高中数学人教A版（2019）必修第二册第十章概率单元测试A卷（Word含答案解析）

必修第二册第十章概率单元测试A卷
一、单选题
1．为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为，，则满足的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢-局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
二、多选题
7．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．，，两两相互独立
8．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A．同时抛掷两枚骰子，向上的点数和为奇数，小明获胜，向上的点数和为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的52张扑克牌中抽取一张，抽到红心，小明获胜，抽到方片，小华获胜
D．小明、小华两人各写一个数字0或1，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________.
10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
11．随机选取正11边形的三个不同顶点，其构成锐角三角形的概率为________.
12．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
488 932 812 458 989 431 257 390 024 556
734 113 537 569 683 907 966 191 925 271
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.
四、解答题
13．某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在中的概率．
14．近年来，手机逐渐改变了人们的生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高.为了了解市场上某品牌的甲 乙两种型号手机的性能，现从甲 乙两种型号手机中各随机抽取了6部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分）：
甲型号手机 90 89 90 88 91 92
乙型号手机 88 91 89 93 85 94
假设所有手机性能评分相互独立.
(1)在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率；
(2)在甲 乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，求其中恰有1部手机性能评分不低于90分的概率；
(3)试判断甲型号手机样本评分数据的方差与乙型号手机样本评分数据的方差的大小（只需写出结论）
15．某医院有骨科医生5人，其中男医生3人，女医生2人，现从中选出2人组成医疗小组，已知事件“医疗小组中恰有1名男性”，“医疗小组中恰有2名男性”．
(1)求；
(2)求．
16．某部门举办法律知识问答活动，随机从该市18~68岁的人群中抽取了一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：[18,28），[28,38），[38,48），[48,58），[58，68]，再将其分别编号为第1组、第2组、…、第5组.该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表和如图所示的频率分布直方图.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例
第1组 [18,28) 5 0.5
第2组 [28,38) 18
第3组 [38,48) 27 0.9
第4组 [48,58) 0.36
第5组 [58,68] 3 0.2
(1)分别求出的值.
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人？
(3)在（2）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求.
【详解】
由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，
，
其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，
∴球回到A同学脚下的概率为.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
先计算出基本事件的总数，然后分析出满足的基本事件的个数，最后根据古典概型的概率计算公式求解出结果.
【详解】
掷甲、乙两颗骰子出现的点数的基本事件总数为：个，
又因为，所以，所以可取，
当时，可取，
当时，可取，
当时，无解，
所以满足要求的基本事件的总数为，
所以所求概率为：，
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率加法公式，我们分别求出两种情况的概率，即得解
【详解】
甲要获得冠军共分为两个情况：
一是第一场就取胜，这种情况的概率为
一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为
则甲获得冠军的概率为
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.
【详解】
由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.
由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.
故选：B
5．D
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；
②当时，由，即，所以或，满足题意；
故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；
故选：D
6．A
【解析】
概率的事件可以认为是概率为的对立事件．
【详解】
事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
7．BC
【解析】
【分析】
根据各事件的交补集中的事件数，应用古典概型求概率的方法求、、、，由两两相互独立事件的概率性质判断A、B、C是否相互独立.
【详解】
由题意， ，，，
∴，同理，，
由，则，故A错误；
由，则，故B正确；
由，则，而，故C正确；
因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
易错点睛：对于两个事件，，可将对应的积事件看成一个事件，利用古典概型的概率公式计算，一般地，对于两个事件，，概率公式为，
使用概率的计算公式，必须注意前提条件：
对于两个事件，，有；
当，为互斥事件时，有.
若事件，，，有时，不一定有，，两两相互独立.
8．ACD
【解析】
【分析】
分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项．
【详解】
对于A，同时抛掷两枚骰子，一共36种情况，向上的点数和为奇数的概率为，向上的点数和为偶数的概率为，所以游戏公平
对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平；
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平；
对于D，小明 小华两人各写一个数字0或1，一共四种情况：（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平．
故选：ACD．
9．
【解析】
【分析】
两人中恰有一个人获得一等奖分为甲获一等奖乙未获一等奖，甲未获一等奖乙获一等奖，由互斥事件概率公式计算可得．
【详解】
两人中恰有一个人获得一等奖分为甲获一等奖乙未获一等奖，甲未获一等奖乙获一等奖，
∴所求概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相互独立和互斥事件的概率求法，解题时把一个事件拆成两个互斥事件是解题关键．
10．
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解.
【详解】
由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：
（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；
（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；
所以恰好进行了4局结束比赛的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．
【解析】
【详解】
任取正11边形的三个顶点A、B、C，若为钝角，则弧小于半圆，此时，构成钝角三角形的方式共有种，构成锐角三角形的概率为.
12．0.3
【解析】
【分析】
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果．
【详解】
由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，
所求概率为．
故答案为：0.3
【点睛】
本题主要考查了模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于中档题．
13．(1)，平均数为岁
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和等于得出的值，再由频率分布直方图中的数据计算平均数；
（2）根据分层抽样确定第1，2组中抽取的人数，再由列举法结合古典概型的概率公式得出概率.
(1)
由，得
平均数为岁.
(2)
第1，2组的人数分别为人，人，
从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，
分别记为，，，，从5人中随机抽取2人，样本空间可记为
，，，，，，
，，，，
用表示“2人中恰有1人年龄在”，则，，，，，，包含的样本点个数是6.
所以2人中恰有1人年龄在中的概率
14．(1)
(2)
(3)甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.
【解析】
【分析】
（1）由于甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，进而得其概率；
（2）由于甲型号的手机有4部评分不低于90分，乙型号的手机有3部评分不低于90分，进而列举基本事件，根据古典概型求解即可；
（3）根据表中数据的分散程度，估计比较即可.
(1)
解：根据表中数据，甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，
所以随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率为
(2)
解：甲型号的手机有4部评分不低于90分，记为，另外两部记为
乙型号的手机有3部评分不低于90分，记为，另外三部记为，
所以甲 乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，共有，，共36种，
其中恰有1部手机性能评分不低于90分的基本事件有，，共18种，
所以所求概率为.
(3)
解：根据表中数据，可判断甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.
15．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用古典概型的概率求解；
（2）由表示，中至少有一个事件发生，利用古典概型的概率求解.
(1)
解：设3名男医生分别为，，，2名女医生分别为，．
从这5人中选出2人的情况有，，，，，，，，，，共10种．
从这5人中选出2人，其中恰有1名男性的情况有，，，，，，共6种，
故．
(2)
表示，中至少有一个事件发生，
从这5人中选出2人，其中，中至少有一个事件发生的情况有：
，，，，，，，，，共9种，
故．
16．(1)；
(2)第2，3，4组每组各应抽取人.
(3)
【解析】
【分析】
（1）结合频率分布直方图和频率分布表计算求解即可；
（2）根据分层抽样的方案确定抽样比例，进而得答案；
（3）根据古典概型列举基本事件，再结合公式计算即可.
(1)
解：由表中的数据可知：第1组的人数为人，
所以根据频率分布直方图得人，
所以第二组有人，其中回答正确的有人，故，
第四组有人，所以回答正确的人数人.
综上，；
(2)
解：第2,3,4组回答正确的人数比为，
所以采用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人.
(3)
解：设抽出的6人来自第2组的两人为，来自第3组的三人为，来自第4组的一人为，
则在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖的可能有：，，共15种，
其中第2组至少有1人获得幸运奖有，共9种
所以第2组至少有1人获得幸运奖的概率为
答案第1页，共2页
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