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2.1.1两条直线的位置关系
北师大版 七年级下册
情境导入
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
情境导入
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
导入新课
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。我们知道：
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
新知讲解
请动手画出两条直线，直线AB和直线CD，交于点O.
观察你所画图形，∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴进行交流.
议一议
如图，直线AB、CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？
2
1
A
B
C
D
3
4
1.有公共顶点，
2.两边互为反向延长线.
尝试用自己的语言描述对顶角的定义.
归纳总结
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
请你观察图中∠1和∠2这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系
∠1与∠2互为对顶角， ∠3与∠4互为对顶角.
注意：1.对顶角是成对出现. 2.两条直线相交会产生对顶角
归纳总结
因为∠1+∠3=180°（平角定义）
∠2+∠3=180°（平角定义）
所以∠1=∠2（等量代换）
对顶角相等
对顶角有如下性质：
练一练
1.如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
C
2.如图，三条直线AB，CD，EF相交于一点O，则∠AOE＋∠DOB＋∠COF等于( )
A．150° B．180° C．210° D．120°
B
方法点拨
判断两个角是否互为对顶角的方法：
一看它们有没有公共顶点；二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就是看这两个角是否是两条直线相交所成的没有公共边的两个角．
想一想
在图中，∠1、∠2、∠3 、∠4除了对顶角以外是否还存在其他的关系？
互补：两个角的和等于180°，称这两个角互补，一个角叫另外一个角的补角.
例如： ∠1+∠3=180°， ∠1与∠3互补， ∠1叫∠3 的补角或者∠3叫∠1的补角
思考：右图中有几组补角？
想一想
类似于互补：
如图： ∠1+∠2=90°， ∠1与∠2互余， ∠1叫∠2 的余角或者∠2叫∠1的余角.
互余：两个角之和等于90°时，称这两个角互余，一个角叫另外一个角的余角.
练一练
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90° x°
180° x°
观察可得结论：
同一个锐角的补角比它的余角大________.
90°
做一做
图1
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2.
做一做
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(等角)的补角相等
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
因为∠1= ∠2，
∠1+∠3=90°,
∠ 2+∠4=90°，
所以∠3=∠4.
同角(等角)的余角相等
课堂练习
1.如图，下列各组角中，是对顶角的一组是( )
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5
C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
B
2.下列说法正确的有( )
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
课堂练习
3.下列说法中正确的是________．(填序号)
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角是90°－∠α；
③∠β的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．
②③
4.①因为∠1+∠2=90 ，∠2+∠3=90 ，所以∠1=____，理由是______________________.
② 因为∠1+∠2=180 ，∠2+∠3=180 ，所以∠1=____，理由是______________________.
∠3
同角的余角相等
∠3
同角的补角相等
课堂练习
5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，OB平分∠DOF，若∠DOE=50°，求∠DOF的度数.
解：因为AB为直线，OE平分∠AOB，
所以∠AOE=∠BOE=90°，
因为∠DOE=50°，
所以∠DOB=40°.
因为OB平分∠DOF，
所以∠DOB=∠FOB=40°
所以∠DOF=80°.
课堂练习
6.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),
余角是(90°－x°) .
根据题意，得180°－x°= 4 (90°－x°).
解得 x=60.
答：这个角的度数是60 °.
作业布置
1.课本第40页习题2.1第1、3、4题
课堂小结
两条直线的位置关系
理解对顶角需要注意的三点
理解余角与补角需要注意的四点
1.对顶角是成对出现的，不能单独说一个角是对顶角.
2.对顶角反映两角相等的数量关系.
3.对顶角还反映两角的位置关系.
1.余角与补角是针对两个角而言，并且是相互的.
2.互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关.
3.同一个角的补角比它的余角大90°.
4.互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角.
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2.1.1两条直线的位置关系教学设计
课题 两条直线的位置关系 单元 2 学科 数学 年级 七
学习 目标 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质.
重点 余角、补角、对顶角的性质及其应用
难点 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 向同学们展示一些生活中的图片，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。我们知道： 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线. 学生能通过观察、分析、归纳两直线的位置的关系 让学生感受生活与数学的联系：生活中处处可见道路、房屋、桥梁、楼梯…在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。
讲授新课 提问1：图中∠1与∠2的位置有什么关系？ 像∠1与∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角． 提问2 ：∠1与∠2的大小有什么关系？为什么？∠1与∠2相等． 提问3 ：你们能想办法验证一下吗？ 提问4 ：数学需要严谨的推理证明，那你能用数学推理的方法证明这两个角相等吗？ 因为∠COD=180°，所以∠1＋∠3=180°， 所以∠1=180°－∠3； 因为∠AOB=180°，所以∠2＋∠3=180°， 所以∠2=180°－∠3； 所以∠1=∠2 由此我们可以得出对顶角的性质：对顶角相等． 提问1：在刚才我们所画的图形中，∠1与∠3有什么数量关系？ ∠1与∠3的和是180°． 概念：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角． 其中一角是另一个角的补角。即：∠1的补角是∠3；∠3的补角是∠1。那么在图形中还有哪些角是互为补角的？ 问题： （1）定义中的“互为”一词如何理解？ （2）∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，能说∠1 、∠2、 ∠3 互补吗？ （3）互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 请同学们注意，互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 类似地，如果两个角的和是900，那么称这两个角互为余角．比如:直角三角形中的两个锐角互余。 做一做 如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 小组合作交流，解决下列问题：在图2中 问题1：哪些角互为余角？哪些角互为补角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 得出余角各补角的性质：同角或者等角的余角相等．同角或者等角的补角相等． 学生开始动手操作，有的同学开始用量角器测量，有的开始动手折叠．完成后让学生先在小组内交流，然后再在全班展示 学生自主完成，组内交流答案 学生自主完成,小组内交流讨论，派代表展示 小组合作交流，归纳 让学生通过观察、操作、推理、交流等活动，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及性质．同时利用学习过的有关事实解决问题，进一步巩固了对顶角的概念及其性质． 在相互补充、 相互学习中，体验“互补互余”仅仅表明了两个角的度量关系，并没有限 制角的位置关系；让学生在合作共赢中，更好地掌握新知识．同时掌握类比思想。 以学生感兴趣的体育新闻为情景，为学生提供了观察、操作、推理、等数学活动，使学生在自主学习的过程中，掌握“同角或者等角的补角相等．”“同角或者等角的余角相等．”并能够用自己的语言说出简单推理．
课堂练习 1.如图，下列各组角中，是对顶角的一组是( ) A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5 2.下列说法正确的有( ) ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列说法中正确的是________．(填序号) ①钝角与锐角互补； ②∠α的余角是90°－∠α； ③∠β的补角是180°－∠β； ④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余． 4.①.因为∠1+∠2=90 ，∠2+∠3=90 ，所以∠1=____，理由是______________________. ② 因为∠1+∠2=180 ，∠2+∠3=180 ，所以∠1=____，理由是______________________. 5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，OB平分∠DOF，若∠DOE=50°，求∠DOF的度数. 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 2.1 两条直线的位置关系（1）1．两条直线的位置关系：相交和平行． 2．对顶角： 性质：3．补角、余角定义： 4．性质： 同角或者等角的余角相等 同角或者等角的补角相等 板演区
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