开学考试数学试题答案
1-8.ADDAA CBC 9-12.ACD,BD,ABD,BD
13. 14. 15. (1,3] 16. ；①②
17、(1)2cosA(c cosB b cosC ) a ，整理得：2cosA(sinC cosB sin B cosC ) sin A，
则2cosAsin B C sin A，即2cosAsin A sin A，
又 ， sin A 0，所以 cosA 1 ，所以 ；
2
(2)解：由于 ， ，
所以 ，在 中， AO 3 ，所以 ，
sin ABO sin 120 AO 2 3 sin ABO
1 AO AO
在 中， ，
sin 150 sin ACO sin(30 ABO)
所以AO 2 sin(30 ABO)，2 sin(30 ABO) 2 3 sin ABO，
整理得： cos ABO 3 3 sin ABO ，故 t an ABO 3 ．9
18、 设等差数列 的公差为 d，因为 ，则
因为 ，则 ，得
所以数列 的通项公式是
因为 ，则
所以 …
当 时，因为 ，则 ，
当 时，因为 ，则 ，
因为 … ，则 … ，即 ，
即 ，即 ，因为 N ，所以
19、 因为直线 平面 ABFE，故点 O在平面 ABFE内，也在平面 ADE内，
所以点 O在平面 ABFE与平面 ADE的交线 即直线 上，延长 EA，FM交于点 O，连接 OD，如图
所示.因为 ，M为 AB的中点，所以 ≌ ，
所以 ， ，故点 O在 EA的延长线上且与点 A间的距离为 2，
1 / 3
连接 DF交 EC于点 N，因为四边形 CDEF为矩形，所以 N是 DF的中点.
连接 MN，则 MN为 的中位线，所以 ，
又 平面 EMC， 平面 EMC，所以直线 平面
如图，由已知可得 ， ，又 ，EA， 平面 ADE，
所以 平面 ADE，且 ， 平面 ABFE，
所以平面 平面 ADE，因为 ， ，
所以 为等边三角形，取 AE的中点 H，连接 DH，则 ，
而平面 平面 ADE，平面 平面 ， 平面 ADE，
所以 平面 ABFE，过点 H作直线 ，以为坐标原点，以
分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，所以 ，
设 ，则 ，设平面 EMC的法向量为 ，
即 ，取 ，则 ， ，所以平面 EMC的一个法向量为
，要使直线 DE与平面 EMC所成的角为 ，
uuur
则 | cos DE,mr 8 | sin 60 3 ，
2 t 2 8 t
2
4 ( )2
3
即 ，整理得 ，解得 或
所以存在点 M，使得直线 DE与平面 EMC所成的角为 ，
该点为线段 AB上靠近 A或 B的一个 4等分点。
n
20.（1）由题意可得 2n 1 120 22n 1，故 2 16 2n 15 0，故2n 16，解得 n 4．
1 x 2n 1 x 8 4 4 4，展开式中二项式系数最大的项为T5 C8 x 70x ；
1
n
1
4 r
4 r 1
（2） x r r 2 r x
x ，其展开式的通项为Tr 1 C4 x C4 x ，
x x
2 r 0 r = 2 p C2令 ，得 .∴常数项 4 6，
令 x 1，可得展开式中所有项系数的和为 q 24 16，∴ p q 22．
21． 因为双曲线 E： 为等轴双曲线，所以 ，
设双曲线的焦距为 2c， ，故 ，即 因为 BC过右焦点 F，且垂直于 x轴，
将 代入 ，可得 ，故
2 / 3
又 的面积为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故双曲线 E的方程为 ；
依题意，直线 l： 与双曲线 E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组 消去 y可得， ，
所以 解得 ，且 ，
所以
联立方程组 得 ，同理 ，
所以
所以 ，其中 ，所以 .
22. ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 时， 取得最小值 ；
，
在 处的切线方程为 ，
， g(x) ln x b在点 (n, ln n b) 1处的切线方程为y x ln n b 1，
n
1
em 1
由题意得 n ，则 ，
(1 m)e
m 1 ln n b 1
令 ，则 ，由 得 时， 单调递减，
且 ，当 时， 单调递增，又 ， 时， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递减，
由 得 ，
又 ，
，所以函数 在 和 内各有一个零点，
故当 时，总存在两条直线与曲线 与
3 / 3沅陵县第一中学 78 届高二下学期开学考试
数学试题
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1、如图，阴影部分表示的集合是
A. (CUB)∩ A B. (CU A)∩ B C.CU (A∩ B) D.CU (A∪ B)
2、 i为虚数单位，复数 z满足 z(2 i) i2022，则下列说法正确的是
1 2 1 1
A. | z | B. z i C. z的虚部为 i D. z在复平面内对应的点在第三象限
5 5 5 5
3、为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植。为了解果树树苗
的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了 100株，进行高度测量，并将高度数据制
作成了如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都
是 ，用样本估计总体，则下列描述正确的是
A. 甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐
B. 乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐
C. 甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐
D. 甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐
4、我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数
a
的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数 f (x) x2 (a R)的图像不可能是
| x | . . .
A. B. C. D.
5 2 2 1 cos2 、倾斜角为 的直线 l : y kx 2与圆 x (y 1) 1相切，则 的值为
cos( )
2
1 / 4
4 2 4 2 4 3 4 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
ABCD BAD 120 6、已知菱形 的边长为 2， ，点 E、F 分别在 BC、DC 上，
BC 3BE,DC 2DF ,则 AE AF
A. 2 B. 2 C.1 D. 1
7、函数 f (x) 定义域为 R ， f (x 1)为奇函数， f (x 2)为偶函数，当 x [1,2]时，
f (x) ax2 b，若 f (0) f (3) 6，则 f (9)
2
9 5 7 3
A. B. C. D.
4 2 4 2
x2 y2
8、已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别是 F1,F2 ,上顶点为 A，抛物线 E的a b
顶点为坐标原点，焦点为 F2，若直线 F1A与抛物线E交于 P,Q两点，且 | PA | |QA | 4a ，
则椭圆C的离心率为
1 2 15 3
A. B. C. D.
2 2 5 2
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0
分.
9、若 ab 0，则下列不等式恒成立的是
a2 1 1 b aA. b2 2ab B. a b 2 ab C. (a )(b ) 4 D. 2
a b a b
10、已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | )的最大值为 2，其图像相邻的
2
两条对称轴之间的距离为 ，且 f (x)的图象关于点 ( ,0)对称，则下列结论正确的
2 12
是
5
A.函数 f (x)的图象关于直线 x 对称
12
B.当 x [ , ] 2时，函数 f (x)的最小值为
6 6 2
3 2 4 4
C.若 f ( ) ,则 sin cos4
6 5 5
D.要得到函数 f (x)的图象，只需要将 g(x) 2 cos 2x的图象向右平移 的单位
6
2 / 4
11、已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，M 为 AA1的中点，平面 过点D1且与CM
垂直，则
A.CM 9 BD B. BD∥ C.平面C1BD∥ D. 截正方体所得截面面积为 2
2
12、关于函数 f (x) ln x，下列判断正确的是
x
A. x 2是 f (x)的极大值点
B.函数 y f (x) x有且只有一个零点
C.存在正实数 k，使得 f (x) kx成立
D.对任意两个正实数 x1, x2，且 x1 x2，若 f (x1) f (x2 )，则 x1 x2 4
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
4
13、设曲线 y x ln x在点 (1,0)处的切线与曲线 y 在点P处的切线垂直，则点P
x
的横坐标为 .
14、从如图 12 个点中任取三点，能构成三角形的概率为 .
a x , x 0
15、已知函数 f (x) 是 ( , )上的增函数，那么实数 a的取值范
ax 3a 8, x 0
围是_________．
p
16、已知 F为抛物线C : y2 2px( p 0)的焦点，点K ( ,0)， P为抛物线上一点， (1)
2
过点 K作抛物线的切线，则切线的斜率是__________； (2)以下说法正确的是__________.
① 的最大值为 ② t an PKF sin PFK; ③
四、解答题：本题共 2 小题，每小题 10分，共 20分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
17、（10 分）在三角形 ABC中，2cosA(c cosB b cosC ) a ，
（1）求角 A；
O ABC AOB 2 （2）若 是△ 内一点， , AOC 5 ,b 1,c 3，求 tan ABO .
3 6
18、（本题 12分）设等差数列 的前 n项和为 ，已知 ，
求数列 的通项公式;
设 ，数列 的前 n项和为 定义 为不超过 x的最大整数，例如 ，
当 时，求 n的值.
3 / 4
19、（本题 12分）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，E，F分别为 AD，BC的中点，
将正方形 ABCD沿 EF折成如图 2所示的二面角，且二面角的大小为60 ，点 M在线段 AB
上 包含端点 运动，连接
若 M为 AB的中点，直线 MF与平面 ADE的交点为 O，试确定点 O的位置，并证明直线
平面 EMC；
M DE EMC 60 是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，确定出 M点位置；
若不存在，请说明理由．
1
20.（本题 12分）已知 ( x )n 的展开式中偶数项
x
二项式系数和比 (1 x)2n展开式中奇数项二项式系数和小 120.
（1）求 (1 x)2n展开式中二项式系数最大的项；
1
（2）设 ( x )n 展开式中的常数项为 p，展开式中所有项系数的和为 q，求 p q .
x
2 2
21（．本题 12分）如图，在平面直角坐标系 xOy x y中，已知等轴双曲线 E： 1(a 0, b 0)
a 2 b2
的左顶点为A，过右焦点F且垂直于 x轴的直线与E交于B，C两点，若 ABC的面积为 2 1
求双曲线 E的方程；
若直线 l：y kx 1与双曲线 E的左，右两支分别交于 M，N
MN
两点，与双曲线 E的两条渐近线分别交于 P，Q两点，求 的
PQ
取值范围．
22. （本题 12分）设函数 ，g(x) ln x b，其中 a， .
设 ，当 时，求 的最小值；
证明：当 ， 时，总存在两条直线与曲线 与 都相切；
4 / 4
