5.2.1 基本初等函数的导数课时训练-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案）

5.2.1 基本初等函数的导数（课时训练）
1.已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为(　　)
A.(－2，－8) B.(－1，－1)或(1,1)
C.(2,8) D.
2.已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
3.曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　)
A.3x－2y－1＝0 B.2x－3y＋1＝0
C.2x＋3y－5＝0 D.x＋y－2＝0
4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)
A.　　 B.
C. D.
5.若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A.2 B.ln 2＋1
C.ln 2－1 D.ln 2
6.（多选）在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标可能为(　　)
A.(1,1) B.(－1，－1)
C. D.
7.若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)
A.2x－y＝0 B.2x＋y＝0
C.4x－4y＋1＝0 D.4x＋4y＋1＝0
8.过曲线y＝cos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的方程为(　　)
A.2x－y－＋＝0 B.x＋2y－－1＝0
C.2x－y－－＝0 D.x＋2y－＋1＝0
9.已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则(　　)
A.A>B>C B.A>C>B
C.B>A>C D.C>B>A
10.已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
11.已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________
12.设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________
13.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________
14.求下列函数的导数：
(1)y＝cos2－sin2； (2)y＝.
15.(1)求曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．
16.已知点A，B(2,1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及详细解析：
1.答案：B
2.答案：C
3.答案：B　
解析：y＝＝x，则y′＝x－，y′＝，所以所求切线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0．
4.答案：B　
解析：　∵s′＝t－，∴当t＝4时，s′＝·＝ .
5.答案：C
解析：∵y＝ln x的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
6.答案：AB
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，
因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，故点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．
7.答案：C
解析：因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，
所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，
所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.
8.答案：A
解析：∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲线在点P处的切线斜率是y′|＝－sin＝－，
∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，
∴所求直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.
9.答案：A
解析：记M(2，f(2))，N(3，f(3)), 则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线的斜率．
由f(x)的图象易得A>B>C.
10.答案：D
解析：∵y＝2sincos＝sin x，∴y′＝cos x．
由题意知曲线在点P处的切线斜率存在，设P(x0，y0)，则切线的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.
∵0≤α<π，∴α∈∪.故选D.
11.答案：1
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
12.答案：(0，－a2)
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，
∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
13.答案：4x－y－3＝0
解析：由题意，知切线l的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)．
∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1，∴切点为(1,1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
14.解：(1)因为y＝cos2－sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x，
所以函数y＝cos2－sin2的导数是y′＝－sin x.
(2)因为y′＝′＝＝x＝，所以函数y＝ 的导数是y′＝.
15.解：(1)设所求切线的斜率为k.
∵y′＝()′＝x，∴k＝y′|x＝1＝，
∴曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)．
∵y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，
∴y′|＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln 4，∴切点为，
∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0.
16.解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0)．
因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.
(2)过点A，B(2,1)的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，
设P(n，log2n)，≤n≤2，则有＝，得n＝.
又＝ln 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.