10.3 电势差与电场强度的关系 课中练
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
【课堂引入】
1. 如图所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间的距离为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
（1）从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
（2）比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。
（3）B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
【例题】
2. 如图所示，在平面内有一个以为圆心、半径R=0.1m的圆，P为圆周上的一点，、两点连线与轴正方向的夹角为．若空间存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小，则、两点的电势差可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm，求
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
【课堂练习】
4. 平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V。问：
(1)两板间的场强是多大？
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差多大？
二、利用E＝定性分析非匀强电场
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
（1）在非匀强电场中，公式U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度。
（2）当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密。
（3）距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小。
【例题】
5. 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为（ ）
A. 等于35 V B. 大于35 V C. 小于35 V D. 等于15 V
【课堂练习】
6. 如图所示的同心圆是电场中的一簇等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B. 电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C. 电势差UAB＝UBC
D. 电势φA<φB<φC
三、用等分法确定等势线和电场线
1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离。
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），同理有UAC＝UBD，如图乙所示。
2.确定电场方向方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
【例题】
7. 如图所示，a、b、c、d、O五点均在匀强电场中，它们刚好是一个半径为R＝0.2 m的圆的四个等分点和圆心O，b、c、d三点的电势如图所示．已知电场线与圆所在平面平行，关于电场强度的大小和方向，下列说法正确的是（ ）
A. 电场强度的方向由O指向b点 B. 电场强度的方向由O指向d点
C. 电场强度的大小为10 V/m D. 电场强度的大小为10V/m
【课堂练习】
8. 如图所示，a、b、c、d是某匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点，ab＝cd＝L，ad＝bc＝2L，电场线与矩形所在的平面平行．已知a点电势为20 V，b点电势为24 V，d点电势为12 V．一个质子从b点以速度v0射入此电场，入射方向与bc成45°角，一段时间后经过c点．不计质子的重力．下列判断正确的是（ ）
A. c点电势高于a点电势 B. 场强的方向由b指向d
C. 质子从b运动到c，电场力做功为8 eV D. 质子从b运动到c，电场力做功为4 eV
9. 如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA=5 V、φB= -5 V、φC=15 V，由此可以判断（ ）
A. 场强的方向由C指向B B. 场强的方向垂直AD连线斜向上
C. 场强的大小为10 V/m D. 场强的大小为
参考答案
1. 【答案】（1），；（2）两次做功大小相等，；（3）
【详解】（1）从力和位移的角度计算静电力所做的功为
通过A、B间的电势差计算静电力做的功为
（2）比较两次计算的功的大小，两次做功大小相等，说明电势差与电场强度的关系为
（3）B、C在同一等势面上，可得
即有
2. A
【详解】本题考查匀强电场中电势差与场强的关系.沿着电场线方向电势越来越低,故由题图可知O点电势低,P点电势高,所以OP两点间电势差为负值,匀强电场中两点间电势差取决于两点间沿场强方向的距离,所以有:UOP=-EdOPsinθ=-10sinθ,A项正确.
3.【答案】（1）-50V ；-30V；（2）-10V
【详解】（1）场强水平向左，即UQP=50V，UQP=φQ-φP
故φP=φQ-UQP=-50V
根据，则
UQA=φQ-φA
所以φA=φQ-UQA=-30V
（2）距离改变后，场强变为
则
所以φ'A=φQ-U'QA=-10V
4.【答案】（1）1200V/m；（2）48V
【详解】（1）根据公式代入数据得
（2）P1P2沿电场方向的距离为
根据公式有
5.C
【详解】由图看出，ab段电场线比bc段电场线密，故ab段场强较大，根据公式U=Ed可知，a、c间电势差Uac大于b、c间电势差Ubc，即：φa-φb＞φb-φc，得到：φb＜．故选C.
6.B
【详解】A．由于等势线是电场中的一簇同心圆，且电子由A向C运动过程速度越来越小，故题中电场是由一个处于圆心的负电荷产生的，根据库仑定律可以判断，电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，故A错误；
B．电子沿AC方向运动时，电场力做负功，故电势能逐渐变大，故B正确；
C．电子沿AC方向运动过程中，电场力逐渐变大，从A到B过程电场力较小，故从A到B过程电场力做功较少，根据电势差与电场力做功关系
可以得到
UAB＜UBC
故C错误；
D．电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，电子由A向C运动过程速度越来越小，故电场力向外，场强向内，故外侧电势较高，故
φA＞φB＞φC
故D错误。
故选B。
7.D
【详解】AB．由匀强电场中平行线上等间距点间的电势差相等可得，O点的电势为6 V，O、d连线的中点e处的电势为8 V，连接c、e，过O作ce的垂线交ce于f，则ce为等势线，电场线垂直于ce向下，即电场强度的方向由f指向O点，选项AB错误；
CD．连接c、O，计算得Of长为R，O、f间的电势差为2 V，则电场强度
V/m
选项C错误，D正确．
8. C
【详解】A．由于是匀强电场，故a、d的中点(设为E)电势应为a、d两点的一半，即16 V，那么E、b的中点F电势是20 V，和a点一样．连接a、F得到等势线，则电场线与它垂直，正好是由b指向E.那么cE平行于aF，故c点电势与E相同，也为16 V，小于a点电势，A错误；
B．场强的方向由b指向E，B错误；
CD．从b到c电势降落了8 V，质子电荷量为e，质子从b运动到c，电场力做功8 eV，电势能减小8 eV，C正确，D错误．
9. D
【详解】AB．由题意，φA=5V、φB=-5V、φC=15V，则BC连线的中点D的电势为
则φD=φA，AD为一条等势线．根据电场线与等势线垂直，可知场强的方向垂直于AD连线斜向下．故AB错误．
CD．场强的大小为
故C错误，D正确．
故选D．10.3 电势差与电场强度的关系 课前预习
1. 匀强电场中电势差与电场强度的关系
（1）匀强电场中两点间的电势差等于____与这两点沿______的距离的乘积。
（2）公式：UAB=____。
2. 公式的意义
（1）意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的___________与这两点___________之比。
（2）电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿___________方向___________上降低的电势。
（3）电场强度的另一个单位：由可导出电场强度的另一个单位，即___________，符号为___________。1 V/m=1 N/C。
参考答案
1. 【答案】（1）电场强度；电场方向；（2）Ed
2. 【答案】（1）电势差 ；沿电场线方向的距离；（2）电场强度；每单位距离上；（3） 伏/米 ；V/m
E
B
A9q
d10.3 电势差与电场强度的关系 课后练
1. 对公式E＝的理解，下列说法正确的是（ ）
A. 此公式适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差
B. A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C. 公式中的d是指A点和B点之间的距离
D. 若＝，则一定有UAB＝UAC
2. ．关于匀强电场中的电势差与场强的关系，正确的说法是（ ）
A. 任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B. 电势降落的方向一定是场强方向
C. 沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差必相等
D. 不沿电场线方向任意相同距离的两点间的电势差不可能相等
3. 匀强电场中有、、三点。在以它们为顶点的三角形中，，。电场方向与三角形所在平面平行。已知、和点的电势分别为、和。该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（ ）
A. 、 B. ，
C. ， D. 、
4. 如图所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径做逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为（ ）
A. U＝Er B. U＝Er(sin θ＋1)
C. U＝Er(cos θ＋1) D. U＝2Er
5. 如图所示，一电场的电场线分布关于y轴（沿竖直方向）对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM=MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是（ ）
A. M点的电势比P点的电势高
B. 将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C. M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D. M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
6. 如图所示，A、B两板间电压为600V，A板接地，B板带负电，A、B两板间距离为12cm，C点离A板4cm，下列说法正确的是（ ）
A. E=2000V/m，φC=200V B. E=5000V/m，φC=-200V
C. 电子在C点具有的电势能为-200eV D. 电子在C点具有的电势能为200eV
7. 如图所示的匀强电场场强为103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则下述计算结果正确的是（ ）
A. ab之间的电势差为40 V
B. ac之间的电势差为50 V
C. 将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdc移动一周，电场力做功是－0.25 J
D. 将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移动到d，电场力做功是0.25 J
8. 如图所示，在电场强度E＝2×103V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为（ ）
A. 1.6×10－7J
B. 1.2×10－7J
C. －1.6×10－7J
D. －1.2×10－7J
9. 如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1V、2V、3V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是（ ）
A. 通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B. 匀强电场的电场强度大小为10V/m
C. 匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D. 将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少
10. 如图所示，ABCD是匀强电场中平行于电场线的矩形的四个顶点，A、B、C三点电势分别为φA＝8 V，φB＝2 V，φC＝3 V，则D点的电势为（ ）
A. 7 V B. 6 V
C. 10 V D. 9 V
11. 如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1cm的圆与两坐标轴的交点，已知A，B，C三点的电势分别为、、。由此可得D点的电势为（ ）
A. 4V B. 8V C. 6V D. 9V
12. 匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示．已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V，设场强大小为E，一电量为1×C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W,则（ ）
A. W=8×J E＞8 V/m
B. W=6×J E＞6 V/m
C. W=8×J E≤8 V/m
D. W=6×J E≤6 V/m
13. 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为（ ）
A. B.
C. D.
14. 如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了，已知A、B两点间的距离为，两点连线与电场线成60°角．
（1）求A、B两点间的电势差UAB ；
（2）若A点的电势V，求B点的电势；
（3）求匀强电场场强E的大小，并判断其方向．
15. 如图所示，平行带电金属板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102 V/m，板间距离d＝5 cm，电场中C点到A板和D点到B板的距离均为0.5 cm，B板接地．求：
（1）C、D两点的电势及两点间的电势差各为多少？
（2）将点电荷q＝2×10－2 C从C点匀速移到D点的过程中外力做了多少功？
16. 如图所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5J的功．求：
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC；
(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)作出过B点的一条电场线(只保留作图的痕迹，不写做法)．
17. 如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，，.将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点．使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与 所在平面平行，现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带点小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g．求：
（1）无电场时，小球达到A点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向．
参考答案
1. A
【详解】A．公式
E＝
只能用于匀强电场中两点间的电势差，不适用于非匀强电场，A正确；
B．同一电场中，A点和B点沿电场线方向的距离越大时，则这两点的电势差越大，B错误；
C．公式中的d是指A点和B点之间沿电场线方向的距离，C错误；
D．若
＝
但是沿电场线方向的距离不相等，则UAB与UAC不相等，D错误。
故选A。
2. C
【详解】分析：根据公式U=Ed，d是电场线方向两点间的距离．电势降低的方向不一定电场强度方向．
解：A、根据公式U=Ed可知，两点间的电势差等于场强和这两点间在电场线方向上距离的乘积．故A错误．
B、电势降低最快的方向才是电场强度方向．故B错误．
C、根据公式U=Ed可知，沿电场线方向，距离相同，电势差相同，即相同距离上电势降落必定相等．故C正确．
D、不沿电场线方向任意相同距离的两点，分解两点间的距离可能沿电场线方向的有效距离相同，所以电势差可能相同．故D错误．
故选C
3. B
【详解】取的中点，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为，故为等势线，其垂线为电场线，方向为。外接圆上电势最低点为点，最高点为点。如图
设外接圆半径为，则有
，
则有
故
则点电势为0，为最低电势点；同理点电势为，为最高电势点。
故选B。
4. C
【详解】沿电场线方向距离A点最远的点与A点的电势差最大，则圆周上各点与A点间最大的电势差为，故选C.
5. AD
【详解】A．根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，故A正确；
B．将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，故B错误；
CD．根据，电场线疏密代表场强大小，且
U=Ed
可知
UMN故C错误，D正确。
故选AD。
6. BD
【详解】AB．根据题意，A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600V，B板带负电，则B板电势为-600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强为
根据电场强度与电势差的关系
解得
A错误，B正确；
CD．电子在C点具有的电势能为
C错误，D正确。
故选BD。
7. A
【详解】ab之间的电势差为，选项A正确；ac处在同一等势面上，则ac之间的电势差为0 V，选项B错误；将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdc移动一周，电场力做功为零，选项C错误；将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移动到d，电场力做功是，选项D错误；故选A.
8. C
【详解】根据匀强电场特点可知：A、B两点间的电势差 UAB=UAM=EdAM；所以UAB=2000×4×10-2V=80V．正电荷从B点经M点移到A点，电场力做功为 WBA=qUBA=-qUAB=-2×10-9×80J=-1.6×10-7J故选C．
9. ACD
【详解】A、连接AC，AC中点电势为2V，由正六边形对称性，则EB、AF、CD均为电场中的等势线，故A正确．
B、匀强电场的场强大小为，故B错误
C、电场线方向与EB垂直，即为C→A，故C正确．
D、将一个电子由E点移到D点，电场力做负功电子的电势能增加，故D正确
所以应该选ACD
10. D
【详解】根据匀强场中电势差特点可知所以
φD=φA -φB +φC=9V
故选D．
11. B
【详解】在匀强电场中，沿着同一方向（非等势面上），根据公式可知，每前进相同的距离，电势的降低相等；根据几何知识可知AB=DC且AB∥DC，说明AB间的电势差等于DC间的电势差，故，代入数据，有，解得，即D点的电势为8V．
12. A
【详解】试题分析：由题匀强电场中，由于D为AB的中点，则D点的电势，电荷从D点移到C点电场力所做的功为W=qUDC=q（φD-φC）=1×10-6×（10-2）J=8×10-6J．AB的长度为1m，由于电场强度的方向并不是沿着AB方向，所以AB两点沿电场方向的距离d＜1m，匀强电场中两点电势差与两点沿电场方向的距离成正比，即U=Ed，所以，故选A．
13. A
【详解】OA的中点C的电势为3V，将C点与B点连接，如图，电场线与等势线垂直，
根据几何关系得
则OB沿电场线方向上的距离
所以电场强度
故选A。
14. 【答案】（1）30V；（2）-31V；（3）3000V/m，沿电场线指向左下方
【详解】（1）由题意可知，静电力做负功
由，得V
（2）
则V
（3）A、B两点沿电场线方向的距离为m=m
从而V/m
方向：沿电场线指向左下方
15.【答案】(1)φD=-0.6V，φC=-5.4V，；(2) 9.6×10 2J
【详解】(1)下极板与D点间的电势差为：
UBD=Ed′=120×0.005V=0.6V
因为B板的电势为零，则：
φD=-0.6V
BA间的电势差为：
UBA=Ed=120×0.05V=6V
知A点的电势为：
φA=-6V
C与上极板间的电势差为：
UCA=UBD=0.6V
因为UCA=φC-φA，解得：
φC=-5.4V
所以CD两点电势差为
(2)电场力做功为：
WCD＝qUCD＝2×10 2×( 4.8)=-9.6×10-2J
则有：
W=-WCD＝9.6×10 2J
16. 【答案】(1) UAB＝4 V,UBC＝－2 V (2)φA＝4 V，φC＝2 V (3)见解析
【详解】（1）根据可得；
；
（2）由于，又，解得；
（3）取AB的中点D，D点的电势为2V，连接CD，为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图所示．
17.【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球做平抛运动，设初速度v0．初动能EK0，从O到A的运动时间为t，令OA＝d，则：OB=d，根据平抛运动的规律得：水平方向：d sin60°=v0t…①竖直方向：y＝d cos60°＝d＝gt2…②又：EK0＝mv02…③联立①②③解得：EK0＝mgd…④设小球到达A时的动能为EKA，则：EKA＝EK0+mgd＝mgd…⑤所以：；（2）加电场后，从O点到A点下降了y=d，从O点到B点下降了d，设电场力F与竖直方向夹角为α，
则由动能定理：
其中EK0＝mgd
联立解得：α=30°
所以电场强度为 ，
正电荷受力方向与电场方向相同，即E与竖直方向夹角为
