1.1数列的概念同步练习-2021-2022学年高一下学期数学北师大版必修5（Word含答案）

一　数列的概念
一、选择题
1．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，它的第5项的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
2．已知数列，，2，，…，则2是该数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
3．数列，，，，…的第10项是(　　)
A． B． C． D．
4．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　)
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
5．有下列一列数： ，1，1，1，(　　)，，，，，…，按照规律，括号中的数应为(　　)
A． B． C． D．
6．数列2，5，11，20，32，x，…中的x等于(　　)
A．28 B．32 C．33 D．47
7．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，若a1＝1，a3＝3，则a17＝(　　)
A．－4 B．－3 C．3 D．4
8．数列－，，－，，…的通项公式为(　　)
A．an＝(－1)n＋1
B．an＝(－1)n＋1
C．an＝(－1)n
D．an＝(－1)n
9．数列，，，，…的递推公式可以是(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＋1＝an
D．an＋1＝2an
二、填空题
10．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a5＝________．
11．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…
(2)1，2，3，4，…
(3)1，11，111，1 111，…
12．正整数列满足a1＝a，且对于n∈N＋有an＋1＝，若a6＝1，则a的所有可能取值为______．
13．将正偶数按下表排列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
… … 28 26
则2 010在第________行第________列．
14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
15．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝(n∈N＋)，则f(4)＝________．
三、解答题
16．已知数列的通项公式为an＝.
(1)求a10.
(2)是否是这个数列中的项？
(3)这个数列中有多少整数项？
17．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别为下列各数．
(1)3，5，9，17，33；
(2)4，－4，4，－4，4；
(3)1，0，1，0；
(4)，，，.
18．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，求这个数列的一个通项公式．
参考答案
一、选择题
1．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，它的第5项的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.a5＝(－1)5×＝－.
2．已知数列，，2，，…，则2是该数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
【解析】选B.把2写成，2写成，由题意，可得an＝.令＝2 ＝ 3n－1＝20 n＝7.
3．数列，，，，…的第10项是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由数列，，，，…可得一个通项公式an＝，
所以a10＝＝.
4．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　)
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
【解析】选D.由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．
5．有下列一列数： ，1，1，1，(　　)，，，，，…，按照规律，括号中的数应为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.把数列变为 ，，，，(　　)，，，，，…可得分子为连续的奇数，分母为连续的质数，故括号中的数应该为.
6．数列2，5，11，20，32，x，…中的x等于(　　)
A．28 B．32 C．33 D．47
【解析】选D.由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，32－20＝12，则x－32＝15，所以x＝47.
7．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，若a1＝1，a3＝3，则a17＝(　　)
A．－4 B．－3 C．3 D．4
【解析】选A.因为数列满足an＋2＝an＋1－an，故有an＋3＝an＋2－an＋1＝－an＋1＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an，故数列是以6为周期的周期数列，所以a17＝a5＝－a2，又因为a1＝1，a3＝3，a3＝a2－a1得a2＝4，故a17＝－4.
8．数列－，，－，，…的通项公式为(　　)
A．an＝(－1)n＋1
B．an＝(－1)n＋1
C．an＝(－1)n
D．an＝(－1)n
【解析】选D.观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正、负间隔．故通项公式为an＝(－1)n.
9．数列，，，，…的递推公式可以是(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＋1＝an
D．an＋1＝2an
【解析】选C.由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的，所以递推公式为an＋1＝an.
二、填空题
10．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a5＝________．
【解析】因为a1＝1，an＋1＝2an＋1，
所以a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝31.
答案：31
11．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…
(2)1，2，3，4，…
(3)1，11，111，1 111，…
【解析】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(3)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
12．正整数列满足a1＝a，且对于n∈N＋有an＋1＝，若a6＝1，则a的所有可能取值为______．
【解析】因为正整数列满足a1＝a，
且对于n∈N＋有
an＋1＝，
由a6＝1，得a5＝2或a5＝0(舍)，则a4＝4，
则a3＝1，a2＝2，a1＝4或a3＝8，
a2＝16，a1＝5或a3＝8，a2＝16，a1＝32，
即a的所有可能取值为4，5或32.
答案：4，5或32
13．将正偶数按下表排列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
… … 28 26
则2 010在第________行第________列．
【解析】由题意可知，2 010是第1 005个正偶数，
因为1 005÷4＝251……1，所以2 010在第252行．
观察表格知，第偶数行的四个数字从第4列开始从右至左排列，所以2 010在第252行，第4列．
答案：252　4
14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
【解析】第1个图案有白色地面砖6块，
第2个图案有10块，第3个图案有14块，……，
可以看出每个图案较前一个图案多4块白色地面砖．
所以第n个图案有6＋4(n－1)＝4n＋2块．
答案：4n＋2
15．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝(n∈N＋)，则f(4)＝________．
【解析】因为f(1)＝2，f(n＋1)＝，
所以f(2)＝＝，f(3)＝＝＝，f(4)＝＝＝.
答案：
三、解答题
16．已知数列的通项公式为an＝.
(1)求a10.
(2)是否是这个数列中的项？
(3)这个数列中有多少整数项？
【解析】(1)a10＝＝.
(2)由an＝＝，解得n＝100.
即是这个数列中的项，且是第100项．
(3)由an＝为整数项可知，n＝1，n＝2，n＝3，n＝6，即数列中有4个整数项．
17．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别为下列各数．
(1)3，5，9，17，33；
(2)4，－4，4，－4，4；
(3)1，0，1，0；
(4)，，，.
【解析】(1)每项都可以看成2的n次幂加1的形式，所以an＝2n＋1.
(2)数列中的每一项的绝对值均等于4，只有各项的系数的符号正负相间，
所以an＝4(－1)n＋1(答案不唯一).
(3)原数列可改写为＋，－，＋，…，
所以an＝＋(－1)n＋1(答案不唯一).
(4)可将分子、分母分别求其通项，再合并，分子通项为2n－1，分母通项为
2n＋1，所以an＝.
18．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，求这个数列的一个通项公式．
【解析】4个图形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n－1.