2021-2022学年度初中数学北师大版八年级下册1.4角平分线 同步练习（word版、含答案）

初中数学北师大版八年级下册第一章第四节 角平分线 同步练习
一、单选题
1．如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则点 到 边的距离为（　　）
A．3 B． C．2 D．3
2．如图， 是 的平分线， 于点E， ，则 长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（　　）
A．3 B．10 C．15 D．30
4．用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（　　）
A．46° B．52° C．56° D．62°
5．如图，AD是的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为　 　cm2
9．如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于 FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是　 　．
10．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则　 　．
11．如图，AD平分∠BAC，DEAB，DF⊥AB．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为　 　．
12．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是　 　．
13．在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使 ，再分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为　 　．
14．如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是　 　．
三、作图题
15．如图，已知点 和 ，求作一点 ，使 到点 的距离相等，且到 的两边距离相等
四、解答题
16．如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分 ．
17．太和中学校园内有一块直角三角形（Rt ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在 ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
18．已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE＝10cm，AB＝6cm，求CE的长.
19．如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
五、综合题
20．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
21．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一动点，连结AD.
（1）如图1所示，若BD = 2，DC = 4，求AD的长.
（2）如图2所示，以AD为边作∠ADE =∠ADF =60°，分别交AB，AC于点E，F.
①小明通过观察、实验，提出猜想:在点D运动的过程中，始终有AE = AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法.
想法1:利用AD是∠EDF的平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证.
想法2:利用AD是∠EDF的平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE =AF（一种方法即可）.
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现:四边形AEDF的面积与AD的长存在一定的关系.若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的函数表达式.
答案解析部分
1．A
2．A
3．C
4．C
5．C
6．C
7．D
8．6
9．125°
10．26°
11．4
12．20
13．3
14．①②
15．解：∵P点到点M、点N的距离相等，
∴P点一定在MN的垂直平分线上，
∵P点到 的两边距离相等，
∴P点一定在 的角平分线上．
即作MN的垂直平分线，再作 的角平分线，交点即为点P．
作图如下：
16．证明：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
17．解：过点 分别作 ， 是垂足．
由 ，得 ， ，
是 的平分线，
．
18．解：如图，连接AP、CP，
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，
在△BPD和△BPE中，
，
∴△BPD≌△BPE（AAS），
∴BD＝BE，
又∵BE＝10cm，AB＝6cm，
∴AD＝BD﹣AB＝BE﹣AB＝4cm，
∵PQ垂直平分AC，
∴PA＝PC，
在RT△PAD和RT△PCE中，
，
∴RT△PAD≌RT△PCE（HL），
∴CE＝AD＝4cm.
19．解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
20．（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）解：在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
21．（1）解：如图，过点A作BC的垂线AG，交BC于点G，
∵BD=2，DC=4，
∴BC=6.
∵△ABC是等边三角形，AGBC，
∴AB=BC=6，BG=BC=3，
∴DG=BG-BD=3-2=1，
∴AG=，AD=.
（2）解：①想法1：如图，过A作AMDF于点M，作AHDE，交DE的延长线于点H，
∵AD平分∠EDF，AHDE，AMDF，
∴AH=AM.
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°.
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°，且∠AED+∠AEH=180°，
∴∠AEH=∠AFD且AH=AM，∠H=∠AMF=90°，
∴Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴AE=AF.
想法2：延长DE至N，使DN=DF.
∵DN=DF，AD=AD，∠ADE=∠ADF=60°，
∴△ADN≌△ADF，
∴AN=AF，∠AFD=∠N.
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°.
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°且∠AED+∠AEN=180°，
∴∠AEN=∠AFD，
∴∠AEN=∠N，
∴AN=AE=AF.
②
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