2.1等差数列的性质同步练习--2021-2022学年高一下学期数学北师大版必修（Word含答案解析）

同步练习　等差数列的性质
一、选择题
1．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为(　　)
A．an＝n－
B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1)
D．an＝n2－3n
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40　　　B．42　　　C．43　　　D．45
3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝(　　)
A．22 B．23 C．24 D．25
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105 C．90 D．75
5．在等差数列中，若a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，则a5＋a6＝(　　)
A．8　　　B．16　　　C．20　　　D．28
6．在数列中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 011＝1，则该数列中a1＋a2 021＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升 C．升 D．升
8．在等差数列中，已知a1＝3，公差d＝2，若am＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5(m∈N＋)，则m＝(　　)
A．19 B．18 C．17 D．16
9．有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较小的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
二、填空题
10．已知{an}为等差数列，且a6＝4，则a4a7的最大值为________.
11．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an＋1·an＋an＋1，则{an}的通项公式为________．
12．在△ABC中，若lgsin A，lgsin B，lgsin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为________．
13．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．
14．在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
三、解答题
15．(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
16. 设数列{an}是等差数列，bn＝，又因为b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
17．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
18．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n－1)吨，但如果月产量超过96吨，将会给环境造成危害．
(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期．
(2)若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a万元环保税，已知每吨售价0.6万元，第n个月的工人工资为g(n)＝n2－n－1万元，若每月都赢利，求出a的范围？
19．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
参考答案
一、选择题
1．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为(　　)
A．an＝n－
B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1)
D．an＝n2－3n
【解析】选A.新数列的公差d＝(－3＋5)＝，
所以an＝－5＋(n－1)·＝n－.
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40　　　B．42　　　C．43　　　D．45
【解析】选B.因为a2＋a3＝13，所以2a1＋3d＝13.
因为a1＝2，所以d＝3.
所以a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.
3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝(　　)
A．22 B．23 C．24 D．25
【解析】选A.因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0，所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d.
解得k＝22.
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105 C．90 D．75
【解析】选B.设公差为d.
因为a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，
又因为a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，
即(a2－d)(a2＋d)＝16，
因为d>0，所以d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
5．在等差数列中，若a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，则a5＋a6＝(　　)
A．8　　　B．16　　　C．20　　　D．28
【解析】选C.因为为等差数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等差数列，公差为12－4＝8.所以a5＋a6＝a3＋a4＋8＝12＋8＝20.
6．在数列中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 011＝1，则该数列中a1＋a2 021＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，
所以2an＋1＝an＋an＋2，所以为等差数列，因为a1 011＝1，所以a1＋a2 021＝2a1 011＝2.
7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升 C．升 D．升
【解析】选B.设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得
即解得
所以a5＝a1＋4d＝.
8．在等差数列中，已知a1＝3，公差d＝2，若am＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5(m∈N＋)，则m＝(　　)
A．19 B．18 C．17 D．16
【解析】选C.根据题意，数列{an}是等差数列，且a1＝3，公差d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2n－2＝2n＋1，又因为am＝2m＋1＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝35(m∈N＋)，
所以m＝17.
9．有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较小的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
【解析】选C.记这五份面包的个数依次为a1，a2，a3，a4，a5，公差为d.不妨设d＞0，
由
得
解得a1＝2.
二、填空题
10．已知{an}为等差数列，且a6＝4，则a4a7的最大值为________.
【解析】设等差数列的公差为d，
则a4a7＝(a6－2d)(a6＋d)＝(4－2d)(4＋d)＝－2(d＋1)2＋18，即a4a7的最大值为18.
答案：18
11．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an＋1·an＋an＋1，则{an}的通项公式为________．
【解析】an＝an＋1·an＋an＋1，两边同除以an·an＋1得－＝1，
又＝1，所以{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以＝1＋n－1＝n.故an＝.
答案：an＝
12．在△ABC中，若lgsin A，lgsin B，lgsin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为________．
【解析】因为lgsin A，lgsin B，lgsin C成等差数列，
得lgsin A＋lgsin C＝2lgsin B，即sin2B＝
sin A sin C①，
又三个内角A，B，C也成等差数列，
所以B＝60°，代入①得sin A sin C＝②，
设A＝60°－α，C＝60°＋α，
代入②得sin (60°－α)sin (60°＋α)＝，
cos2α－sin2α＝，
即cos2α＝1，所以α＝0°，所以A＝B＝C＝60°，所以△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
13．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．
【解析】因为a5＋a7＝2a6＝4，a6＋a8＝2a7＝－2，
所以a6＝2，a7＝－1，所以d＝a7－a6＝－3，
所以an＝a6＋(n－6)d＝2＋(n－6)×(－3)＝－3n＋20.
令an≥0，解得n≤，
即n＝1，2，3，…，6，
故该数列的正数项共有6项．
答案：6
14．在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
【解析】观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.
答案：n2＋n
三、解答题
15．(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
【解析】(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
由已知，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
所以这三个数为－2，2，6或6，2，－2.
方法二：设首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
由已知，3a＋3d＝6，且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24，
整理得4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，
所以，这三个数为－2，2，6或6，2，－2.
(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，由已知，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d＝1，所以所求的四个数为－2，0，2，4.
方法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，由已知，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，得(1－d)＝－8，即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，
所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，
所以d＞0，
所以d＝2，
所以所求的四个数为－2，0，2，4.
16. 设数列{an}是等差数列，bn＝，又因为b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
【解析】因为b1b2b3＝，
又因为bn＝，
所以··＝.
所以＝，
所以a1＋a2＋a3＝3，
又因为{an}成等差数列，
所以a2＝1，a1＋a3＝2，
所以b1b3＝，b1＋b3＝，
所以或
即或
所以an＝2n－3或an＝－2n＋5.
17．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
【解析】(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，
则需满足m＝4n－1，n∈N＋，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以新数列{bn}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
18．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n－1)吨，但如果月产量超过96吨，将会给环境造成危害．
(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期．
(2)若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a万元环保税，已知每吨售价0.6万元，第n个月的工人工资为g(n)＝n2－n－1万元，若每月都赢利，求出a的范围？
【解析】(1)设化工厂每个月的产量构成数列{an}，则an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n－1)－(n－1)n(2n－3)＝3n2－2n，所以产量逐月递增．当3n2－2n≤96时，解得n≤6，所以环保部门给厂拟定最长的生产周期为6个月．
(2)若每月都赢利，
则(3n2－2n)－－a>0恒成立，所以a<，
当n＝2时，＝，
所以a<.
又因为a＞0，所以0＜a＜.
19．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
【证明】因为，，成等差数列，所以＝＋，即2ac＝b(a＋c).
因为＋＝
＝＝
＝＝，
所以，，成等差数列．