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3.2图形的旋转
一、单选题
1．下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动 B．拧开冰红茶瓶盖 C．一轮红日缓缓升起 D．空中下落的硬币
2．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（ ）
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
3．下面四个图案中，旋转90°后能与自身重合的图案的个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，将三角形绕点A旋转到三角形，下列说法正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，把是直角的绕点A按顺时针旋转，把点B转到点E得，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是【 】
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
7．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=DB B．∠CBD=80° C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE
8．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若正方形旋转后能与正方形重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使．设旋转角为，则符合，满足的关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．旋转的性质是对应点到旋转中心的__________相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__________；旋转前、后的图形之间的关系是__________．
12．如图，紫荆花图案至少要绕它的中心旋转___度，才能和原来的图形重合。
13．如图，为等边三角形，边长为，D为的中点，是绕A顺时针旋转得到的，则______cm，若连接，则为__________三角形．
14．如图，是等腰直角三角形，D是上一点，经旋转后到达的位置．
（1）旋转中心是__________，旋转的度数是__________；
（2）若已知，则__________，__________；
（3）如果连结，那么是__________三角形．
15．点的坐标为，现将线段绕着点逆时针旋转60°得到线段，则坐标为________．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为1，将ABC绕P点逆时针旋转至，使点B′恰好落在y轴上，则旋转中心P的坐标是____．
17．如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠C=∠AED=，点E在AB上，∠D=.如果△ABC经顺时针旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______，旋转了______度
18．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论是(填序号)______．
三、解答题
19．在下图中，画出线段绕点A按顺时针方向旋转后的线段．
20．如图，绕点C旋转后，顶点A旋转到了点D．
（1）指出这一旋转的旋转角；
（2）画出旋转后的三角形．
21．如图，D 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 60°恰好得到 ，其中，是对应点，若 ，求 的度数．
22．如图所示的“鱼”是将坐标为的点用线段依次连接而成的．将这条“鱼”绕原点O按顺时针方向旋转．
（1）画出旋转后的新“鱼”；
（2）写出旋转后新“鱼”各“顶点”的坐标．
23．画一个，其中，分别画出按如下条件旋转或平移后的图形：
（1）以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转；
（2）以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转；
（3）取外一点P为旋转中心，按逆时针方向旋转；
（4）将平移，使得点B的对应点为点A．
24．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到，
（1）求旋转角的度数；
（2）求点P与点之间的距离；
（3）求的度数．
25．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于点F．
（1）求证AN ＝MB；
（2）求证△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，并说明理由．
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3.2图形的旋转
一、单选题
1．下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动 B．拧开冰红茶瓶盖 C．一轮红日缓缓升起 D．空中下落的硬币
【答案】B
【分析】
根据旋转的意义，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，因此旋转前、后的图形全等．由此可作出选择．
【解析】
解：A、鼠标在鼠标垫上滑动，不属于旋转．
B、拧开冰红茶瓶盖，是旋转．
C、一轮红日缓缓升起，不是旋转．
D、空中下落的硬币，不是旋转．
故选：B．
【点睛】
本题考查了生活中的旋转现象，要根据旋转的定义来判断是否是旋转．
2．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（ ）
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
【答案】C
【分析】
由按顺时针旋转到的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解析】
解：∵如图，按顺时针旋转到的位置，
∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．
故A，B，D三项错误，C正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了旋转的性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
3．下面四个图案中，旋转90°后能与自身重合的图案的个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
分别求出4个旋转对称图形的最小旋转角，再作出判断．
【解析】
第一个图形的最小旋转角为：360÷2=180°；
第二个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷4=90°；
第三个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷8=45°；
第四个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷4=90°；
则旋转90°后能与自身重合的图案有3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转对称图形，求出最小旋转角是解题关键．
4．如图，将三角形绕点A旋转到三角形，下列说法正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，根据旋转的性质解答．
【解析】
解：据旋转的性质，可知：，故（1）错误；
，故（2）正确；
，故（3）正确；
，故（4）正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查旋转的性质：图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．
5．如图，把是直角的绕点A按顺时针旋转，把点B转到点E得，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等以及旋转角的定义即可判断．
【解析】
根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，
∴，
∴，，，
∴B、C选项正确，D选项错误；
根据旋转角的定义，，
∴，A选项正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的定义及性质，正确理解旋转角定义及旋转后全等三角形的性质是解题关键．
6．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是【 】
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
【答案】B
【解析】
几何变换的类型．
【分析】根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．故选B．
7．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=DB B．∠CBD=80° C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE
【答案】C
【分析】
利用旋转的性质得△ABC≌△DBE ，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．
【解析】
解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE ，故选项A、D一定成立；
∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，
∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°，.
∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；
又∵ ∠ABD=∠E+∠BDE，
∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用旋转的性质得到，继而得到为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解得，再由角的和差求得，即，最后根据三角形内角和解题即可．
【解析】
∵绕点A顺时针旋转后得到的，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转的性质，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．如图，若正方形旋转后能与正方形重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
分别以C、D、CD的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解．
【解析】
以点C为旋转中心，把正方形DCEF逆时针旋转90°，可得到正方形ABCD；
以点D为旋转中心，把正方形DCEF顺时针旋转90°，可得到正方形ABCD；
以CD的中点为旋转中心，把正方形DCEF旋转180°，可得到正方形ABCD；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，熟练掌握旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
10．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使．设旋转角为，则符合，满足的关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意由旋转的性质和平行线的性质得到∠CAA′=∠ACB=α，AC=A′C，根据等腰三角形的性质得到∠AA′C=∠A′AC=α；根据三角形的内角和进行分析即可得到．
【解析】
解：∵绕点顺时针旋转得到，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质和平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确的识别图形以及掌握旋转的性质和平行线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．旋转的性质是对应点到旋转中心的__________相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__________；旋转前、后的图形之间的关系是__________．
【答案】 距离 旋转角 全等
【分析】
根据旋转的性质，即可求解
【解析】
解：旋转的性质是对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形之间的关系是全等．
故答案为：距离；旋转角；全等
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质是对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形之间的关系是全等．
12．如图，紫荆花图案至少要绕它的中心旋转___度，才能和原来的图形重合。
【答案】72
【分析】
根据圆的旋转对称性质，正五边形的旋转对称性质解题即可．
【解析】
紫荆花图案至少要绕它的中心旋转，才能和原来图形重合，
故答案：72．
【点睛】
本题考查旋转对称图形的性质，其中涉及到圆与正五边形，是常见基础考点，难度较易，掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
13．如图，为等边三角形，边长为，D为的中点，是绕A顺时针旋转得到的，则______cm，若连接，则为__________三角形．
【答案】 1 等边
【分析】
根据旋转的性质可得，判断即可．
【解析】
解：∵为等边三角形，边长为，D为的中点，
∴，
∵是绕A顺时针旋转得到的，
∴，
∴为等边三角形，
故答案为：1；等边．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，正确找到旋转图像的对应边、旋转角是解题的关键．
14．如图，是等腰直角三角形，D是上一点，经旋转后到达的位置．
（1）旋转中心是__________，旋转的度数是__________；
（2）若已知，则__________，__________；
（3）如果连结，那么是__________三角形．
【答案】 点C， 115° 90° 等腰直角三角形
【分析】
（1）结合图形及旋转可知旋转点；
（2）由旋转的性质及等腰三角形的性质和三角形的内角和即可求解；
（3）由旋转的性质即可求解
【解析】
解：（1）∵经旋转后到达的位置，结合图形可知：旋转点为点C；旋转度数为90 ；
（2）由旋转的性质可知：≌，
由等腰三角形性质可知：
∴,,
∴,
；
（3）由旋转的性质可知：EC=DC，，
∴；
∴,
∴是等腰直角三角形
故答案为：（1）点C，；（2）115°，；（3）等腰直角三角形
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变图形的位置，不改边图形的形状和大小，即旋转前后，图形是全等的，正确运用旋转的性质是解题的关键．
15．点的坐标为，现将线段绕着点逆时针旋转60°得到线段，则坐标为________．
【答案】
【分析】
先过点作辅助线轴，根据已知条件求得，，因此旋转后点恰好落在轴上，然后即可求解．
【解析】
如图，过点作轴．∵，∴，，由勾股定理可知，，将绕着点逆时针旋转60°后，点恰好落在轴上，且，∴．
故答案为：．
【点睛】
本题结合坐标轴考查旋转的性质、勾股定理等知识，判断旋转后点恰好落在轴上是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为1，将ABC绕P点逆时针旋转至，使点B′恰好落在y轴上，则旋转中心P的坐标是____．
【答案】
【分析】
连接AA′，CC′，线段AA′,CC′的垂直平分线的交点就是点P
【解析】
由图形可知，
对应点的连线CC′,AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），
根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心．
故旋转中心坐标是P（1，-1）．
故答案为：（1，-1）
【点睛】
本题考查了确定旋转中心.掌握各组对应点连线所得的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．
17．如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠C=∠AED=，点E在AB上，∠D=.如果△ABC经顺时针旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______，旋转了______度
【答案】 A 300；
【分析】
根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，△ABC经经顺时针旋转后能与△ADE重合，即这两个三角形完全相同．
【解析】
解：根据题意得：AC的对应边是AD，因此旋转的中心是点A，
逆时针旋转的度数是∠EAD的度数，即∠EAD的度数=90°-30°=60°．
所以顺时针旋转的度数是：360°-60°=300°
故答案为：A，300．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，关键是明确旋转角和旋转中心的概念．
18．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论是(填序号)______．
【答案】①③④
【分析】
证明△即可说明△可以由绕点逆时针旋转得到；根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，②错误；根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，求得面积为，又等边面积为，得到四边形的面积为，⑤错误；求得，③正确；过作交的延长线于，根据三角形的面积公式即可得到，故④正确．
【解析】
解：在△和中，，
△．
，
△可以由绕点逆时针旋转得到，①正确；
如图，连接，
根据旋转的性质可知是等边三角形，
点与的距离为8，②错误；
在中，，，，
是直角三角形，．
面积为，
又等边面积为，
四边形的面积为，⑤错误；
，③正确；
过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为①③④．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
三、解答题
19．在下图中，画出线段绕点A按顺时针方向旋转后的线段．
【答案】见解析
【分析】
（1）以为一边按顺时针方向画，使得即可得解；
（2）在射线上取点C，使得，即可得解；
【解析】
解：（1）如图，以为一边按顺时针方向画，使得．
（2）在射线上取点C，使得．
线段就是线段绕点A按顺时针方向旋转后的线段．
【点睛】
本题主要考查了旋转作图，准确分析作图是解题的关键．
20．如图，绕点C旋转后，顶点A旋转到了点D．
（1）指出这一旋转的旋转角；
（2）画出旋转后的三角形．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据旋转的性质求解;
（2）作，且，则点E为点B的对应点，则满足条件．
【解析】
解：（1）连接，旋转角为；
（2）如图所示，就是旋转后的三角形．
【点睛】
本题考查了尺规作图中的旋转变换，解题的关键是正确理解旋转不变性．
21．如图，D 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 60°恰好得到 ，其中，是对应点，若 ，求 的度数．
【答案】42°
【分析】
关键旋转的性质得到∠DAE＝60°，再根据∠EAC＝∠EAD ∠CAD计算解题即可．
【解析】
解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD ∠CAD＝42°．
【点睛】
本题考查旋转、角的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键
22．如图所示的“鱼”是将坐标为的点用线段依次连接而成的．将这条“鱼”绕原点O按顺时针方向旋转．
（1）画出旋转后的新“鱼”；
（2）写出旋转后新“鱼”各“顶点”的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出“鱼”各顶点的对应点得到旋转后的新“鱼”；
（2）利用所画图形写出各顶点坐标．
【解析】
（1）如图所示；
（2）．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．画一个，其中，分别画出按如下条件旋转或平移后的图形：
（1）以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转；
（2）以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转；
（3）取外一点P为旋转中心，按逆时针方向旋转；
（4）将平移，使得点B的对应点为点A．
【答案】见解析
【分析】
如图所示，根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，作出（1）（2）（3）图形，根据平移的性质：平移前后对应线段相等，作出（4）图形．
【解析】
（1）
如图所示，分别将线段绕点B按逆时针方向旋转，得到线段，连接，便得到旋转后的；
（2）
如图所示，分别延长线段到点D，E，使，连接，便得到旋转后的；
（3）
如图所示，分别连接，并延长到D，E，F，使，连接，便得到旋转后的；
（4）
作，,,连接，即，便得到平移后的．
【点睛】
本题考查了图形的平移与旋转，解题关键是掌握平移与旋转的性质．
24．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到，
（1）求旋转角的度数；
（2）求点P与点之间的距离；
（3）求的度数．
【答案】（1），（2）6，（3）．
【分析】
（1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为；
（2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离；
（3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数．
【解析】
解：（1）∵由绕点A旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∴旋转角度数为；
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴为等边三角形，
∴,
即点P与点之间的距离为6；
（3）在中，
由（1）得：，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴的度数为．
【点睛】
题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键．
25．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E，直线BM，CN交于点F．
（1）求证AN ＝MB；
（2）求证△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】
（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN＝BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC＝MC，NC＝CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，即可得证；
（2）我们不难发现，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC＝∠BMC，又知道了AC＝MC，∠MCF＝∠ACE＝60°，那么此时△AEC≌△MCF，可得出CF＝CE，于是我们再根据∠ECF＝60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论；
（3）通过证明△ACN和△BCM全等来求得．这两个三角形中MC＝AC，NC＝BC，∠MCB和∠ACN都是60°＋∠ACB，因此两三角形就全等，AN＝BM，结论1正确．
【解析】
（1）证明：∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，
在△CAN和△MCB中，
，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴AN＝MB；
（2）证明：∵△CAN≌△MCB，
，
，
，
在和中，
，
∴CE＝CF，
为等腰三角形，
，
是等边三角形；
（3）解：成立．如图所示，连接AN、BM
∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝CN，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACB＝90°，
，
在△CAN和△MCB中，
，
，
∴AN＝MB．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，利用全等三角形来得出角和边相等是解题的关键．
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第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
思考：观察下面生活中的现象，你能说出它们共同的特点吗？
风力发电
钟表
游乐场中的摩天轮
情景引入
观察与思考
B
O
A
45
0
问题 观察下列图形的运动，它有什么特点？
一、旋转的概念
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120°
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转的定义
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点
例1. △ ABD经过旋转后到△ ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转了多少度 顺时针还是逆时针？
(3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置
A
B
C
E
M
.
解：(1)旋转中心是点A;
(2)旋转了60 °,逆时针;
(3)点M转到了AC的中点上.
D
典例精析
60°
如图所示，△ABC是直角三角形，延长AB到D，使BD＝BC，在BC上取BE＝AB，连接DE.△ABC旋转后能与△EBD重合.
那么：旋转中心是______；旋转的角度是________；
AC的对应边是________；
∠A的对应角是________；
点C的对应点是________．
点B
90°
ED
∠BED
点D
练一练
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，
旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换
同样属于全等变换.
归纳总结
Ⅰ、如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中：
(1)经过旋转，四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有什么关系？
二、旋转的基本性质
“旋转”的基本性质1
(1)经过旋转，图形的形状和大小不变；
Ⅱ、如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中：
(3)经过旋转，点A，B，C
分别移到什么位置？
(2)旋转中心是什么？旋转方向是什么？
(4)它们转动的方向和角度又
怎样？
“旋转”的基本性质2
(2)经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度；
Ⅲ、如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中：
(6)AO与DO的长有什么关
系？BO与EO，CO与FO
呢 ？
(5)∠AOD、∠BOE、∠COF有什么大小关系？
“旋转”的基本性质3
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
“旋转”的基本性质：
(1)经过旋转，图形的形状和大小不变；
(2)经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度；
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
小结
1．如图，△ABC按顺时针方向旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是( )
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点A是旋转中心，点C和点E是对应点
C．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
B
练一练
2．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC的延长线上，下列结论错误的是( )
A．∠BCB′＝∠ACA′
B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC
D．B′C平分∠BB′A′
C
点的旋转
A
O
A′
你能画出图中A点绕O点顺时针旋转30°后所在的A′点的位置吗？
三、简单的旋转作图
图1
点的旋转
画出图1中A点绕O点顺时针旋转30°后所在的位置A′.
A
O
A
O
A′
解：〔1〕连接OA
〔2〕以OA为一边按顺时针方向画∠AOX，使∠AOX=30°
〔3〕在射线OX上取点A′，使得OA′=OA
点A′就是点A绕点O按顺时针方向旋转30°后的点.
X
点A′就是点A绕点O按顺时针方向旋转30°后的点.
练习：在图2中，画出线段AB绕A点顺时针方向旋转60°后的线段.
线段的旋转
B
A
对于线段的旋转能不能看成是点的旋转呢？是不是只要找到点B绕着点A旋转后的对应点就可以了呢？
图2
线段的旋转
解：〔1〕如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.
〔2〕在射线AX上取点C，使得AC=AB.
线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段.
B
X
C
A
练习：在图2中，画出线段AB绕A点顺时针方向旋转60°后的线段.
如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，
顶点A旋转到了点D.
〔1〕指出这一旋转的旋转角.
〔2〕画出旋转后的三角形.
图形的旋转
B
O
C
A
D
E
F
(1)连接OA，OD，这一旋转的旋转角是∠AOD
(2)连接OB，OC，分别以OB，OC为边作∠BOM＝∠CON＝∠AOD；
(3)分别在OM，ON上截取OE＝OB，OF＝OC；
(4)依次连接DE，EF，FD；
那么△DEF就是所求作的三角形．
N
M
任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角
你能作出“将方格中的小旗子绕O点按顺时针方向旋转90 〞后的图案吗？
O
练习：
A1
A
C
B
B1
C1
【解析】
在原图上找了四个表示小旗子的关键点：
O点、A点、B点、C点。
O
因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成的角均为旋转角，
所以，只要在方格中找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后连接，就得到了所求作的图形.
①旋转中心、②旋转方向、③旋转角度.
确定一个图形旋转后的位置,需要哪些条件
旋转作图的一般思路是什么
作图时需先从图形上选取几个关键点，确定它们的位置后，再确定出旋转后的图形。
小结
D
E
B
F
C
A
小明将△ABC绕某个点旋转后得到了△DEF。你知道他是绕哪个点旋转的吗？
利用旋转前后的图形位置确定旋转中心
D
E
B
F
C
A
o
对应点到旋转中心的距离相等
？
D
E
B
F
C
A
O
任意两条对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心.
拓展提升
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
B
A
C
O
②不同
图形变换 运动方向 运动量的衡量
平移 直线 移动一定距离
旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度
平移和旋转的异同：
1．下列现象中属于旋转的是( )
A．电梯的升降运动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．汽车方向盘的转动 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
2．如图所示，△ABC按顺时针方向旋转一个角度后得△A′B′C′，图中的旋转中心是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．B′点
3．如图所示，图中的每个阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是( )
A．30° B．45° C．120° D．90°
4．如图所示，直角三角形ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°后到达
△A1B1C，延长AB交A1B1于点D，则∠ADA1的度数是( )
A．30° B．60° C．75° D．90°
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，以C为旋转中心，
将△ABC旋转到△A′B′C的位置，点B在斜边A′B′上，则∠BDC为( )
6．如图所示，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若△ABD经过逆时针旋转后到
△ACP位置，则旋转中心是________，旋转角等于_______，△ADP是________三角形．
C
A
C
D
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
（第5题图）
D
点A
60
等边
（第6题图）
课堂练习
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7．如图所示，已知点P的坐标为(1，1)，若将点P绕原点顺时针旋转45度，得到点P1，则点P1的坐标为___________．
8．一个正方形绕着它的中心旋转一定角度后，就能与它自身重合，这个角度至少是___________．
9．如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点， △ABD经过逆时针旋转后到△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，经过上述旋转后，点M转到什么位置？
（第7题图）
90
解：(1)点A (2)60度(3)点M转到AC边的中点
解：(1)作图如图．
(2)BE＋DF＝EF.证明：∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，
∵在△GAF和△FAE中，AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE(SAS)．∴GF＝EF.
又∵DG＝BE，∴GF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.
（第10题答图）
10．如图所示，在正方形ABCD中作∠EAF＝45°，分别交边BC，CD于点E，F(不与顶点重合)
，把△ABE绕点A逆时针旋转90°落在△ADG的位置．
(1)请你在图中画出△ADG(不写作法)；
(2)试说明BE，DF与EF之间的数量关系．
（第9题图）
（第10题图）
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
旋转前后的图形全等；
课堂小结
旋转的作图
作旋转图形
作图基本步骤
确定旋转中心
找两条对应点连线段的垂直平分线的交点
1.明确旋转三要素：
旋转中心、旋转方向
和旋转角度.
2.找出关键点;
3.作出关键点的对应点;
4.作出新图形;
5.写出结论.
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