一、说教材
１、地位和作用。
本节课是华师大版九年级数学下册第二十八章《圆》§28．2切线的第二节课,研究的是切线长定理，是在学生已经学习了切线的定义、判定与性质的基础上提出的,它简单明了、应用广泛，可以推出较多的结论。它再次体现了圆的对称性，既是前面所学知识的应用，又是今后求证线段、角、弧等的重要工具，所以它在教材中处于重要的位置。
2、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，特制定如下教学目标：
知识目标：1、使学生理解切线长定义。
2、使学生掌握切线长定理，并能初步运用。
能力目标：通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识。
情感目标：通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功。
重点与难点
本节的教学重点是切线长定理及初步应用，由于定理的运用既要求学生有较强的审题能力，又需要具备一定的逻辑思维能力，这对于学生有一定的难度，所以它也是本节的难点。本节课另一个难点是切线长定理的归纳。学生在观察后可以叙述内容，但语言可能是不规范的。为了更好的解决重、难点，我运用了多媒体来辅助教学。
二、说教法
教学有法，教无定法，有法，即教育教学的一般方法是有规律可循的；无法，即课堂教学实践中固有的不变的教学方法是没有的。新课程标准强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师要改变教学方式，多研究学生，上课时多倾听学生，多关注学生的即时反映，激发学生的学习积极性，而不是一心只盯着教学内容的讲解，考虑到本节教材的特点和学生现有的水平，我认为本节应根据学生对问题的领悟程度，灵活地选择和调整教法，以启导为基本原则，以自学为主要方式，引导他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握切线长定理及其它初步应用的方法，多角度、多侧面地展开教学。所用教具有：三角板、圆规、多媒体。
三、说学法
1、学情分析
这一时期的初三年的学生已经具备了一定程度的观察能力和抽象思维能力，也比较能迅速地进入教学中构造的情境中来，能通过合作学习来达到更好的学习效果，但语言概括能力还不够强，概括起来还不够细致准确。
2、学法分析
现代教学论认为，促进学生能力的提高，实施素质教育的关键是教给学生学习的方法和策略，使学生实现由“学会”到“会学”的质的飞跃。本节课的设计重点是培养学生自学、讨论、交流的学习方法,引导学生逐渐养成类比、归纳、猜想的思维品质，给学生展示自己思维过程提供必要的时间与空间，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索发现、创造的乐趣。所用学具有；三角板、圆规。
四、说教学过程
(一)复习引入
提问：
1、圆的切线的性质与判定定理。
2、过圆外一点P画已知圆的切线，
能画几条？
（学生画图，口答，教师黑板画图，经过圆外一已知
点可作圆的两条切线。)
设计意图:复习旧知识,引导学生回答出这两条切线都是直线, 且这两条切线都垂直于过切点的半径,为切线长定理的引入埋下伏笔。
(二)情景引入
《课标》指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系”根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情景，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中。
问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢?
教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB,OA,
则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB。
如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？
(三)探求新知
由实验、观察等方法得出的猜想的正确性需要进一步验证。
1、提出问题
如图，PA为⊙O的一条切线，点A为切点，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，
所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合。设与点A重合的点为点B，
这里，OB是⊙O的一条 ，PB是⊙O的一条 。
图中PA与PB、∠APO与∠BPO
有什么关系？
我们把圆的切线上某一点与切点之间的
线段的长叫做这点到圆的切线长。 图中，
线段PA与PB都是P点到⊙O的切线长。
2、动手实验，验证猜想
问题提出后，学生众说纷纭，争论不休，这样创设猜测情景，每个学生很容易参入到教学内容上，本环节采用诱思探究、类比法。引导学生得出切线长的概念，并说明它与切线的联系与区别。通过学生动手操作实验、折叠，引导学生猜想出：PA=PB，∠APO=∠BPO并证明。教师板演证明过程，分为一动一静两种证明方法：
1、动：利用圆的对称性，通过折叠，即可证明PA=PB，∠APO=∠BPO；
2、静：证明全等：已知PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，求证：PA=PB，∠APO=∠BPO。
证明：连结OA和OB
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
同理OB⊥PB
∵OA=OB，OP=OP
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（H.L），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO。
猜想成立。
3、归纳定理
阅读教材第43页黑体字“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。”这一结论通常叫做“切线长定理”。
4、深入思考 联想建构
思考：若连接AB，你还能得出那些结论？这时完全放手让学生完成，教师也参与到学生中，接着全班学生进一步相互交流、学习借鉴，并验证其正确性，使学生探索成果得到展示机会，体验成功的喜悦；这时学生思维最活跃，教师可进一步引导学生得到更多的结论：OP垂直且平分AB，∠AOP=∠BOP，∠AOB+∠APB=180°, △ABP为等腰三角形等，并证明。
这一环节，思路由学生讲，规律让学生找，结论让学生得，错误让学生分析，让学生通过讨论，集思广益，取长补短，充分发挥学生的主体作用。教师引导学生思考，切线长定理有何用途？如何用几何符号语言表示呢？
（四）课堂练习
例1、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别
和⊙O切于A、B，DE也是⊙O的切线，切点为C，
PA=4cm，求△PDE的周长。
投放例题1后，让学生分析问题后，提出问题：
1、从图中可得出哪些结论？请说明理由。
2、求△PDE的周长时，应如何利用已知条件？
提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题2是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成例2，并让学生进行题后小结。
现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？
例2、为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了
如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，
按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的
半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？
（引导学生连结OA、OB、OP，利用切线长定理解答）
本环节加深了学生对知识的理解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、自主探索、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构切线长，并利用切线长定理解答问题。
（五）、关注差异 分层练习 巩固提高
A层：由例1进行变式训练。
变式一：由于切线长定理的运用是本节
的难点，为了化解难点，在例
题完成后，将例题加以变式训
练，将切线DE平移到圆的另一侧，
即：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，DE也是⊙O的切线，切点为C交PA、PB于D、E， PE=14厘米，PD=9厘米，
DE=13厘米，求PA，AD和BE的长。
（教材第45页练习2）
B层：1、如图，PA、PB切⊙O
于A、B， ⊙O的半径为，
∠APB=60 °，求PO、PA、AB、OC的长。
2、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．
C层：如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PB切⊙O于B，C为弧上一点，MN为过点C的切线，分别交PA，PB于M、N点，若∠P=40°，则
∠MON= 。
A、60 ° B、70 ° C、80 ° D、90 °
A层 课本45页的练习题2，意在让多数学生参与，巩固知识。
B层是切线长定理引申后的应用，意在培养学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力。
C层 意在培养学生的化归思想，由学有余力的学生来完成。
思考：
⊙O的半径为4，点P到圆心的距离为8，过P作⊙O的两条切线，则这两条切线的夹角为 。
本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！
(六)课堂小结
为让学生形成知识网络，完善认知结构，小结时引导学生参与总结，在引导学生针对以下问题，反思自己学习过程：
1、你的学习心得、体会是什么？
2、你有哪些好的经验可推广？
3、你还存在哪些困难、疑问？
提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标。
(七)作业设置
为使不同的学生得到不同的发展，作业设置分为
两个层次：
A层： 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
C是上任意一点，过C作⊙O的切线，交PA及
PB于D、E两点，已知∠P=50°，
PA=PB=6cm，则∠DOE= ，
△PDE的周长是 。
B层：1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，
A、B为切点，C为 上一点，设∠APB= 。
求证：∠ACB=90°+。
本题主要运用切线的性质和圆周角定理及
四边形的内角和进行解答。
2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，PO交AB于E，等式①AE=BE；②AO2=OE·OP；③∠OAB=∠APB；④PA=PB中，成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
教学评价
新课程改革的宗旨是为了每一个学生的发展，而教育教学中，学生发展的主渠源于课堂教学，所以本节课，通过创设情景，提出问题，引导学生去探究、操作，从而探讨出切线长的概念及切线长定理，充分发挥学生的主体性，从而达到了生生互动、师生互动这一新理念。
在教学中， 可能出现三个问题：
（1）学生难于适应由生动、具体、形象向抽象、概括的思维转变。
（2）学生从例题2中解析图形的速度较慢，造成所用时间较长。
（3）如何最大限度的照顾学生的个体学习差异，让每个学生都充分理解定理，提高课堂效率。
课件42张PPT。切线长定理 说教材
说教法
说学法
说教学过程
教学评价切线长定理一、说教材１、地位和作用
2 、教学目标１、地位和作用 本节课是华师大版九年级数学下册第二十八章《圆》§28.2切线的第二节课,研究的是切线长定理，是在学生已经学习了切线的定义、判定与性质的基础上提出的,它简单明了、应用广泛，可以推出较多的结论.
它再次体现了圆的对称性，既是前面所学知识的应用，又是今后求证线段、角、
弧等的重要工具，所以它在教材中处于
重要的位置.2、教学目标知识目标：
能力目标：
情感目标：知识目标：使学生理解切线长定义.
使学生掌握切线长定理，
并能初步运用.能力目标：通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.情感目标：
通过分析问题、解决问题的过程，
激发学生学数学的兴趣，
使学生积极参与、体验成功.
重点与难点教学重点:切线长定理及初步应用
教学难点:
切线长定理及初步应用,
切线长定理的归纳.二、说教法 本节应根据学生对问题的领悟程度，灵活地选择和调整教法，以启导为基本原则，以自学为主要方式，引导他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握切线长定理及其初步应用的方法，多角度、多侧面地展开教学.
所用教具有：三角板、圆规、多媒体.三、说学法学情分析
学法分析1、学情分析这一时期的初三年的学生已经具备了一定程度的观察能力和抽象思维能力，也比较能迅速地进入教学中构造的情境中来，能通过合作学习来达到更好的学习效果，但语言概括能力还不够强，概括起来还不够细致准确.2、学法分析本节课的设计重点是培养学生自学、讨论、交流的学习方法,引导学生逐渐养成类比、归纳、猜想的思维品质，给学生展示自己思维过程提供必要的时间与空间，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索发现、创造的乐趣.
所用学具有：三角板、圆规.四、说教学过程(一)复习引入 (二)情景引入
(三)探求新知 (四)例题讲解
(五)关注差异 分层练习 巩固提高
(六)课堂小结 (七)作业设置
(一)复习引入提问：
1、圆的切线的性质及判定定理.
2、过圆外一点P画已知圆的切线，能画几条？
设计意图:复习旧知识,引导学生回答出这两条切线都是直线,且这两条切线都垂直于过切点的半径,为切线长定理的引入埋
下伏笔.(二)情景引入 问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?
这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭, 可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆相切构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢? 教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB相切的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.
如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？ (三)探求新知1、提出问题
2、动手实验，验证猜想
3、归纳定理
4、深入思考 联想建构1、提出问题 如图，PA为⊙O的一条切线，点A为切点，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合.设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条 半 径 ，PB是⊙O的一条 切线 .图中线段PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？
我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 如图,线段PA与PB都是P点到⊙O切线长. 2、动手实验，验证猜想通过学生动手操作实验、折叠，引导学生猜想出：PA=PB，∠APO=∠BPO并证明，教师板演证明过程，分为一动一静两种证明方法：2、动手实验，验证猜想1、动：利用圆的对称性，通过折叠，即可证明PA=PB，
∠APO=∠BPO；
2、动手实验，验证猜想2、静：证明全等：
已知PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别为A,B，
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：连结OA和OB
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
同理OB⊥PB
∵OA=OB，OP=OP
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（H.L），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
3、归纳定理阅读教材第43页黑体字
“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.”
这一结论通常叫做“切线长定理”.4、深入思考 联想建构 思考：若连接AB，你还能得出那些结论？
这时学生思维最活跃，
教师可进一步引导学生得到更多的结论：
OP垂直且平分AB，
∠AOP=∠BOP，
∠AOB+∠APB=180°，
△ABP为等腰三角形等，并证明. 这一环节，思路由学生讲，规律让学生找，结论让学生得，错误让学生分析，让学生通过讨论，集思广益，取长补短，充分发挥学生的主体作用.教师引导学生思考，切线长定理有何用途？如何用几何符号语言表示呢？ （四）例题讲解例1、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，DE也是⊙O的切线，切点为C，PA=4cm，求△PDE的周长.
让学生分析问题后，提出问题：
1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.
2、求△PDE的周长时，应如何利用已知条件？（四）例题讲解提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统.
问题2是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成例1，并让学生进行题后小结.
（四）例题讲解 例2、为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？
（引导学生连结OA、OB、OP，利用切线长定理解答）（四）例题讲解 本环节加深了学生对知识的理解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、自主探索、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构切线长，并利用切线长定理解答问题.（五）关注差异 分层练习 巩固提高A层：由例1进行变式训练.
变式：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成后，将例题1加以变式训练，将切线DE平移到圆的另一侧.
即：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，DE也是⊙O的切线，切点为C交PA、PB于D、E，PE=14厘米，PD=9厘米，DE=13厘米，求PA，AD和BE的长.
（五）关注差异 分层练习 巩固提高 B层：
1、如图，PA、PB切⊙O于A、B， ⊙O的半径为 ，
∠APB=60 ° ，
求PO、PA、AB、OC的长.
（五）关注差异 分层练习 巩固提高2、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．（五）关注差异 分层练习 巩固提高C层：如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PB切⊙O于B，C为弧 上一点，MN为过点C的切线，分别交PA，PB于M、N点，若∠P=40°，则∠MON= .
A、60 ° B、70 ° C、80 ° D、90 ° A层课本45页的练习题2，意在让多数学生参与，巩固知识.
B层是切线长定理引申后的应用，意在培养学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力.
C层意在培养学生的化归思想，由学有余力的学生来完成.思考： 本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！ ⊙O的半径为4，点P到圆心的距离为8,
过P作⊙O的两条切线，则这两条切线的
夹角为 .
(六)课堂小结1、你的学习心得、体会是什么？
2、你有哪些好的经验可推广？
3、你还存在哪些困难、疑问？ 提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标.(七)作业设置为使不同的学生得到不同的发展，
作业设置分为两个层次：
A层：
1、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
C是上任意一点，过C作⊙O的切线，
交PA及PB于D、E两点，已知∠P=50°，PA=PB=6cm，则∠DOE= ，
△PDE的周长是 .B层：1、如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为 上一点，设∠APB= .
求证：∠ACB=90°+
本题主要运用切线的性质和圆周角定理及四边形的内角和进行解答.B2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，PO交AB于E，等式①AE=BE；②AO2=OE·OP；
③∠OAB= ∠APB；④PA=PB中，
成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个五、教学评价 新课程改革的宗旨是为了每一个学生的发展，而教育教学中，学生发展的主渠源于课堂教学，所以本节课，通过创设情景，提出问题，引导学生去探究、操作，从而探讨出切线长的概念及切线长定理，充分发挥学生的主体性，从而达到了生生互动、师生互动这一新理念.在教学中， 可能出现三个问题： （1）学生难于适应由生动、具体、形象向抽象、概括的思维转变.
（2）学生从例1中解析图形的速度较慢，造成所用时间较长.
（3）如何最大限度的照顾学生的个体学习差异，让每个学生都充分理解定理，
提高课堂效率.
再见谢谢大家的指导！
