四川省成都市青羊区成都市石室联合中学（陕西街校区）2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·青羊开学考）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约 亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）千克.
A． B．
C． D．
2．（2021九下·青羊开学考）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九下·青羊开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·达州）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
5．（2018·荆州）解分式方程 ﹣3= 时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D．1﹣3（2﹣x）=4
6．（2021九下·青羊开学考）如图，在 中，点E和点F分别在边 ， 上，且 ，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
7．（2021九下·青羊开学考）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
8．（2021九下·青羊开学考）在反比例函数 中有三点 ， ， ，已知 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
9．（2020九下·开鲁月考）在同一直角坐标系中，函数 和函数 （m是常数，且 ）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2021九下·青羊开学考）因式分解： .
11．（2020·南岸模拟）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 .
12．（2021九下·青羊开学考）如图，直线 ，直线EF与AB、CD相交于点E、F， 的平分线EN与CD相交于点 若 ，则 .
13．（2021九下·青羊开学考）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为 .
14．（2020·高新模拟）若实数a满足 ＝a﹣1，且0＜a＜ ，则a＝ ．
15．（2021九上·成都期末）在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为 .
16．（2021九下·青羊开学考）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm.
17．（2021九下·青羊开学考）如图，点C在以 为直径的半圆上， ， ，点D在线段 上运动，点E与点D关于 对称， 于点D，并交 的延长线于点F.有下列结论：
① ；②线段 的最小值为 ；③当 时， 与半圆相切；④若点F恰好落在弧 上，则 ；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 扫过的面积是 ，其中正确结论的序号是 .
三、解答题
18．（2021九下·青羊开学考）解答：
（1）
（2）解不等式组：
19．（2021九下·青羊开学考）解答下列各题：
（1）化简求值： ，其中 .
（2）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ，求a的取值范围.
20．（2021九下·青羊开学考）在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH.
21．（2021九下·青羊开学考）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机 等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A.效果很好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
（1）此次调查中，共抽查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；
（3）某班 人学习小组，甲、乙 人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取 人，则“ 人认为效果很好， 人认为效果较好”的概率是多少 （要求画树状图或列表求概率）
22．（2021九下·青羊开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝ （k＜0）的图象交于A（a，6），B两点.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若点M是第四象限内反比例函数图象上一点，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，若△MON的面积为6，求点N的坐标.
23．（2020·盘锦）如图， 是 的直径， 是 的弦， 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， .
（1）求证： ；
（2）点 在 的延长线上，连接 .
①求证： 与 相切；
②当 时，直接写出 的长.
24．（2021九下·青羊开学考）现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组 的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为 .
25．（2021九下·青羊开学考）
2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元.公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
26．（2020九上·重庆期中）如图，在 中， ， ，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF.
（1）求证： ；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当 时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使 的值最小.当 的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.
27．（2021九下·青羊开学考）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与y轴交于点B，在x轴上有一动点 ，过点E作x轴的垂线交直线 于点N，交抛物线于点P，过点P作 于点M.
（1）求a的值和直线 的函数表达式；
（2）设 的周长为 ， 的周长为 ，若 ，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ，连接 、 ，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 567.8亿=56780000000= .
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、主视图是正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
B、主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C、主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意；
D、主视图是圆，圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的图形，据此分别得到正方体、圆柱、圆锥、球体的主视图；把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；同类项的概念；幂的乘方
【解析】【解答】解： A 、 ，无法计算，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D 、 ，正确.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；合并同类二次根式的时候，只需要将同类二次根式的系数相加，二次根式部分不变，据此可判断B；根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断D.
4．【答案】C
【知识点】随机事件；概率的意义；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件，故不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能，故不符合题意；
C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定，符合题意；
D、数据6，6，7，7，8的中位数为7，众数为：6和7，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】随机事件就是可能发生，也可能不会发生的事件，“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件；概率是描述随机事件发生可能性大小的量，概率越大，随机事件发生的可能性越大，天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能；方差越大，数据的波动越大，越不稳定，甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定；一组数据中出现次数最多的数据就是众数，数据6，6，7，7，8的中位数为7，6，7都出现了两次，故众数为：6和7。
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以（x-2），得
1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故答案为：B．
【分析】观察分式方程的最简公分母是（x-2），根据等式的性质，方程两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，注意没有分母的项不能漏乘。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故答案为：D.
【分析】在圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆内接四边形的性质可得∠BCD+BAD=180°，结合已知条件可得∠BAD=50°，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍进行求解.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ，
函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又 ，
点 ， ， ， 在第三象限，点 ， 在第一象限，
A，B，C三点在反比例函数图象上表示为：
.
故答案为：B.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，其图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，进而根据A、B、C三点的横坐标的正负，将三点在图象上的大概位置标注出来，据此比较.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察图象可知：
A.由直线经过第二、四象限可得m＜0，则-m＞0，则抛物线开口向上，而图中抛物线开口向下，故A错误；
B.由直线经过第二、四象限可得m＜0，则-m＞0，抛物线的对称轴x=，在y轴左侧，故B错误；
C.由直线经过第一、三象限可得m＞0，则 -m＜0，则抛物线开口向下，而图中抛物线开口向上，故C正确；
D.由直线经过第二、四象限可得m＜0，且直线与y轴的交点（0，m）位于y轴的负半轴，还可得-m＞0，则抛物线开口向上，且抛物线的对称轴x=,在y轴左侧,故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与系数的关系一一判断即可。
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】首先提取公因式3，然后利用完全平方公式进行分解.
11．【答案】k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据 时，函数图象经过第一、二、四象限，即可求解；
12．【答案】50°
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
平分 ，
，
∵AB∥CD
，
故答案为： .
【分析】根据平行线的性质可得∠BEN=∠1=65°，∠2+∠BEF=180°，由角平分线的概念可得∠BEF=2∠BEN=130°，据此求解.
13．【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，
∴∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3.
∵DQ=2QC，
∴QC= DQ= ，
∴CD=DQ+CQ=3+ = ，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ +3）=15.
故答案为：15.
【分析】由题意可知：AQ是∠DAB的平分线，则∠DAQ=∠BAQ，根据平行四边形的性质得CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，推出△AQD是等腰三角形，得到DQ=AD=3，由DQ=2QC可得QC，进而求出CD，据此不难求出平行四边形ABCD的周长.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝a﹣1，且0＜a＜ ，
∴2﹣a＝a﹣1，
∴a＝ ，
故答案为： ．
【分析】先确定 ，所以由已知得 ，可化简二次根式 ，解方程计算即可．
15．【答案】(2，3)或(0，-1)
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，则在新的直角坐标系中，C点的坐标为(3-1，5-1)，即C(2，4).
根据题意可知在新的直角坐标系中 是以点A为位似中心，相似比为1：2，把 缩小后得到的三角形.
∵点C在新的直角坐标系中的坐标为(2，4)，
∴点C的对应点C1在新的直角坐标系中的坐标为 或 ，即(1，2)或(-1，-2).
∴点C1在原坐标系中的坐标为(1+1，2+1)或(-1+1，-2+1)，即(2，3)或(0，-1).
故答案为(2，3)或(0，-1).
【分析】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，得知C点在新的直角坐标系中的坐标，再根据相似比，可求出C1在新的直角坐标系中的坐标，最后即可知道点C1在原坐标系中的坐标.
16．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
设正方形的中心为O，可证EF经过O点.
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得 ，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝ cm，
故答案为： .
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点，连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，易得MA、MG，然后根据两点之间、线段最短的性质进行求解.
17．【答案】①②④⑤
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接 CD ，如图1所示
∵点E与点D关于 AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论①正确；
②当 CD⊥AB 时，如图2所示；
∵ AB是半圆的直径，
∴
∵ ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ .
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时， CD 的最小值为 .
∵ ，
∴ ，
∴线段EF的最小值为 ，
∴结论②正确.
③当 时，连接OC ，如图3所示.
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ OC不垂直于EF ，
∵经过半径OC 的外端，且OC不垂直EF ，
∴ EF与半圆不相切，
∴结论③错误.
④当点F恰好落在 上时，连接FB 、AF ，如图4所示.
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
∵ ，
∴
∴ .
∴ .
∴
∵ AB是半圆的直径，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴结论④正确.
⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM 与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB 与AB关于BC对称，
∴ EF扫过的图形就是图5中阴影部分，
∴ ，
∴ 扫过的面积为 ，
∴结论⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
【分析】连接CD，由轴对称的性质可得CE=CD，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠CDE，由等角的余角相等可得∠F=∠CDF，推出CD=CF，据此判断①；当CD⊥AB时，由圆周角定理可得∠ACB=90°，易得AC、BC、CD的值，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD的最小值，然后根据CE=CD=CF可得EF=2CD，据此得到EF的最小值，进而判断②；当AD=3时，连接OC，易得△OAC是等边三角形，得到CA=CO，∠ACO=60°，根据轴对称的性质可得∠ECA=∠DCA，推出OC不垂直于 EF，据此判断③；当点F恰好落在上时，连接FB、AF，证明△FHC∽△FDE，由相似三角形的性质可得FH=FD，推出FH=DH，易得BF=BD，∠FBD=60°，∠FAB=30°，求出FB，DB，进而得到AD，据此判断④；易知EF扫过的图形的面积=2S△ABC，据此判断⑤.
18．【答案】（1）解： ；
（2）解： ，
由①得： ， ，
由②得： ， ，
∴不等式组的解集为： .
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据0次幂、负整数指数幂的运算性质以及绝对值的性质分别化简，进而再根据有理数的加减法法则即可算出答案；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
19．【答案】（1）解：
，
当 代入得： .
（2）解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴a的取值范围为： .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式对分式的分母进行分解，然后通分计算括号内异分母分式的加法，进而将分式除法转变为分式的乘法，约分化简，接下来将x的值代入进行计算；
（2）根据△≥0可得a范围，由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=a，然后结合x1x2+x1+x2>0可得a的范围，据此解答.
20．【答案】解：延长CD交AH于点E，
设DE=x，则BE= x，
∵∠A=30°，
∴ = = ，
∴x=5 -4.5，
∴GH=EC=5 -1.5（m）
答：GH的长为（5 -1.5）m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】延长CD交AH于点E，设DE=x，则BE=x，CE=3+x，AE=10+x，根据∠A的正切函数可得x，据此解答.
21．【答案】（1）200
（2）解：“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），
补全条形统计图如下：
∠∝= ；
（3）解：用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，
①画树状图如下：
共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，
∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）= ；
②列表如下
认为效果很好 认为效果较好 A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，
∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）= ；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）80÷40%=200（人）.
故答案为：200；
【分析】（1）利用A的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出C的人数，据此补全条形统计图，利用C的人数除以总人数，然后乘以360°可得α的度数；
（3）此题是抽取不放回类型，用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，画出树状图或列出表格，然后找出总情况数以及“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的情况数，接下来利用概率公式进行计算.
22．【答案】（1）解：把A（a，6）代入y＝﹣2x，可得a＝﹣3，
∴A（﹣3，6），
把A（﹣3，6）代入y＝ ，可得k＝﹣18，
∴反比例函数的表达式为 ，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（3，﹣6）；
（2）解：如图所示，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，
设 ，则 ，
∵△MON的面积为6，
∴ ，
解得 或 ，
或（ ）.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A（a，6）代入y=-2x中可得a的值，进而得到点A的坐标，然后代入y＝中求出k，据此可得反比例函数的解析式，根据点B与点A关于原点对称可得点B的坐标；
（2）过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，设M（m，），则N（，），然后根据△MON的面积可得m的值，据此可得点N的坐标.
23．【答案】（1）证明：
，
即
（2）解：①连接
即
是 的半径
与 相切
②如图，
∵BC为直径，EF⊥AB，
∴∠BAC=∠BFE=90°，
∴AC∥FE，
∴ ，
∵CE=4，
∴BE=10，
∴BC=14，
∴OA=OC=7，
∴ ，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
，
∵ ， ，
∴△AEO∽△GEA，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理，以及等角的余角相等，得到 ，即可得到结论成立；（2）①连接AO，先证明 ，然后证明 ，即可得到结论成立；②由AC∥EF，得到 ，然后得到BE=10，得到OA=OC=7，OE=3，然后得到AE的长度，再利用△AOE∽△GAE，即可求出GE，即可得到CG的长度.
24．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；二次函数图象与坐标轴的交点问题；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由 ，
解得：a﹣b＝k﹣1，
当0≤a﹣b≤1时，即：0≤k﹣1≤1，
解得：1≤k≤2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+m图象与x轴恰有2个交点，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
画树状图如图：
k和m所有可能出现的结果有9个，其中1≤k≤2且m为﹣1的结果有2个，
∴满足条件的概率为P＝.
故答案为：.
【分析】将方程组中的两个方程相减可得a-b＝k-1，根据0≤a-b≤1，可得1≤k≤2，由△＞0可得m＜1，则m＝-1，画出树状图，找出总情况数以及满足1≤k≤2且m为-1的结果数，然后利用概率公式进行计算.
25．【答案】（1）解：当2＜x≤5时，y＝600；
当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），把（5，600），（10，400）代入得：
，
解得 ，
∴y＝﹣40x+800，
∴y与x之间的函数关系式为：
y＝ ；
（2）解：设每天的销售利润为w元，
当2＜x≤5时，
w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200，
当x＝5时，wmax＝600×5﹣1200＝1800（元）；
当5＜x≤10时，
w＝（﹣40x+800）（x﹣2）
＝﹣40（x﹣11）2+3240，
因为﹣40＜0，所以当 时，w随x增大而增大，
故当x＝10时，w有最大值，
wmax＝﹣40×1+3240＝3200（元）.
综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）当2＜x≤5时，y＝600；当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），把（5，600），（10，400）代入求出k、b，据此可得函数解析式；
（2）设每天的销售利润为w元，分当2＜x≤5时与当5＜x≤10时，根据总利润等于单件的利润乘以销售数量得出W与x的函数关系式，然后结合一次函数与二次函数的性质进行解答.
26．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，F为DE中点（同时 ）， ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接AF，
由（1）得 ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵F为DE中点，
∴ ，
在四边形ADCE中，有 ， ，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则 ，
在 中，
∵ ，
∴F为CG中点，即 ，
∴ ，
即 ；
（3）解：如图1，
在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当 的值取得最小值时，点P位于线段CE上；
如图2，
将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴当 的值取得最小值时，点P位于线段BF上；
综上所述：如图3，
以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，
如图4，同理可得， ，
∴ ，
设PD为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又
∴ .
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意用“边角边”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，由角的构成可求得∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解；
（2）连接AF，由（1）中的结论易得∠DCE=90°，在直角三角形DCE中，用勾股定理可求将DE用含CD的代数式表示出来，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=EF=DE，在四边形ADCE中，易得点A、D、C、E四点共圆，根据 F为DE中点可得F为圆心，则CF=AF，在直角三角形AGC中，CG=2CF，则AG可由勾股定理用含CD的代数式表示出来，则BC与AG的关系可求解；
（3）①在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP；②将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP；③以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点；如图4，设PD为 ，由等腰三角形的性质直角三角形的性质可求解．
27．【答案】（1）解：令 ，则 ，
，
或 ，
抛物线 与x轴交于点 ，
，
.
， ，
设直线 解析式为 ，则 ，
解得 ，
直线 解析式为 ；
（2）解：如图1中，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
抛物线解析式为 ，
，
，
解得 ；
（3）解：如图2中，在y轴上 取一点 使得 ，连接 ，在 上取一点 使得 .
， ，
，
，
，
△ △ ，
，
，
，
此时 最小（两点间线段最短， 、 、 共线时），
最小值 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）令y=0，可得x=-1或，根据点A的坐标可得=4，求出a的值，然后利用待定系数法就可求出直线AB的解析式；
（2）易证△PNM∽△ANE，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，根据平行线分线段成比例的性质可得AN，表示出PN，据此求解；
（3）在y轴上取点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取点E′，使得OE′=OE，证△M′OE′∽△E′OB，根据相似三角形的性质可得M′E′，进而得到AE′+BE′=AM′，据此求解.
1 / 1四川省成都市青羊区成都市石室联合中学（陕西街校区）2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·青羊开学考）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约 亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）千克.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 567.8亿=56780000000= .
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
2．（2021九下·青羊开学考）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、主视图是正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
B、主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C、主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意；
D、主视图是圆，圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的图形，据此分别得到正方体、圆柱、圆锥、球体的主视图；把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．（2021九下·青羊开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；同类项的概念；幂的乘方
【解析】【解答】解： A 、 ，无法计算，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D 、 ，正确.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；合并同类二次根式的时候，只需要将同类二次根式的系数相加，二次根式部分不变，据此可判断B；根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断D.
4．（2018·达州）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
【答案】C
【知识点】随机事件；概率的意义；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件，故不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能，故不符合题意；
C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定，符合题意；
D、数据6，6，7，7，8的中位数为7，众数为：6和7，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】随机事件就是可能发生，也可能不会发生的事件，“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件；概率是描述随机事件发生可能性大小的量，概率越大，随机事件发生的可能性越大，天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能；方差越大，数据的波动越大，越不稳定，甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定；一组数据中出现次数最多的数据就是众数，数据6，6，7，7，8的中位数为7，6，7都出现了两次，故众数为：6和7。
5．（2018·荆州）解分式方程 ﹣3= 时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D．1﹣3（2﹣x）=4
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以（x-2），得
1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故答案为：B．
【分析】观察分式方程的最简公分母是（x-2），根据等式的性质，方程两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，注意没有分母的项不能漏乘。
6．（2021九下·青羊开学考）如图，在 中，点E和点F分别在边 ， 上，且 ，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解.
7．（2021九下·青羊开学考）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故答案为：D.
【分析】在圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆内接四边形的性质可得∠BCD+BAD=180°，结合已知条件可得∠BAD=50°，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍进行求解.
8．（2021九下·青羊开学考）在反比例函数 中有三点 ， ， ，已知 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ，
函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又 ，
点 ， ， ， 在第三象限，点 ， 在第一象限，
A，B，C三点在反比例函数图象上表示为：
.
故答案为：B.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，其图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，进而根据A、B、C三点的横坐标的正负，将三点在图象上的大概位置标注出来，据此比较.
9．（2020九下·开鲁月考）在同一直角坐标系中，函数 和函数 （m是常数，且 ）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察图象可知：
A.由直线经过第二、四象限可得m＜0，则-m＞0，则抛物线开口向上，而图中抛物线开口向下，故A错误；
B.由直线经过第二、四象限可得m＜0，则-m＞0，抛物线的对称轴x=，在y轴左侧，故B错误；
C.由直线经过第一、三象限可得m＞0，则 -m＜0，则抛物线开口向下，而图中抛物线开口向上，故C正确；
D.由直线经过第二、四象限可得m＜0，且直线与y轴的交点（0，m）位于y轴的负半轴，还可得-m＞0，则抛物线开口向上，且抛物线的对称轴x=,在y轴左侧,故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与系数的关系一一判断即可。
二、填空题
10．（2021九下·青羊开学考）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】首先提取公因式3，然后利用完全平方公式进行分解.
11．（2020·南岸模拟）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 .
【答案】k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据 时，函数图象经过第一、二、四象限，即可求解；
12．（2021九下·青羊开学考）如图，直线 ，直线EF与AB、CD相交于点E、F， 的平分线EN与CD相交于点 若 ，则 .
【答案】50°
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
平分 ，
，
∵AB∥CD
，
故答案为： .
【分析】根据平行线的性质可得∠BEN=∠1=65°，∠2+∠BEF=180°，由角平分线的概念可得∠BEF=2∠BEN=130°，据此求解.
13．（2021九下·青羊开学考）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为 .
【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，
∴∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3.
∵DQ=2QC，
∴QC= DQ= ，
∴CD=DQ+CQ=3+ = ，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ +3）=15.
故答案为：15.
【分析】由题意可知：AQ是∠DAB的平分线，则∠DAQ=∠BAQ，根据平行四边形的性质得CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，推出△AQD是等腰三角形，得到DQ=AD=3，由DQ=2QC可得QC，进而求出CD，据此不难求出平行四边形ABCD的周长.
14．（2020·高新模拟）若实数a满足 ＝a﹣1，且0＜a＜ ，则a＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ＝a﹣1，且0＜a＜ ，
∴2﹣a＝a﹣1，
∴a＝ ，
故答案为： ．
【分析】先确定 ，所以由已知得 ，可化简二次根式 ，解方程计算即可．
15．（2021九上·成都期末）在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为 .
【答案】(2，3)或(0，-1)
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，则在新的直角坐标系中，C点的坐标为(3-1，5-1)，即C(2，4).
根据题意可知在新的直角坐标系中 是以点A为位似中心，相似比为1：2，把 缩小后得到的三角形.
∵点C在新的直角坐标系中的坐标为(2，4)，
∴点C的对应点C1在新的直角坐标系中的坐标为 或 ，即(1，2)或(-1，-2).
∴点C1在原坐标系中的坐标为(1+1，2+1)或(-1+1，-2+1)，即(2，3)或(0，-1).
故答案为(2，3)或(0，-1).
【分析】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，得知C点在新的直角坐标系中的坐标，再根据相似比，可求出C1在新的直角坐标系中的坐标，最后即可知道点C1在原坐标系中的坐标.
16．（2021九下·青羊开学考）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm.
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
设正方形的中心为O，可证EF经过O点.
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得 ，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝ cm，
故答案为： .
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点，连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，易得MA、MG，然后根据两点之间、线段最短的性质进行求解.
17．（2021九下·青羊开学考）如图，点C在以 为直径的半圆上， ， ，点D在线段 上运动，点E与点D关于 对称， 于点D，并交 的延长线于点F.有下列结论：
① ；②线段 的最小值为 ；③当 时， 与半圆相切；④若点F恰好落在弧 上，则 ；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 扫过的面积是 ，其中正确结论的序号是 .
【答案】①②④⑤
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接 CD ，如图1所示
∵点E与点D关于 AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论①正确；
②当 CD⊥AB 时，如图2所示；
∵ AB是半圆的直径，
∴
∵ ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ .
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时， CD 的最小值为 .
∵ ，
∴ ，
∴线段EF的最小值为 ，
∴结论②正确.
③当 时，连接OC ，如图3所示.
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ OC不垂直于EF ，
∵经过半径OC 的外端，且OC不垂直EF ，
∴ EF与半圆不相切，
∴结论③错误.
④当点F恰好落在 上时，连接FB 、AF ，如图4所示.
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
∵ ，
∴
∴ .
∴ .
∴
∵ AB是半圆的直径，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴结论④正确.
⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM 与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB 与AB关于BC对称，
∴ EF扫过的图形就是图5中阴影部分，
∴ ，
∴ 扫过的面积为 ，
∴结论⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
【分析】连接CD，由轴对称的性质可得CE=CD，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠CDE，由等角的余角相等可得∠F=∠CDF，推出CD=CF，据此判断①；当CD⊥AB时，由圆周角定理可得∠ACB=90°，易得AC、BC、CD的值，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD的最小值，然后根据CE=CD=CF可得EF=2CD，据此得到EF的最小值，进而判断②；当AD=3时，连接OC，易得△OAC是等边三角形，得到CA=CO，∠ACO=60°，根据轴对称的性质可得∠ECA=∠DCA，推出OC不垂直于 EF，据此判断③；当点F恰好落在上时，连接FB、AF，证明△FHC∽△FDE，由相似三角形的性质可得FH=FD，推出FH=DH，易得BF=BD，∠FBD=60°，∠FAB=30°，求出FB，DB，进而得到AD，据此判断④；易知EF扫过的图形的面积=2S△ABC，据此判断⑤.
三、解答题
18．（2021九下·青羊开学考）解答：
（1）
（2）解不等式组：
【答案】（1）解： ；
（2）解： ，
由①得： ， ，
由②得： ， ，
∴不等式组的解集为： .
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据0次幂、负整数指数幂的运算性质以及绝对值的性质分别化简，进而再根据有理数的加减法法则即可算出答案；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
19．（2021九下·青羊开学考）解答下列各题：
（1）化简求值： ，其中 .
（2）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ，求a的取值范围.
【答案】（1）解：
，
当 代入得： .
（2）解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴a的取值范围为： .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式对分式的分母进行分解，然后通分计算括号内异分母分式的加法，进而将分式除法转变为分式的乘法，约分化简，接下来将x的值代入进行计算；
（2）根据△≥0可得a范围，由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=a，然后结合x1x2+x1+x2>0可得a的范围，据此解答.
20．（2021九下·青羊开学考）在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH.
【答案】解：延长CD交AH于点E，
设DE=x，则BE= x，
∵∠A=30°，
∴ = = ，
∴x=5 -4.5，
∴GH=EC=5 -1.5（m）
答：GH的长为（5 -1.5）m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】延长CD交AH于点E，设DE=x，则BE=x，CE=3+x，AE=10+x，根据∠A的正切函数可得x，据此解答.
21．（2021九下·青羊开学考）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机 等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A.效果很好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
（1）此次调查中，共抽查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；
（3）某班 人学习小组，甲、乙 人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取 人，则“ 人认为效果很好， 人认为效果较好”的概率是多少 （要求画树状图或列表求概率）
【答案】（1）200
（2）解：“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），
补全条形统计图如下：
∠∝= ；
（3）解：用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，
①画树状图如下：
共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，
∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）= ；
②列表如下
认为效果很好 认为效果较好 A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，
∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）= ；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）80÷40%=200（人）.
故答案为：200；
【分析】（1）利用A的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出C的人数，据此补全条形统计图，利用C的人数除以总人数，然后乘以360°可得α的度数；
（3）此题是抽取不放回类型，用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，画出树状图或列出表格，然后找出总情况数以及“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的情况数，接下来利用概率公式进行计算.
22．（2021九下·青羊开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝ （k＜0）的图象交于A（a，6），B两点.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若点M是第四象限内反比例函数图象上一点，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，若△MON的面积为6，求点N的坐标.
【答案】（1）解：把A（a，6）代入y＝﹣2x，可得a＝﹣3，
∴A（﹣3，6），
把A（﹣3，6）代入y＝ ，可得k＝﹣18，
∴反比例函数的表达式为 ，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（3，﹣6）；
（2）解：如图所示，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，
设 ，则 ，
∵△MON的面积为6，
∴ ，
解得 或 ，
或（ ）.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A（a，6）代入y=-2x中可得a的值，进而得到点A的坐标，然后代入y＝中求出k，据此可得反比例函数的解析式，根据点B与点A关于原点对称可得点B的坐标；
（2）过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，设M（m，），则N（，），然后根据△MON的面积可得m的值，据此可得点N的坐标.
23．（2020·盘锦）如图， 是 的直径， 是 的弦， 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ， .
（1）求证： ；
（2）点 在 的延长线上，连接 .
①求证： 与 相切；
②当 时，直接写出 的长.
【答案】（1）证明：
，
即
（2）解：①连接
即
是 的半径
与 相切
②如图，
∵BC为直径，EF⊥AB，
∴∠BAC=∠BFE=90°，
∴AC∥FE，
∴ ，
∵CE=4，
∴BE=10，
∴BC=14，
∴OA=OC=7，
∴ ，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
，
∵ ， ，
∴△AEO∽△GEA，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理，以及等角的余角相等，得到 ，即可得到结论成立；（2）①连接AO，先证明 ，然后证明 ，即可得到结论成立；②由AC∥EF，得到 ，然后得到BE=10，得到OA=OC=7，OE=3，然后得到AE的长度，再利用△AOE∽△GAE，即可求出GE，即可得到CG的长度.
24．（2021九下·青羊开学考）现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组 的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；二次函数图象与坐标轴的交点问题；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由 ，
解得：a﹣b＝k﹣1，
当0≤a﹣b≤1时，即：0≤k﹣1≤1，
解得：1≤k≤2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+m图象与x轴恰有2个交点，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
画树状图如图：
k和m所有可能出现的结果有9个，其中1≤k≤2且m为﹣1的结果有2个，
∴满足条件的概率为P＝.
故答案为：.
【分析】将方程组中的两个方程相减可得a-b＝k-1，根据0≤a-b≤1，可得1≤k≤2，由△＞0可得m＜1，则m＝-1，画出树状图，找出总情况数以及满足1≤k≤2且m为-1的结果数，然后利用概率公式进行计算.
25．（2021九下·青羊开学考）
2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元.公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：当2＜x≤5时，y＝600；
当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），把（5，600），（10，400）代入得：
，
解得 ，
∴y＝﹣40x+800，
∴y与x之间的函数关系式为：
y＝ ；
（2）解：设每天的销售利润为w元，
当2＜x≤5时，
w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200，
当x＝5时，wmax＝600×5﹣1200＝1800（元）；
当5＜x≤10时，
w＝（﹣40x+800）（x﹣2）
＝﹣40（x﹣11）2+3240，
因为﹣40＜0，所以当 时，w随x增大而增大，
故当x＝10时，w有最大值，
wmax＝﹣40×1+3240＝3200（元）.
综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）当2＜x≤5时，y＝600；当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），把（5，600），（10，400）代入求出k、b，据此可得函数解析式；
（2）设每天的销售利润为w元，分当2＜x≤5时与当5＜x≤10时，根据总利润等于单件的利润乘以销售数量得出W与x的函数关系式，然后结合一次函数与二次函数的性质进行解答.
26．（2020九上·重庆期中）如图，在 中， ， ，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF.
（1）求证： ；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当 时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使 的值最小.当 的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，F为DE中点（同时 ）， ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接AF，
由（1）得 ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵F为DE中点，
∴ ，
在四边形ADCE中，有 ， ，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则 ，
在 中，
∵ ，
∴F为CG中点，即 ，
∴ ，
即 ；
（3）解：如图1，
在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当 的值取得最小值时，点P位于线段CE上；
如图2，
将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴当 的值取得最小值时，点P位于线段BF上；
综上所述：如图3，
以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，
如图4，同理可得， ，
∴ ，
设PD为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又
∴ .
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意用“边角边”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，由角的构成可求得∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解；
（2）连接AF，由（1）中的结论易得∠DCE=90°，在直角三角形DCE中，用勾股定理可求将DE用含CD的代数式表示出来，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=EF=DE，在四边形ADCE中，易得点A、D、C、E四点共圆，根据 F为DE中点可得F为圆心，则CF=AF，在直角三角形AGC中，CG=2CF，则AG可由勾股定理用含CD的代数式表示出来，则BC与AG的关系可求解；
（3）①在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP；②将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP；③以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点；如图4，设PD为 ，由等腰三角形的性质直角三角形的性质可求解．
27．（2021九下·青羊开学考）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与y轴交于点B，在x轴上有一动点 ，过点E作x轴的垂线交直线 于点N，交抛物线于点P，过点P作 于点M.
（1）求a的值和直线 的函数表达式；
（2）设 的周长为 ， 的周长为 ，若 ，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ，连接 、 ，求 的最小值.
【答案】（1）解：令 ，则 ，
，
或 ，
抛物线 与x轴交于点 ，
，
.
， ，
设直线 解析式为 ，则 ，
解得 ，
直线 解析式为 ；
（2）解：如图1中，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
抛物线解析式为 ，
，
，
解得 ；
（3）解：如图2中，在y轴上 取一点 使得 ，连接 ，在 上取一点 使得 .
， ，
，
，
，
△ △ ，
，
，
，
此时 最小（两点间线段最短， 、 、 共线时），
最小值 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）令y=0，可得x=-1或，根据点A的坐标可得=4，求出a的值，然后利用待定系数法就可求出直线AB的解析式；
（2）易证△PNM∽△ANE，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，根据平行线分线段成比例的性质可得AN，表示出PN，据此求解；
（3）在y轴上取点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取点E′，使得OE′=OE，证△M′OE′∽△E′OB，根据相似三角形的性质可得M′E′，进而得到AE′+BE′=AM′，据此求解.
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