2021-2022学年度初中数学北师大版八年级下册4.3因式分解- 公式法 同步练习（word版、含答案）

初中数学北师大版八年级下册第四章第三节 公式法 同步练习
一、单选题
1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．4x2+y2 B．-4x2-y2 C．-4x2+y2 D．-4x+y2
2．因式分解： （　　）
A． B．
C． D．
3．下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
4．若a，b，c分别是 ABC的三边长，且满足a2﹣2ab+b2＝0，b2﹣c2＝0，则 ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．a4b－6a3b+9a2b分解因式的正确结果是（　　）
A．a b（a －6a+9） B．a b（a+3）（a－3）
C．b（a －3） D．a b（a－3）
6．若一个三角形的三边长为a,b,c,且满足a2-2ab+b2+ac-bc =0,则这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A．2560 B．490 C．70 D．49
8．如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．分解因式：7a2﹣63＝　 　
10．4x2-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　
11．已知x+y＝2，则 （x2+2xy+y2）的值为　 　.
12．下列因式分解正确的是　 　（填序号）
①；②；③；④
13．由多项式与多项式相乘的法则可知：
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．
请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝　 　．
14．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为　 　．
15．在实数范围内因式分解：x2﹣3＝　 　，3x2﹣5x+2＝　 　．
16．观察下列各式：
(x 1)(x+1)=x 1
(x 1)(x +x+1)=x 1
(x 1)(x +x +x+1)=x 1…
根据以上规律， 求1+2+2 +…+ 　 　.
三、计算题
17．因式分解
（1）
（2）
18．计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
19．利用因式分解进行计算
（1）
（2）
四、解答题
20．分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）（a2+4）2﹣16a2
21．第一环节：自主阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2+2x-4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2-4y2+2x-4y
=(x2-4y2)+(2x-4y) ……分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法。
第二环节：利用这种方法解决下列问题。
因式分解：x2y-4y-2x2+8．
第三环节：拓展运用。
已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．
22．如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
五、综合题
23．先阅读，再解答下列问题.
已知（a2+b2）-8（a2+b2）2+16=0，求a2+b2的值.
错解：设（a2+b2）2=m，
则原式可化为m2-8m+16=0，
即（m-4）2=0，解得m=4.
由（a2+b2）2=4，得a2+b2=±2
（1）上述解答过程错在哪里？为什么？
（2）请你用上述方法分解因式：（a+b）2-14（a+b）+49
24．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式：　 　.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
25．（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用.
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式.
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式.
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式.
（3）若a、b、c分别是 ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断 ABC的形状，并说明理由.
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.
答案解析部分
1．C
2．C
3．A
4．D
5．D
6．C
7．B
8．C
9．7（a﹣3）（a+3）
10．5或﹣3
11．2
12．①④
13．
14．
15．；（3x-2）（x-1）
16．22018-1
17．（1）解：原式
（2）解：原式
18．（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
19．（1）解：原式
（2）解：原式
=3+7+11+15+19
=55
20．（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式 ．
21．解：第二环节：x2y﹣4y﹣2x2+8
＝（x2y﹣4y）﹣（2x2﹣8）
＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x+2）（x﹣2）
b2+2ab＝c2+2ac，
第三环节：
b2﹣c2﹣2ab﹣2ac＝0，
（b+c）（b﹣c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，
即b＝c，
所以，△ABC是等腰三角形
22．证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n
=3n 32-2n 22+3n-2n
=3n(32+1)-2n(22+1)
=10 3n-10 2n-1
=10(3n-2n-1).
∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
23．（1）解：错误：设（a2+b2）2=m，应注意m≥0，且a2+b2≥0，所以由（m-4）2=0，解得m=4由（a2+b2）2=4，得a2+b2=2.
（2）解：设a+b=m，则原式可化为m2-14m+49，即（m-7）2.
∴（a+b）2-14（a+b）+49=（a+b-7）2.
24．（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
故答案为：50
（3）解：根据题意作图如下：
25．（1）解：x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9.
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）.
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形.
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.
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