空间向量与立体几何（A卷）单元复习-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 空间向量与立体几何（A卷）单元复习-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-25 10:50:03 | ||
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文档简介
（11）空间向量与立体几何（A卷）
——2021-2022学年高二数学（理科）人教A版
1.空间直角坐标系中，已知，，则线段AB的中点坐标为( )
A. B. C. D.
2.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A. B.
C. D.
3.已知，，且，则( )
A.， B.，
C.， D.，
4.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足，点N满足，当AM、BN最短时，( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，CP，CA，CB两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
6.如图，正方体的棱长为1，中心为O，，，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，点E为的中点，则平面与平面ABCD的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为( )
A. B. C. D.
10.如图，N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是( )
A.二面角是直二面角
B.直线BM，EN是异面直线
C.
D.直线EN与平面MCB所成角的正弦值为
11.如图，在和中，B是EF的中点，，，.若，则与的夹角的余弦值为__________.
12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖曘.如图，在鳖曘中，平面ABC，，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为____________.
13.如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，线段PM的长度是_________.
14.如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为_______________.
15.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，D，E分别为线段AB，BC上的点，且，，.
（1）求证：平面ABC；
（2）若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的二面角的大小.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设中点坐标为，根据中点坐标公式得，，.故选D.
2.答案：C
解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.
3.答案：B
解析：由题意可得，，.
，
，使，
得解得故选B.
4.答案：A
解析：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面BCD，直线AC，当AM、BN最短时，平面BCD，，
所以M为的中心，N为AC的中点，
此时，，，
平面BCD，平面BCD，
，
.
又，
.故选A.
5.答案：A
解析：由题意可得，，，则，，设平面PAB的一个法向量为，
由得
令，则，，.
又，平面PAB的一个法向量为.故选A.
6.答案：D
解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，因此，，，所以，，.
易得，所以.
设平面EBF的一个法向量为，则
令，得，
所以点O到平面EBF的距离为，所以四面体的体积.
7.答案：B
解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.
设平面的一个法向量为，则即
令，则.
点到平面的距离.
8.答案：B
解析：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，
，.
设平面的法向量为，则有即令，得 .
易得平面ABCD的一个法向量，，
即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为.
9.答案：B
解析：解法一 取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B.
解法二 易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B.
10.答案：D
解析：如图，构造长方体，则E是GH的中点.
在A中，二面角是直二面角，
二面角是锐二面角，故A错误；
在B中，连接BD，MN，则N是BD的中点，
，
BM与EN是相交直线，故B错误；
在C中，以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CG所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
，，
，CM与EN不垂直，故C错误；
在D中，，，，
设平面MCB的一个法向量为，
则
令，得，
设直线EN与平面MCB所成的角为，
则，
直线EN与平面MCB所成角的正弦值为，故D正确.故选D.
11.答案：
解析：由题意得，所以.由，可得.所以，即，所以.
12.答案：
解析：易知，，，故以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由M为PC的中点可得，则，，.
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.
13.答案：
解析：以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知，，，.是棱PB的中点，点E的坐标为.设，
则，，
解得.，.
14.答案：
解析：取BC的中点E，连接OE，易得OA，OE，OP两两互相垂直，故以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因此，，，
设平面PCO的一个法向量为，
则即
令，得，
因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值为.
15.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为，，，所以，
所以，可得，
又因为，
所以，
可得，
又因为，所以，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，面ABC，
所以平面PAB，因为面PAB，所以，
因为，，所以平面ABC.
(2)由(1)知DC，DB，DP两两垂直，如图分别以DC，DB，DP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为直线PA与平面ABC所成的角为，即，所以，
则，，，，
所以，，，
因为，，所以，
由(1)知，所以，
又平面ABC，面ABC，所以，
因为，所以平面PDE，
所以为平面PDE的一个法向量，
设平面PAC的法向量为，
由，令，得，，
所以为平面PAC的一个法向量.
所以，
所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，
故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为.
——2021-2022学年高二数学（理科）人教A版
1.空间直角坐标系中，已知，，则线段AB的中点坐标为( )
A. B. C. D.
2.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A. B.
C. D.
3.已知，，且，则( )
A.， B.，
C.， D.，
4.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足，点N满足，当AM、BN最短时，( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，CP，CA，CB两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
6.如图，正方体的棱长为1，中心为O，，，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，点E为的中点，则平面与平面ABCD的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为( )
A. B. C. D.
10.如图，N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是( )
A.二面角是直二面角
B.直线BM，EN是异面直线
C.
D.直线EN与平面MCB所成角的正弦值为
11.如图，在和中，B是EF的中点，，，.若，则与的夹角的余弦值为__________.
12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖曘.如图，在鳖曘中，平面ABC，，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为____________.
13.如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，线段PM的长度是_________.
14.如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为_______________.
15.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，D，E分别为线段AB，BC上的点，且，，.
（1）求证：平面ABC；
（2）若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的二面角的大小.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设中点坐标为，根据中点坐标公式得，，.故选D.
2.答案：C
解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.
3.答案：B
解析：由题意可得，，.
，
，使，
得解得故选B.
4.答案：A
解析：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面BCD，直线AC，当AM、BN最短时，平面BCD，，
所以M为的中心，N为AC的中点，
此时，，，
平面BCD，平面BCD，
，
.
又，
.故选A.
5.答案：A
解析：由题意可得，，，则，，设平面PAB的一个法向量为，
由得
令，则，，.
又，平面PAB的一个法向量为.故选A.
6.答案：D
解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，因此，，，所以，，.
易得，所以.
设平面EBF的一个法向量为，则
令，得，
所以点O到平面EBF的距离为，所以四面体的体积.
7.答案：B
解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.
设平面的一个法向量为，则即
令，则.
点到平面的距离.
8.答案：B
解析：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，
，.
设平面的法向量为，则有即令，得 .
易得平面ABCD的一个法向量，，
即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为.
9.答案：B
解析：解法一 取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B.
解法二 易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B.
10.答案：D
解析：如图，构造长方体，则E是GH的中点.
在A中，二面角是直二面角，
二面角是锐二面角，故A错误；
在B中，连接BD，MN，则N是BD的中点，
，
BM与EN是相交直线，故B错误；
在C中，以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CG所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
，，
，CM与EN不垂直，故C错误；
在D中，，，，
设平面MCB的一个法向量为，
则
令，得，
设直线EN与平面MCB所成的角为，
则，
直线EN与平面MCB所成角的正弦值为，故D正确.故选D.
11.答案：
解析：由题意得，所以.由，可得.所以，即，所以.
12.答案：
解析：易知，，，故以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由M为PC的中点可得，则，，.
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.
13.答案：
解析：以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知，，，.是棱PB的中点，点E的坐标为.设，
则，，
解得.，.
14.答案：
解析：取BC的中点E，连接OE，易得OA，OE，OP两两互相垂直，故以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因此，，，
设平面PCO的一个法向量为，
则即
令，得，
因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值为.
15.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为，，，所以，
所以，可得，
又因为，
所以，
可得，
又因为，所以，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，面ABC，
所以平面PAB，因为面PAB，所以，
因为，，所以平面ABC.
(2)由(1)知DC，DB，DP两两垂直，如图分别以DC，DB，DP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为直线PA与平面ABC所成的角为，即，所以，
则，，，，
所以，，，
因为，，所以，
由(1)知，所以，
又平面ABC，面ABC，所以，
因为，所以平面PDE，
所以为平面PDE的一个法向量，
设平面PAC的法向量为，
由，令，得，，
所以为平面PAC的一个法向量.
所以，
所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，
故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为.