第三章 圆锥曲线的方程检测卷-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

圆锥曲线的方程检测卷（听力高考假期作业）
2022.01.07
一、单选题
1．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
2．若正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点，点A、C在x轴上，曲线是以A，C为焦点，且通过B，D两点并与直线相切的椭圆，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．9
4．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
5．已知双曲线的左右焦点，点在双曲线的右支上，点是平面内一定点，若对任何实数，直线与双曲线至多有一个公共点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
6．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
7．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，Q为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
9．椭圆的离心率是，则实数的值是（ ）
A．4 B． C．1 D．
10．已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．焦点坐标为，
C．离心率为 D．渐近线方程为
11．下列四个命题中，正确命题有（ ）
A．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是
B．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是
C．抛物线的准线方程为
D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是
12．抛物线的焦点为，点都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为
B．是的重心
C．
D．
三、填空题
13．已知分别是椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，且，则椭圆离心率___________.
14．已知点为双曲线的右焦点，定点为双曲线虚轴的一个顶点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是_________
15．已知双曲线（，），点为其右焦点，点，若所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为___________.
16．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．若恒成立，则的取值范围为________．
四、解答题
17．已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于两点，且，证明：直线过定点．
18．若椭圆E：过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线的方程.
19．已知双曲线的左 右焦点分别为，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且.
（1）用a表示；
（2）若是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.
20．已知，是抛物线上的点．
（1）若点在其准线上的投影为，求的最小值；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程．
21．已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
22．已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为、，若，求直线l的方程．
参考答案
1．A
结合抛物线的定义求得点的轨迹方程.
【详解】
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
，其方程为x2＝－12y.
故选：A
2．A
【详解】
由已知可知点在y轴上，
由于ABCD为正方形，则椭圆中，因为，故，
则椭圆方程，
联立，消去x并整理得：，
，则，
所以曲线的方程为.
故选：A．
3．A
【详解】
由题设知：，可得.
故选：A.
4．C
【详解】
抛物线的焦点，设，
根据抛物线的定义可知，所以.
圆心是的中点，根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
圆的半径为，所以该圆与轴相切于点，
所以圆心纵坐标为，则点的纵坐标为，即，
代入抛物线方程得，即，
解得或，
所以抛物线方程为或.
故选：C
5．A
【详解】
由题意得，双曲线的渐近线方程为，
对任意实数，直线与双曲线至多有一个公共点，
直线与双曲线的渐近线方程为重合或平行，
，得，为，，
，
，
的最小值为，
故选：A
6．B
【详解】
解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
7．D
【详解】
设双曲线的右焦点为，则的坐标为
抛物线为，为抛物线的焦点，O为的中点，
，为FP的中点，
为的中位线．
为的中点，．
，．
切圆O于E，．
．
，．
设，则，．
过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a．
由勾股定理，
，
．
，．
故选：D．
8．D
【详解】
由椭圆：，
其长轴长为4且离心率为，
，，，解得，，
椭圆的标准方程为：．
再设点，则，可得，点，
，
，则
不妨设，
则
，
令，，
则，
由对勾函数的性质可知，在递增，
故，此时，
故的最小值为0，
故选：D．
9．AB
【详解】
解：因为椭圆的离心率是．
当焦点在轴上时，，，，解得；
当焦点在轴上时，，，，解得．
故实数的值为或．
故选：AB．
10．AC
【详解】
根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率为，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.
故选：AC.
11．ABCD
【详解】
对于A，当a为任意实数时，直线恒过定点P，
因为方程可化为
所以，而过点，故A正确；
对于B，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，
则， ， ，解得，故双曲线的标准方程是，故B正确；
对于C，抛物线的准线方程为，故C正确；
对于D，根据题意，双曲线，其离心率，
即，则，故D正确.
故选：ABCD.
12．ABD
【详解】
对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，正确；
对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得，
所以.
由是的重心，所以，即，
所以，不正确；
对于D，，；
同理,，
所以，正确.
故选：ABD.
13．
【详解】
因为，所以，即
故答案为：
14．
【详解】
因为过点，的直线方程为 ，
双曲线的一条渐近线方程为 ，
联立，解得交点，
由，，得，
解得，故．
故答案为：．
15．
【详解】
根据题意：，，则，
所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，故，即，
故，，解得或（舍去）.
故答案为：.
16．
【详解】
解：联立直线与抛物线：，
，
设，，
则，
若恒成立，则，
则，
整理得：，恒成立，
由于，满足判别式，
所以，
故的取值范围为，
故答案为：
17．
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）∵抛物线过点，
．．
∴动点的轨迹的方程为．
（2）设，，
由得，
，．
，
．
，
或．
，
舍去．
，满足．
∴直线的方程为．
∴直线必经过定点．
18．
（1）
（2）面积最大值为，此时直线的方程为．
【分析】
（1）抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依题意可得，又，所以，所以椭圆方程为；
（2）根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，，
即得，，
则由相交弦长公式可得，
又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，
所以，
当且仅当，即时，面积取得最大值为，此时直线的方程为．
19．（1）
（2）
【分析】
（1）因为点P在双曲线的右支上，所以，
又，联立解得.
（2）在中，由余弦定理得，
因为，所以，所以.
20．（1）
（2）或或
【分析】
（1）抛物线，焦点为，准线为，
根据抛物线的定义可知，所以，
当三点共线时等号成立.
，，即的最小值为.
（2）
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与抛物线只有一个公共点，符合题意.
当过点的直线斜率为时，直线方程为，
此时直线与抛物线只有一个公共点，符合题意.
当过点的直线斜率存在且不为时，设直线方程为，
，消去并整理得，
，解得，直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或或.
21．
（1）
（2）存在，或或或
【分析】（1）因为圆与轴相切，所以所以，
又，所以，
所以椭圆；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点为，
①当直线的斜率为时，显然不适合题意；
②当直线的斜率不为时，
设直线，
联立，恒成立，
所以，
则
所以
令，
解得或，即得或
所以符合条件的直线方程分别为或或或.
22．（1）；
（2）.
（1）由题设可得：，
∴.
（2）设，，，
联立，则，
∴，
由，可得，故，
∴.
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