5.2.1基本初等函数的导数同步训练-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析）

5.2.1 基本初等函数的导数（同步训练）
1．[多选]以下运算正确的是(　　)
A.′＝ B.(cos x)′＝－sin x C.(2x)′＝2xln 2 D.(lg x)′＝－
2.曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线方程为(　　)
A.y＝x＋1 B.y＝2x＋1 C.y＝ex＋1 D.y＝x＋1
3.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
5.(多选)下列求导正确的是(　　)
A.(x8)′＝8x7　 B.(4x)′＝4xln 4　　　
C.′＝sin x　　D.(e2)′＝2e
6.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sin x (0＜x＜π)，
h(x)＝ln x(x＞0)，φ(x)＝x2(x＞0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.b＞c＞a D.b＞a＞c
7.直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
8.函数y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝________，此处的切线方程为____________．
9.已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
10.在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标为________．
11.求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝lg x； (4)y＝5x； (5)y＝cos．
12.求曲线y＝sin x在点处的切线方程．
13.设曲线y＝ex(x≥0)在点M(t，et)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的解析式．
14.已知函数f(x)＝xa(a为常数且a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，若l与两坐标轴围成的三角形面积为，求a的值．
15.求证：曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
16.求过曲线f(x)＝cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
17.已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积．
参考答案及详细解析：
1．答案：BCD
解析：因为′＝－，所以A不正确；因为(cos x)′＝－sin x，所以B正确；
因为(2x)′＝2xln 2，所以C正确；因为(lg x)′＝，所以D不正确．故选B、C.
2.答案：A
解析：易得y′＝ex，则所求切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，故所求切线方程为y＝x＋1.
3.答案：D　
解析：y′＝ex，当x＝2时，切线斜率k＝e2，
所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2，
令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，x＝1．∴切线交坐标轴于点(0，－e2)，(1,0)．∴三角形的面积为×1×e2＝．
4.答案：D　
解析：先将f(x)变形为y＝x2的形式，再求导，即f(x)＝＝＝
5.答案：AB　
解析：C项中，sin＝cos x，∴(cos x)′＝－sin x；D项中，(e2)′＝0．
6.答案：B　
解析：①若g(x)＝sin x，则g′(x)＝cos x，由sin x＝cos x，解得x＝，即a＝＜1．
②若h(x)＝ln x，则h′(x)＝，由ln x＝，令r(x)＝ln x－，可知r(1)＜0，r(2)＞0，故1＜b＜2．
③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x，由x2＝2x，x＞0，得x＝2，故c＝2．综上，c＞b＞a．
7.答案：ln 2－1　
解析：由切线方程知切线斜率是，即y′＝＝，x＝2．因为切点在y＝ln x上，所以切点为(2，ln 2)．
因为切点也在切线上，所以将(2，ln 2)代入切线方程得b＝ln 2－1．
8.答案：3，y＝12x－16　
解析：(xα)′＝αxα－1，根据题意，知α·2α－1＝12，解得α＝3．切点为(2,8)，切线方程为y＝12x－16．
9.答案：1　
解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1．
10.答案：(1,1)或(－1，－1)　
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－．
因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1．
当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，所以所求点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．
11.解：(1)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6．
(2)∵y＝＝，∴
(3)∵y＝lg x，∴y′＝．
(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5．
(5)∵y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x．
12.解：y＝sin x的导函数为y′＝cos x．
当x＝时，y′＝cos ＝，即y＝sin x在点处的切线斜率为．
所以曲线y＝sin x在点处的切线方程为y－＝，即x－2y＋1－＝0．
13.解：y′＝(ex)′＝ex，
所以切线l在点M(t，et)处的斜率为et，故切线l的方程为y－et＝et(x－t)，即etx－y＋et(1－t)＝0．
令y＝0，得x＝t－1；令x＝0，得y＝et(1－t)．
所以S(t)＝|(t－1)·et(1－t)|＝(t－1)2et(t≥0)．
14.解：由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa－1，∴f′(1)＝a．
又f(1)＝1，∴切线l的方程为y－1＝a(x－1)．
∴l与两坐标轴的交点分别为，(0,1－a)．
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·|1－a|＝．
由S＝，得2－a－＝±，解得a＝2或．
15. 证明：设P(x0，y0)为曲线xy＝a2上任意一点，
因为y′＝′＝－．所以过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝2x0．
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝＝2a2．
即曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2．
16.解：因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，
则曲线f(x)＝cos x在点P的切线斜率为f′＝－sin＝－，
因为切线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，
所求直线方程为y－＝，即y＝x－π＋．
17.解：由得即两曲线的交点坐标为(1,1)．
又f′(x)＝，g′(x)＝－．∴f′(1)＝，g′(1)＝－1．
∴两切线方程分别为y－1＝(x－1)，即y＝x＋；y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2．
其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，
故两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2－(－1)|＝．