人教版数学八年级下册第十七章勾股定理
一、单选题
1．（2021八下·白云期末）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·陕西月考）在直角三角形中，若两边长分别为3和4，则第三边的平方为（ ）
A．25或7 B．25 C．7 D．5
3．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·哈尔滨月考）已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2020八上·金山期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
6．（2021·凌云模拟）如图，在△ 中，∠ ，∠ ， ；以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，再以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．1
7．（2021·曾都模拟）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八上·温州月考）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4： ，则△ABC是直角三角形
9．（2020八上·无锡期中）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（ ）
A．16 B．32 C．34 D．64
10．（2020八上·中牟期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 ， 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2021八上·达州期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 .
12．（2020八上·常州期中）一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高 米.
13．（2020七下·碑林期末）图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm2.
14．（2020八下·古丈期末）直角三角形的直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，则 .
15．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)．
16．（2020八下·黄石期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 处折断倒下，树干顶部在距离根部 处，这棵大树在折断前的高度为 .
三、解答题
17．（2017八上·揭西期中）如图，每个小正方形的边长是1
（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；
（2）在图②中画出一个面积是2的正方形．
18．一个零件的形状如图所示，已知AC=3 ，AB=4 ，BD=12 求CD的长.
19．（2021八下·东莞月考）如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
20．（2019八下·端州月考）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
21．（2020八下·漯河期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向左滑动多少米？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：过点P作PA⊥x轴于点A，
则AO= ，PA= ，
故OP= ，
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理求解即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得42+32=x2，所以x2=25；
若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得x2=42-32，所以x2=7，故x2=25或7.
故答案为：A.
【分析】分4为直角边，4是斜边，利用勾股定理即可求出第三边的平方.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴第三边长= =13，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理即可得出结论。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解： ， ， ，
∵ ，且 ，
∴ 为三角形的三边可以构成直角三角形，
故答案为：D．
【分析】注意判断三角形的三边能否构成直角三角形的依据是勾股定理：直角边2+直角边2=斜边2
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ， .
∴ ， .
由题意可知 ， .
∴ .
∴ .
故答案为：A.
【分析】由直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得BC=AB，用勾股定理可求得AC的值；由作图可得BD=BC，AD=AE=AB-BD，然后由线段的构成CE=AC-AE可求解.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：，
，
故答案为：A.
【分析】首先设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程 .
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠A，∠B=∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A=180°，∴∠A=，不是直角三角形，不符合题意；
B、∠C=×180°=75°，不是直角三角形，不符合题意；
C、∵b=c是等腰三角形，不可能有两个直角，不符合题意；
D、∵a2+c2=9+7=c2=16, 是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】如果给出角的关系，根据三角形内角和定理结合条件分别求出最大角，判断最大角是否为直角；如果给出边的关系，利用勾股定理判断即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
根据题意得：EF2=25，FG2=9，
根据勾股定理得：EG2=25+9=34，
则以斜边为边长的正方形的面积为34.
故答案为：C.
【分析】由正方形的面积等于边长的平方和勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）可得 正方形A的面积 .
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形可得：
故答案为：B.
【分析】根据等面积法先分别求出三角形的面积和、梯形的面积，从而证明勾股定理.
11．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长
所以点A表示的实数是
故答案为： .
【分析】由勾股定理求出斜边长，从而得出-1与点A的距离等于斜边长，继而得出点A表示的实数.
12．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作图如下，
∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 5，
∴折断前高度为5+3=8(米).
故答案为：8.
【分析】由题意得在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度.
13．【答案】81
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为 =9（cm），
∴此正方形的面积为92＝81（cm2），
故答案为：81.
【分析】正方形面积为边长的平方，由勾股定理可得正方形边长平方=斜边2-直角边2即可.
14．【答案】289
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理得：斜边的平方=x2=82+152=289.
故答案为：289.
【分析】考查直角三角形勾股定理的使用.
15．【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
16．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理知，折断部分为5m,3+5=8m,所以大树高为8m.
【分析】利用勾股定理直接解答即可.
17．【答案】（1）解：所画图形如图所示：
（2）解：
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知：直角三角形的面积为2，若为等腰直角三角形，则两直角边应均为2，画图即可。
（2）根据题意可知：正方形的面积为2，则边长为，画图即可。
18．【答案】解：在直角三角形ABC中，BC= ＝ =5，在直角三角形BCD中，CD＝ = =13
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，由勾股定理求出BC的长，然后在直角三角形BCD中，由勾股定理求出CD的长即可。
19．【答案】A，B两点间的距离是30 m.
由图可知，三角形ABC是直角三角形．
∵CA=50m，CB=40m，∴AB 30（m）．
答：A，B两点间的距离是30 m．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据直角三角形的性质以及勾股定理，计算得到AB的距离。
20．【答案】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
21．【答案】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
即AC2＋0.72＝2.52，
∴AC＝2.4.
在△A1B1C中，∠C＝90°，
∴A1C2＋B1C2＝A1B12，
即(2.4–0.4)2＋B1C 2＝2.52，
∴B1C＝1.5.
∴B1B＝1.5–0.7＝0.8，即点B将向左移动0.8米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB2的长度，根据BB1=CB1-CB即可求得BB1的长度.
1 / 1人教版数学八年级下册第十七章勾股定理
一、单选题
1．（2021八下·白云期末）在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：过点P作PA⊥x轴于点A，
则AO= ，PA= ，
故OP= ，
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理求解即可。
2．（2021八上·陕西月考）在直角三角形中，若两边长分别为3和4，则第三边的平方为（ ）
A．25或7 B．25 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得42+32=x2，所以x2=25；
若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得x2=42-32，所以x2=7，故x2=25或7.
故答案为：A.
【分析】分4为直角边，4是斜边，利用勾股定理即可求出第三边的平方.
3．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
4．（2021九上·哈尔滨月考）已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴第三边长= =13，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理即可得出结论。
5．（2020八上·金山期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解： ， ， ，
∵ ，且 ，
∴ 为三角形的三边可以构成直角三角形，
故答案为：D．
【分析】注意判断三角形的三边能否构成直角三角形的依据是勾股定理：直角边2+直角边2=斜边2
6．（2021·凌云模拟）如图，在△ 中，∠ ，∠ ， ；以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，再以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ， .
∴ ， .
由题意可知 ， .
∴ .
∴ .
故答案为：A.
【分析】由直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得BC=AB，用勾股定理可求得AC的值；由作图可得BD=BC，AD=AE=AB-BD，然后由线段的构成CE=AC-AE可求解.
7．（2021·曾都模拟）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：，
，
故答案为：A.
【分析】首先设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程 .
8．（2020八上·温州月考）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4： ，则△ABC是直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠A，∠B=∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A=180°，∴∠A=，不是直角三角形，不符合题意；
B、∠C=×180°=75°，不是直角三角形，不符合题意；
C、∵b=c是等腰三角形，不可能有两个直角，不符合题意；
D、∵a2+c2=9+7=c2=16, 是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】如果给出角的关系，根据三角形内角和定理结合条件分别求出最大角，判断最大角是否为直角；如果给出边的关系，利用勾股定理判断即可.
9．（2020八上·无锡期中）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（ ）
A．16 B．32 C．34 D．64
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
根据题意得：EF2=25，FG2=9，
根据勾股定理得：EG2=25+9=34，
则以斜边为边长的正方形的面积为34.
故答案为：C.
【分析】由正方形的面积等于边长的平方和勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）可得 正方形A的面积 .
10．（2020八上·中牟期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 ， 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形可得：
故答案为：B.
【分析】根据等面积法先分别求出三角形的面积和、梯形的面积，从而证明勾股定理.
二、填空题
11．（2021八上·达州期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 .
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长
所以点A表示的实数是
故答案为： .
【分析】由勾股定理求出斜边长，从而得出-1与点A的距离等于斜边长，继而得出点A表示的实数.
12．（2020八上·常州期中）一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高 米.
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作图如下，
∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 5，
∴折断前高度为5+3=8(米).
故答案为：8.
【分析】由题意得在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度.
13．（2020七下·碑林期末）图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm2.
【答案】81
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为 =9（cm），
∴此正方形的面积为92＝81（cm2），
故答案为：81.
【分析】正方形面积为边长的平方，由勾股定理可得正方形边长平方=斜边2-直角边2即可.
14．（2020八下·古丈期末）直角三角形的直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，则 .
【答案】289
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理得：斜边的平方=x2=82+152=289.
故答案为：289.
【分析】考查直角三角形勾股定理的使用.
15．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ (填“能”或“不能”)．
【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
16．（2020八下·黄石期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 处折断倒下，树干顶部在距离根部 处，这棵大树在折断前的高度为 .
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理知，折断部分为5m,3+5=8m,所以大树高为8m.
【分析】利用勾股定理直接解答即可.
三、解答题
17．（2017八上·揭西期中）如图，每个小正方形的边长是1
（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；
（2）在图②中画出一个面积是2的正方形．
【答案】（1）解：所画图形如图所示：
（2）解：
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知：直角三角形的面积为2，若为等腰直角三角形，则两直角边应均为2，画图即可。
（2）根据题意可知：正方形的面积为2，则边长为，画图即可。
18．一个零件的形状如图所示，已知AC=3 ，AB=4 ，BD=12 求CD的长.
【答案】解：在直角三角形ABC中，BC= ＝ =5，在直角三角形BCD中，CD＝ = =13
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，由勾股定理求出BC的长，然后在直角三角形BCD中，由勾股定理求出CD的长即可。
19．（2021八下·东莞月考）如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
【答案】A，B两点间的距离是30 m.
由图可知，三角形ABC是直角三角形．
∵CA=50m，CB=40m，∴AB 30（m）．
答：A，B两点间的距离是30 m．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据直角三角形的性质以及勾股定理，计算得到AB的距离。
20．（2019八下·端州月考）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【答案】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
21．（2020八下·漯河期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向左滑动多少米？
【答案】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
即AC2＋0.72＝2.52，
∴AC＝2.4.
在△A1B1C中，∠C＝90°，
∴A1C2＋B1C2＝A1B12，
即(2.4–0.4)2＋B1C 2＝2.52，
∴B1C＝1.5.
∴B1B＝1.5–0.7＝0.8，即点B将向左移动0.8米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB2的长度，根据BB1=CB1-CB即可求得BB1的长度.
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