情况：①AB//CD，点C与点D关于抛物线对称轴对称，由点C坐标可得点D坐标；②AB与CD不平行时，求出CD的解析式，联立方程组求解即可；
（3）证明△ 得 ， ，根据 三点共线即可得到结论.
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