第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试-2021-2022学年高二下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析）

2021-2022学年新人教A版选择性必修第二册
第五章《一元函数的导数及其应用》单元测试
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1、函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．0 C．－2 D．－72
2、函数的单调递增区间是
A. B.(0,1) C. D. (-1,+)
3、若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4、设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图，则导函数的图象可能是
5、若函数在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数的取值范围是
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
6、设，若函数，，有大于零的极值点，则
A． B． C． D．
7、已知为自然对数的底数，过原点与函数图像相切的直线方程为
A. B. C. D.
8、已知函数 若函数在R上有零点，则实数的取值范围为
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D． (－∞，1]∪(，＋∞)
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9、下列求导运算正确的是
10、设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数在(－∞，－2)上递减，在(2，+∞)上递减
B．函数在(－∞，－2)上递增，在(2，+∞)上递增
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
11、已知幂函数，为的导函数，在区间[0，1]上图象如图所示.对满足：的任意、，给出下列结论，正确的有（ ）
A、 B、
C、 D、
12、已知函数，有下列四个结论，正确的有（ ）
A、函数是奇函数；
B、函数在是单调函数；
C、当时，函数恒成立；
D、当时，函数有一个零点，
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，
那么物体在秒末的瞬时速度是 米/秒
14、曲线在点处的切线方程为 .
15、函数的极大值是 ．
16、设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
三 解答题（共6小题，共计70分）
17、（10分）已知函数在＝1时取得极值．
(1)求的值；
(2)求的单调减区间．
18．（12分）设，．
(1)当时，求在点（1,1）处的切线方程。
(2)如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数，且当时，取得极值．
⑴求的取值；
⑵求在区间上的最值．
20、（12分）当时，函数（）有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．
21、（12分）已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间;
（2）证明：当时，.
22、（12分）已知函数．
（1）若的极值为0，求实数的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1、B 2、D 3、B 4、C 5、D 6、A 7、C 8、D
8、【解析】＝0时，
，得：，
＝0，得：，
所以，，
令，则＞0，所以，为增函数
画出图象如下图，
函数在R上有零点，等价于：与的图象有交点，
由图可知：的取值范围为
9、BD 10、BD 11、BC 12、CD
13、5 14、 15、1
16、
17．解析：(1)依题意，得
由于为函数的一个极值点，
则，得．…………………………4分
(2) ①当时，，不等式的解集为； ………………………6分
②当时，，不等式的解集为； ………………………8分
综上，当时，的单调减区间为（1，）；
当时，的单调减区间为（，1）…………………10分
18、解：(1)当时，………1分
………2分
函数在处的切线的斜率 ，又切点为………3分
所以在处的切线方程为………4分
(2) 对于函数，
，
令，得或 ………5分
当变化时，变化情况如下表：
2
递减 极（最）小值 递增 1
由上表可知： ，………7分
所以在区间上，的最大值为.
因此，原问题等价于当时，恒成立
等价于恒成立，………7分
记，， ………9分
记，，由于，
, 所以在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，………11分
所以. 12分
19、解：（1）（1分）
∵当时，取得极值
∴即3+2a-1=0（3分）
∴（4分）
(2)由（1）得
则（5分）
令则（6分）
x
—
递增 极大值 递减 极小值 递增
∴在，单调递增，在单调递减。（8分）
的极大值为 的极小值为（9分）
，（10分）
∴在区间上的最大值为3，最小值为0。（12分）
20、解：（Ⅰ）…………1分
由题意得：，解得
∴此时函数解析式为，…………3分
经验证，函数在处有极值，
故函数解析式为.…………4分
（Ⅱ）令，由（1），
…………5分
令得，
∴当时，，当时，，当时，因此，当时，有极大值，…………7分
当时，有极小值，…………9分
关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，
…………11分
．…………12分
21、解析：（1）函数的定义域是：
所以函数的定义域是：…………1分
因为，解得，
解得，，
解得，，…………2分
所以，的单调增区间是：，单调减区间是.…………4分
（2）定义域是，
其导函数，又，…………5分
又
所以在单调递增，，…………6分
又，所以恒成立，
存在，使得，，…………7分
当，有唯一的零点，不妨记为，
则， ，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，…………9分
欲证，
即证：，
又，故
即证：，又因为，故
即证：，又，…………11分
即证：
即证：，因为，
所以成立，故.…………12分
22、解：（1）由题得 …………1分
①当时，恒成立
∴在上单调递增，没有极值. …………2分
②当时，由，得 …………3分
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增 …………4分
∴在时取到极小值，∵的极值为0 ∴ …………5分
∴即 ∴ …………6分
（2）由题得对于恒成立
∴对于恒成立 …………7分
令，原问题转化为， …………8分
又，令，则在上恒成立
∴在上单调递增 …………9分
∴
∴ ∴在上单调递增 …………10分
∴ …………11分
∴ …………12分