宁夏青铜峡市高中2021-2022学年高一下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

青铜峡市高中2021-2022学年高一下学期开学考试
数学试题
一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
3．已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．为了得函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象关于直线对称，则实数的值可能为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
8．已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的定义域为
A． B．
C． D．
10．函数f（x）的图象大致为（ 　　）
A． B．
C． D．
11．已知奇函数且，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
12．已知是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，共20分）
13．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为__________.
14．若对任意的且，函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为___________.
15．已知，若是第二象限角，则的值为__________.
16．以下关于函数的结论：
①的图象关于直线对称；
②的最小正周期是；
③在区间上是减函数；
④的图象关于点对称．
其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．（本题10分）
（1）求的值；
（2）已知，求.
18．（本题12分）已知函数．
（1）请用“五点法”列表并画出函数在一个周期上的图象；
（2）若方程在上有解，求实数a的取值范围；
19．（本题12分）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．（本题12分）函数（、、常数，，，）的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
21．（本题12分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求；
(2)求函数在上的解析式；
(3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
22．（本题12分）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
2021-2022学年度高一数学开学考试卷答案
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式一将角转化到锐角，直接计算即可.
【详解】
.
故选：B.
2．已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【解析】
【分析】
写出第二象限角，再求出的范围，讨论的取值范围即可求解.
【详解】
是第二象限的角，
则，
所以，
当时，，属于第一象限角，
当时，，属于第三象限角，
当时，，属于第一象限角，
所以是第一或第三象限角，
故选：D
【点睛】
本题考查了象限角，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
3．已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出函数的解析式，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】
设幂函数的解析式为，
∵幂函数的图象过点，
∴，
解得
∴，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方．对照选项可知C满足题意．
故选:C．
4．为了得函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
设沿横轴所在直线平移个单位得求出，即可确定平移过程.
【详解】
设的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到的图象.
∴函数平移个单位后得到函数，，即，
∴，即，取，.
故选：A.
5．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
已知，且，则.
故选：C.
6．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数以及对数函数的性质判断 的范围，即可判断三者的大小关系.
【详解】
,
故，
故选：B.
7．函数的图象关于直线对称，则实数的值可能为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由求得，根据的值可得答案.
【详解】
由题意，
故，
即，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：C.
8．已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由图形可得，然后计算周期并得到，最后代入点，最后可得结果.
【详解】
由图形可知：，，又，所以
所以，代入点，
所以，则
又，所以令，则
故
故选：C
9．函数的定义域为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由，结合余弦函数的图象，即可求解.
【详解】
函数有意义，须，
解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的定义域，熟练掌握三角函数的图象是解题的关键，属于基础题.
10．函数f（x）的图象大致为（ 　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.
【详解】
因为f（x）=f（x），
所以f（x）是奇函数，排除B，C
又因为，排除D
故选：A
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
11．已知奇函数且，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意并结合奇函数的定义可知，，再由，进而分别求出，即可求出的结果.
【详解】
解：由题可知为奇函数，，
则，，所以，
又，则，
又，，
，则，所以，
所以.
故选：A.
12．已知是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
【详解】
因函数是定义在上的减函数，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得半径，然后求得弧长.
【详解】
设扇形的半径为，
则，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：
14．若对任意的且，函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为___________.
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象和性质，令，解得，进而得出点P坐标.
【详解】
令，解得，
则，
所以点P的坐标为（2，1）.
故答案为：（2，1）.
15．已知，若是第二象限角，则的值为__________.
【答案】##1.4
【解析】
【分析】
利用完全平方和平方关系求解.
【详解】
，
所以，所以，
所以.又因为是第二象限角，所以，，所以.
故答案为：.
16．以下关于函数的结论：
①的图象关于直线对称；
②的最小正周期是；
③在区间上是减函数；
④的图象关于点对称．
其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【解析】
利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误.
【详解】
对于①，，
所以，的图象关于直线对称，①正确；
对于②，的最小正周期是，②正确；
对于③，当时，，
所以，函数在区间上是减函数，③正确；
对于④，由①可知，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.
三、解答题
17．（1）求的值；
（2）已知，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用指数幂以及对数的运算法则化简计算可得结果；
（2）利用诱导公式化简，结合齐次式计算求值即可．
【详解】
（1）；
（2）因为，
所以
.
18．已知函数．
（1）请用“五点法”列表并画出函数在一个周期上的图象；
（2）若方程在上有解，求实数a的取值范围；
【答案】（1）答案见解析；（2）；
【详解】
（1）列表如下：
0
0 0 0
函数在一个周期上的图象如下：
（2），，
利用正弦函数的性质知
因为方程在上有解，所以实数a的取值范围为
19．已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）0；（2）.
【详解】
（1），解得，，
因为是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，
所以.
所以.
（2）因为，是第三象限角，
所以，解得.
所以.
20．函数（、、常数，，，）的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）由图可知，，
设函数的最小正周期为，则，，则，
，
由图象可知，，
，，，，
因此，；
（Ⅱ）由题意可得，
由，得.
因此，函数的单调递减区间为.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求；
(2)求函数在上的解析式；
(3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
(1)
；
(2)
是定义在上的奇函数，
且，
当时，，
，
又满足，
；
(3)
由（1）可得图象如下图所示：
在区间上单调递增，
，解得：，
实数的取值范围为：.
22．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，，
，由，可得，解得，
即当时，函数的零点为；
（2）令，即求在区间上的最大值．
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，.
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