6.3平面向量基本定理及坐标表示同步练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案）

6.3平面向量基本定理及坐标表示
◎平面向量基本定理
1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．（2020·安徽·安庆市第二中学高一阶段练习）如图，在三角形OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）如图所示，中，， ，与相交于点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◎平面向量坐标表示及运算
1．（2021·全国·高一课时练习）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4） B．（7，4）
C．（－1，4） D．（1，4）
2．（2020·全国·高一课时练习）（多选）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是
A． B． C． D．(7，9)
3．（2016·贵州花溪·高一阶段练习）已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 ，则等于（ ）
A．2 B．－2
C．3 D．－3
5．（2021·全国·高一单元测试）若向量，，，则___________.
◎平面向量数量积的坐标运算
1．（2021·陕西韩城·高一期末）若，，且与的夹角是钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，求
(1);
(2);
(3);
(4)．
3．（2020·陕西·西乡县教学研究室高一期末）已知、、为同一平面内的三个向量，其中
(1)若，且，求；
(2)若，且与垂直，求.
巩固提升
一、单选题
1．设，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知向量、的夹角为，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，若向量在方向上的投影为，则（ ）
A． B． C．或13 D．3
6．已知在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则取最小值时，向量的模为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，则（ ）
A． B．
C．若向量，则 D．
9．已知向量 ，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
三、填空题
10．已知点A（3，0），B（2，1），C（1，4），的值为________．
11．如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，则___________.
12．在中，，点D在AB上，，，则______．
四、解答题
13．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
14．已知向量，，且．
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
15．如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为.
(1)用向量，表示；
(2)用向量，表示，并求出和的值.
参考答案：
◎平面向量基本定理
1．D
解：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
2．D
因为，
所以，
又，不共线，所以，
故选：D
3．C
因为三点共线，所以，共线，
所以有且只有一个实数，使得，
所以，所以，
因为三点共线，所以，共线，
所以有且只有一个实数，使得，
所以，由平面向量基本定理，可得，解得，
所以，又，
所以，，所以.
故选：C
◎平面向量坐标表示及运算
1．A
设，则
所以，，即.
所以.
故选：A
2．ABC
由点，，则
选项A . ,所以A选项正确.
选项B. ,所以B选项正确.
选项C . ,所以C选项正确.
选项D. ,所以选项D不正确
故选：ABC
3．A
如图所示，建立平面直角坐标系，
则，，.
因为，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，
所以 解得
所以.
故选：A.
4．
由已知．
故答案为：．
◎平面向量数量积的坐标运算
1．C
解：若与的夹角是钝角，则，且不共线，
所以，解得.
故答案为：C.
2．(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
解：因为，所以
(2)
解：因为，所以，所以
(3)
解：因为，所以，，所以
(4)
解：因为，所以，所以
3．(1)
(2)
(1)
解：∵，且，
∴，∴，∴.
(2)
解：由与垂直，得，
即
∴.
巩固提升
1．D
因为，，
所以，则.
故选：D.
2．C
由题意可得，
解得.
故选：C
3．A
由，可得，
由，平方可得，
所以，所以，整理得，
解得或（舍），
故选：A．
4．A
设三个向量都在平面直角坐标系内，正方形网格长度为1，则，，，
由，则，
解得，则，
∴由“”可以推出“”，
当时，，
∴由“”推不出“”
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．B
解：因为，
所以向量在方向上的投影为，
所以且，即且
所以.
故选：B
6．B
解：，即，
，
又为上一点，不妨设，
，
即有，
、不共线，
，所以
当且仅当时等号成立，
又，，，
，
故选：B．
7．AC
A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.
B选项，不平行，可以作为基底.
C选项，，所以平行，不能作为基底.
D选项，不平行，可以作为基底.
故选：AC
8．ABD
A.，，所以，故A正确；
B.，所以，故B正确；
C.，，，所以不平行，故C错误；
D.，，故D正确.
故选：ABD
9．BCD
对A，若，则，则，故A错误；
对B，若在上的投影向量为，，且，
，则，，故B正确；
对C，若，，
若，则，即，故，，故C正确；
对D，，因为，，则当时，的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
10．
，，，
，，
则．
故答案为：．
11．
因为，
则，
所以，则.
故答案为：.
12．20
解：，
则.
故答案为：20.
13．(1)1
(2)2
(3)证明见解析
(1)
，；
(2)
，所以，解得：，所以；
(3)
因为，所以，所以A，，三点共线.
14．（1）；（2）．
（1）设向量与的夹角为，
因为，故，
，解得，
又，故，
即向量与的夹角为；
（2）由（1）知，，
故
15．(1)
(2)，7，6
(1)
根据题意因为：，所以，
所以，
为的中点，，，所以，.
(2)
因为，，三点共线，设，所以，
即，
，，三点共线，设，
由（1）可知，即，
，不共线，由平面向量基本定理，所以，
所以，，
所以，，
则的值为7，的值为6.