高中数学人教A版（2019）必修第二册第七章复数单元测试A卷（word版含解析）

必修第二册第七章复数单元测试A卷
一、单选题
1．已知为虚数单位，若复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
4．已知复数，是z的共轭复数，则=
A． B． C．1 D．2
5．已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
二、多选题
6．（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
7．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
第II卷（非选择题）
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三、填空题
8．若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与互为“邻位复数”，，则的最大值为_____．
9．在复变函数中，自变量可以写成，其中，是z的辐角．点绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点绕原点逆时针旋转得_______；复变函数，，_______．
10．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为____________.
11．设复数满足，则的最大值是_______.
四、解答题
12．已知i为虚数单位，关于x的方程有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值.
13．实数取什么值时,复数
(1)与复数相等
(2) 与复数互为共轭复数
(3)对应的点在轴上方.
14．已知复数、满足、，且，求与的值.
15．已知复数，（），且.
（1）若且，求的值；
（2）设；
①求的最小正周期和单调递减区间；
②已知当时，，试求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据题意，，故，计算得到答案.
【详解】
根据题意，，故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
2．B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设,
可得：，
则，
，
可得：，
可得：，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
3．A
【解析】
【详解】
因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
4．A
【解析】
【分析】
利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，，
故答案为：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得，再利用复数相等列方程求出的值，从而可得结果.
【详解】
因为 ，，
所以，则，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
6．BC
【解析】
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
【详解】
根据题意，中，
时，；
时，
；时，；
时，，
.
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，.
故选：BC.
【点睛】
此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.
7．AC
【解析】
【分析】
利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，可得，，A选项正确；
对于B选项，当，时，，B选项错误；
对于C选项，当，时，，则，C选项正确；
对于D选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.
8．
【解析】
【分析】
由已知条件与复数模长的计算公式可知，所求表达式表示点到原点的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解.
【详解】
因为复数与互为“邻位复数”，
所以，故，即，
其表示的是点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示点到原点的距离，
故的最大值为原点到圆心的距离加半径，
即，
所以的最大值为，
故答案为：
9．
【解析】
【分析】
点对应的复数，其中，则对应的复数，其中，利用两角和差公式求得的坐标；由，，则，化简可得.
【详解】
点对应的复数，其中，
则对应的复数，其中，
则，
，
则，故的坐标为；
由，，则，
得.
故答案为：；
【点睛】
本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.
10．1
【解析】
【分析】
复数满足为虚数单位），设，，．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．
【详解】
解：复数满足为虚数单位），
设，，．
则，当且仅当时取等号．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．6
【解析】
【详解】
分析：先找到复数z对应的点的轨迹，再求的最大值.
详解：设复数，则，
所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，
所以的最大值是.故答案为6
点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)表示以点(a,b)为圆心r为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然.
12．（1）；（2）
【解析】
（1）方程有实数根b，可得，根据复数相等列出式子解出a，b的值即可；
（2）设（x，），由，得，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z，再求出，进而求出最小值即可.
【详解】
（1）是方程的实数根，
，，解得.
（2）设（x，），由，得，
即，它表示复数z对应的点Z到点的距离为，
构成的图形是以为圆心，为半径的圆，如图所示.
当点Z在所在的直线上时，有最大值或最小值，，半径，
当时，有最小值，且.
【点睛】
本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
13．（1）m＝－1
（2）m＝1
（3）m<－3或m>5.
【解析】
【详解】
解：(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
解得m＝1.
(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
14．，.
【解析】
设复数、在复平面上对应的点为、，从模长入手，可以得到，进而得到以、为邻边的平行四边形是矩形.
【详解】
设复数、在复平面上对应的点为、，
由于，
故，
故以、为邻边的平行四边形是矩形，从而，
则，.
【点睛】
本题的易错点在，原因是可以交换位置，所以这个取正负值均可.
15．（1），；（2）①周期，单调减区间，；②
【解析】
【分析】
根据复数相等的概念列方程，求得关于的关系式.
（1）将代入上述求得的关系式，由此解出的值.
（2）由上述求得的关系式，求得的表达式.
①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得的最小正周期和单调递减区间.
②利用二倍角公式和诱导公式，求得的值.
【详解】
由于，所以，故.
（1）当时，，则，由于所以，所以或，所以或.
（2）由于，故.
①函数的最小正周期为.由，解得，所以函数的单调递减区间为，.
②依题意，所以.所以.
【点睛】
本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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